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Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 05/06 7.11.

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Präsentation zum Thema: "Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 05/06 7.11."—  Präsentation transkript:

1 Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 05/

2 Unterscheidbarkeit von Zuständen Gegeben: Menge von Zuständen S={ | 1 i,…, | k i } (bekannt) Input: Ein Zustand aus S Ausgabe: Index i des Zustandes Identifikationsproblem Zustände in S paarweise orthogonal: Problem perfekt lösbar: konstruiere Observable mit Unterräumen S i =span(| i i ), Projektoren | i ih i |

3 Unterscheidbarkeit nichtorthogonaler Zustände Sei S={ | i, | i } mit h | i 0 Gibt es eine Messung, die das Identifikationsproblem löst? | i = | i + | i mit = h | i Messung ist Projektion, d.h. linear, d.h. -Anteil von | i benimmt sich wie | i Mit Wahrscheinlichkeit | h | i | 2 wird auf Eingabe | i die Ausgabe erzeugt (wenn auf | i immer ausgegeben wird) Also wird das Problem nicht ohne Fehler gelöst

4 Was ist nichtklassisch an der Quantentheorie ? Phänomene der klassischen Physik können im Prinzip vollständig berechnet werden Beispiel: Wurf eines Würfels, Beschreibung als Wahrscheinlichkeitsverteilung ist unvollständig Quantenmechanik liefert nur probabilistische Beschreibungen Gott würfelt nicht

5 Was ist nichtklassisch an der Quantentheorie ? [Einstein Podolsky Rosen 35] behaupteten, die Quantenmechanik sei unvollständig In dem Sinn, dass eine tieferliegende klassische Theorie probabilistische Vorhersagen eliminieren kann, indem sie bisher unbekannte physikalische Parameter ins Spiel bringt Der Zustand, 1/2 1/2 (|00 i +|11 i ), wenn auf zwei räumlich getrennten Qubits gemessen weist spukhafte Fernwirkungen auf (verhält sich wie zwei perfekt korrelierte Würfel, die zu weit entfernt sind, um zu kommunizieren)

6 Quantentheorie vs. Lokal Realistische Theorien Physikalische Theorie ist lokal, wenn räumlich getrennte Systeme sich nicht direkt beeinflussen realistisch, wenn direkt vor einer Messung eine zu messende Eigenschaft im Prinzip mit Sicherheit vorhersehbar ist, d.h. objektiv vorhanden ist

7 Bellsche Ungleichung Zwei Partikel werden von Charlie an Alice und Bob weitergereicht (in irgendeinem Zustand) Alice und Bob sind räumlich getrennt Partikel für Alice hat Eigenschaften E Q und E R mit Werten Q und R Partikel für Alice hat Eigenschaften E S und E T mit Werten S und T Werte der Eigenschaften sind objektiv, d.h. werden durch Messung nur festgestellt Q,R,S,T 2 {-1,1}

8 Bellsche Ungleichung Betrachte QS+RS+RT-QT = Q( S-T ) + R( S+T ) S-T=0 oder S+T=0, also QS+RS+RT-QT = § 2 Erwartung E[QS+RS+RT-QT] · 2 Zufallsexperiment hier: Charlies Präparierung der Partikel, kein Zufall bei fester Präparierung Es gibt also Wahrscheinlichkeiten P(q,r,s,t), dass das System die Eigenschaften Q=q, R=r, S=s, T=t direkt vor der Messung hat Erwartung E[QS+RS+RT-QT] · 2 Linearität des Erwartungswertes: E[QS]+E[RS]+E[RT]-E[QT] · 2

9 Bellsche Ungleichung Voraussetzungen: Es gibt die Wahrscheinlichkeiten P(q,r,s,t) [Realismus], und die Messungen verlaufen kausal unabhängig [Lokalität]

10 Messung von EPR Paaren Zustand der zwei Partikel von Alice und Bob: 1/2 1/2 (|01 i -|10 i ) Es gibt eine Menge von vier Observablen, so dass E[QS]+E[RS]+E[RT]-E[QT] ¸ 2 ¢ 2 1/2 von QM vorhergesagt Experimenteller Test entscheidet zu Gunsten von QM [Aspect 82]

