Was sind Zuordnungen? Werden zwei Größenbereiche in Beziehung gesetzt, entstehen Zuordnungen. Ihre zeichnerische Darstellung in einem Koordinatensystem nennt man den Graphen einer Zuordnung. Jahr: Ausgaben12 €55 €0 €1654 € Einnahmen555 €64 €44 €0,74 €

Gliederung 1. Historisches 2. Einführung in Funktionen 3. Lineare Funktionen 4. Quadratische Funktionen

1. Historisches A) Koordinatensystem Eigentliche Begründer einer Mathematik mit Koordinaten sind Pierre de Fermat (1601 – 1665) sowie Rene Descartes (Cartesius, 1596 – 1650). Pierre de Fermat (1601 – 1665) sowie Rene Descartes (Cartesius, 1596 – 1650). Vollständiges Achsenkreuz findet sich erst bei Isaac Newton (1642 – 1727) wieder, die von Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) verfeinert wurden wieder, die von Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) verfeinert wurden und bis heute Gültigkeit besitzen. und bis heute Gültigkeit besitzen. Bereits 150 v. Chr. führte Hipparch eine Art Koordinatensystem ein zur Mittel der Ortsfestlegung. Koordinatensystem ein zur Mittel der Ortsfestlegung.

B) Funktion Der Begriff der Funktion ist ein relativ junger, der erst mit der Einführung des Kartesischen Koordinatensystems aufkam. Die Notwendigkeit lag im wachsenden Interesse (verändernde Größen, gegenseitige Abhängigkeiten, etc.) an den Naturwissenschaften des 17. Jh. Leibniz gebrauchte den Begriff wohl zum ersten male 1673 in einer Handschrift, während dieser 1706 von Johann I Bernoulli (1667 – 1748) gedruckt wurde. Letzterer verstand unter einer Funktion bereits einen Term. Sein Schüler Leonhard Euler (1707 – 1783) führte 1735 die bis heute gültige Schreibweise f(x) ein.

Was ist eine Funktion? Unter einer Funktion versteht man eine Zuordnung, bei der zu jeder Größe aus einem ersten Bereich genau eine Größe aus einem zweiten Bereich gehört. Die zugeordneten Größen aus dem zweiten Bereich nennt man Funktionswerte.

2. Einführung in Funktionen Bsp.: Problem eines Schülers ist die Fehlinterpretation eines Funktionsgraphen. Dies geschieht dadurch, dass Graphen als realistische Abbildung gesehen werden.

Definition von Funktionen Gegeben seien zwei Mengen D und W. Eine Funktion ist eine Vorschrift, die jedem Element der ersten Menge (der Definitionsmenge D) in eindeutiger Weise ein Element der zweiten Menge (der Wertemenge W) zuordnet. Das heißt, dass jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zugeordnet wird.

Sind auf den Bildern Funktionsgraphen dargestellt?

Erste Erfahrungen mit proportionalen Funktionen Auf dem Bauernmarkt verkauft ein Bauer Kartoffeln. Für einen 10 kg Sack verlangt er 2,50€. x (Kartoffeln in kg) y (Preis in €)2,5

x (Kartoffeln in kg) y (Preis in €)2,553,751,25 Anstelle mit einer Tabelle kann man Zuordnungen und Funktionen auch mit Hilfe von Pfeilen darstellen.

Einige knifflige Aufgaben: Handelt es sich bei den Zuordnungen um ein Funktion? (Begründung!) a)Natürliche Zahl --> größter Teiler einer Zahl. b)Geschwindigkeit --> Benzinverbrauch Benzinverbrauch --> Geschwindigkeit c) Name --> Telefonnummer Telefonnummer --> Name

Lineare Funktionen Eine lineare Funktion lässt sich mit einer Funktionsgleichung darstellen. Mit ihr kann man für x-Werte die zugeordneten y-Werte berechnen.

Beispielaufgabe: y = x – 3 x y

Lineare Funktionsgleichung Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung der Form y = mx + b. Der Koeffizient m ist die Steigung. Die Koeffizient b ist der Achsenabschnitt.

Lineare Gleichung Mit Überlegungen kann man die Variable „isolieren“, das heißt die Gleichung so umformen, dass die Variable allein und ohne Faktoren auf der einen Seite des Gleichheitszeichens steht und alles andere auf der anderen. Diese Umformung kann man mit folgenden Schritten bewerkstelligen: eventuelle Klammern werden aufgelöst; auf jeder der beiden Seiten werden die Terme zusammengefasst; alle Terme mit der Variabeln werden auf eine Seite der Gleichung gebracht; die Variable wird isoliert.

1 1 hier ist m = 1 y = x

y = 0,5x

y = 2x

y = 1,5x + 1 b = 1

y = – 0,5x

y = –1,5x – 1 b = -1 1,5

Proportionale Zuordnungen: y x Beispiel 1: Vom Punkt P(0/3) des Schaubilds gelangt man zum nächsten, wenn man um  x = 3 nach rechts und um  y = 2 nach oben geht. Steigungsdreieck y-Achsenabschnitt

Proportionale Zuordnungen: y x Beispiel 2: Vom Punkt P(0/-2) des Schaubilds gelangt man zum nächsten, wenn man um  x = 1 nach rechts und um  y = 3 nach oben geht. Steigungsdreieck

y-Achsenabschnitt Proportionale Zuordnungen: y x Beispiel 3: Vom Punkt P(0/4) des Schaubilds gelangt man zum nächsten, wenn man um  x = 2 nach rechts und um  y = -3 nach oben, also um 3 nach unten geht. Steigungsdreieck

Ziel ist die Geradengleichung: y=mx+b