11 Versteckte Parameter Ein klassisches Modell mit versteckten Parametern funktioniert so: (implizit) Alice und Bob erhalten je ein präparieres Teilchen (tatsächlich) Alice und Bob haben eine gemeinsame klassische Information (diese legt für alle möglichen Experimente auf je einem Teilchen den Wert aller Messergebnisse fest, also z.B. Experiment E auf Teilchen A ergibt Ergebnis 1 usw.). Bemerkung: in einer realistischen Theorie existiert eine solche Liste Rest des Protokolls verläuft räumlich getrennt, gleichzeitig, d.h. kausal unabhängig

12 Versteckte Parameter Aufgabe: Alice und Bob dürfen sich absprechen, danach ist keine Kommunikation zwischen beiden erlaubt Alice und Bob erhalten dann je ein Zufallsbit x bzw. y Sie produzieren je eine Ausgabe: a,b Das Protokoll hat Erfolg, wenn x Æ y = a © b x,y geben eine zu messende Eigenschaft vor Wie gut kann ein Protokoll sein? Optimale Strategie: Beide geben immer 0 aus Erfolgswahrscheinlichkeit: 3/4 Wenn eine Theorie mit versteckten Parametern QM erklärt, sollten beide dasselbe vorhersagen, d.h. jedes Quantenexperiment sollte Erfolg · ¾ haben

13 Ein Quantenprotokoll Alice und Bob haben den Zustand 1/2 1/2 (|01 i -|10 i ) x=0, Alice misst (in der Standardbasis), Ausgabe des Ergebnisses x=1, Alice rotiert mit,misst, Ausgabe des Ergebnisses y=0, Bob misst, Ausgabe Komplement d. Ergebnisses y=1, Bob rotiert mit,misst, Ausgabe Komplement d. Ergebnisses

14 Rotationsgatter Qubit |0 i wird zu cos( /8) |0 i - i sin( /8) |1 i Wahrscheinlichkeit von Messergebnis 0 ist dann cos 2 ( /8)

15 Analyse Fall 1: x=0, y=0; Messung Standardbasis, Ausgabe immer a,b mit a=b, also a © b=0, also immer korrekt Fall 2: x=0, y=1; A) Alice misst a=0 (mit Ws. ½) Zustand ist |01 i Bob hat |1 i, daher b=0 mit Ws. cos 2 ( /8), Fehler also 1-cos 2 ( /8)= sin 2 ( /8) B) Alice misst a=1, analog Fall 3: x=1, y=0; analog, Fehler sin 2 ( /8)

16 Analyse Fall 4: x=y=1, gewünschte Ausgabe 1 Alice und Bob rotieren vor der Messung Alice rotiert - /8, Bob rotiert + /8 Leicht nachzurechnen, dass Messungen nun unabhängig, Fehler also ½ Fehler gesamt: ¼ (0 + 2 ¢ sin 2 ( /8) + 1/2) ¼ 0.2 Also ist der Fehler geringer als in jeder klassischen Theorie

17 Zurück zum anderen Konzept R: Ergebnis Messung Standard Basis ( § 1) Q: Ergebnis Messung nach Rotation ( § 1) S: Ergebnis Messung Standard Basis ( § 1) T: Ergebnis Messung nach Rotation ( § 1) E[RS]=1, E[QS]=E[RT]=cos 2 ( /8) E[QT]=1/2 Also E[RS]+E[QS]+E[RT]-E[QT]= cos 2 ( /8) - 1/2 ¼ 2.2 > 2

18 Ziele im Quantum Computing (Bauen eines Quantenrechners) Entwurf schneller Algorithmen Quantenkommunikation resp. Kommunikation mit Hilfe von EPR-Paaren Quantenkryptographie Fehlertolerante Schaltkreise

19 Was wir wissen Quanteneffekte sind grundsätzlich verschieden von klassischer Physik In Spielzeugproblemen (Deutsch Josza) schlagen Quantenrechner klassische Rechner Geht das auch für wichtige Probleme? Kann man interessante Probleme effizient lösen? Kann man NP-vollständige Probleme effizient lösen (auf QC)? Kann man nicht berechenbare Funktionen berechnen??

20 Berechnung durch Schaltkreise Klassische Schaltkreise: Eingaben x 1,…,x n 2 {0,1} n Gatter g 1,…,g m Gatter: nimmt Eingaben oder vorherige Gatter, berechnet Funktion {0,1} 2 {0,1} Ausgabe an g m Grösse: m (entspricht Rechenzeit) Basen (erlaubte Gatterfunktionen): AND, OR, NOT NAND Alle 2-stelligen Booleschen Funktionen Notwendige Grösse ändert sich mit Wahl der Basis nur um konstanten Faktor

21 Probabilistische Schaltkreise Zusätzliche Eingaben e 1,…,e r Für jede echte Eingabe x 1,…,x n gilt: wenn e 1,…,e r uniform zufällige Bits sind, dann wird das richtige Ergebnis mit Wahrscheinlichkeit 2/3 berechnet

22 Schaltkreisfamilien Schaltkreis C n funktioniert für Eingaben mit n Bits Familie (C n ) n 2 N Kann unter dieser Definition nicht (durch Turingmaschinen) berechenbare Funktionen berechnen Uniformitätskondition: C n kann bei unärer Eingabe von n in polynomieller Zeit durch eine Turingmaschine berechnet werden

23 Komplexitätsklassen P : Klasse der Sprachen, die von uniformen Schaltkreisfamilien polynomieller Grösse berechenbar sind BPP : dto. mit probabilistischen Schaltkreisen Definitionen sind äquivalent zu Definitionen mit Turingmaschinen

24 Fakten über Schaltkreise Es ist bekannt, dass die meisten Funktionen {0,1} n {0,1} Schaltkreise der Grösse mindestens (2 n /n) benötigen Schranke ist dicht, d.h. jede Funktion f:{0,1} n {0,1} kann durch einen (nichtuniformen !) Schaltkreis der Grösse (2 n /n) berechnet werden Für keine konkrete Funktion ist eine superlineare untere Schranke bekannt

25 Exponentielle untere Schranke für die meisten Funktionen Anzahl der Funktionen {0,1} n {0,1}: exp 2 (exp 2 (n)) Zeigen, dass es viel weniger Schaltkreise gibt, die kleiner als exp 2 (n)/n sind Da jeder Schaltkreis nur eine Funktion berechnet, gibt es für die meisten Funktionen nur grosse Schaltkreise

26 Zählen aller Schaltkreise m Gatter Für jedes Gatter können zwei Vorgänger und eine Funktion gewählt werden Also höchstens (16 (m+n) 2 ) m Schaltkreise Damit (16 (m+n) 2 ) m ¸ exp 2 (exp 2 (n))/100 (8m) 2m ¸ exp 2 (exp 2 (n))/100 2m log m +O(m) ¸ 2 n -O(1) m= (2 n /n) Ähnliches gilt für probabilistische Schaltkreise

27 Quantenschaltkreise n Qubits initialisiert mit der Eingabe s Arbeitsqubits Unitäre Operationen auf zwei Qubits U 1,…,U m ; zusammen mit Wahl der zwei Qubits Operation U i wird als Tensorprodukt mit der Identität auf den n+s-2 restlichen Qubits angewendet Zu messendes Ausgabequbit sei fix

28 Quantenschaltkreise Uniforme Familien wie gehabt [hier gibt es noch momentan ein Problem mit der Beschreibung beliebiger unitärer Transformationen, siehe einige Folien weiter] Klasse BQP: durch uniforme Familien von Quantenschaltkreisen polynomieller Grösse berechenbare Funktionen, bei Fehlerwahrscheinlichkeit < 1/3 EQP: kein Fehler erlaubt Selbe Klassen durch (Quanten) Turingmaschinen definierbar (siehe Gruskas Buch)


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