Informatik 2 Datenstrukturen

Informatik 2 Datenstrukturen
Informatik 2 Datenstrukturen Prof. Dr.-Ing. Holger Vogelsang

Informatik 2 - Datenstrukturen
Inhaltsverzeichnis Abstrakte Datentypen (3) Datenstrukturen in Java (11) Elementare Datenstrukturen (14) Iteratoren (32) Hashtabellen (48) Bäume (92) Graphen (180) Informatik 2 - Datenstrukturen

Abstrakte Datentypen Übersicht
Grafische Oberflä- chen Übersicht Layouts Ereignisse Widgets Grafik- operationen Grafik- widgets Effekte, Animationen Offene Punkte Daten- strukturen ADTs Datenstrukturen in Java Elementare Datenstrukturen Iteratoren Hash- tabellen Bäume Graphen Typinfo., I/O Annota- tionen Laufzeit- typinfo. Ein-, Ausgabe Entwurf Prinzipien Verbindung von Modulen Spring OSGi Informatik 2 - Datenstrukturen

Bisher: Einführung in objektorientierte Programmierung Einfache Datenstrukturen wie Array, Vektor und Liste Jetzt: Festlegung von Schnittstelle und Funktionalität einer Datenstruktur, ohne eine konkrete Implementierung zu verwenden Definition: Abstrakter Datentyp Ein abstrakter Datentyp (ADT) ist ein Datentyp (eine Menge von Werten und eine Sammlung von Operationen auf diesen Werten), der nur über eine Schnittstelle zugänglich ist. Ein ADT kann bei identischer Funktionalität unterschiedliche mögliche Implementierungen besitzen. Informatik 2 - Datenstrukturen

Eine ADT-Spezifikation besteht aus einer Signatur und Axiomen (hier stark vereinfacht dargestellt, die mathematischen Begriffe wurden teilweise nicht verwendet). Signatur ∑ = (S, Ω) mit S = Die Menge von Datentypen, die der ADT verwendet. Einer der Datentypen wird in der Regel durch den ADT neu definiert. Die anderen existieren bereits. Ω = Die Menge von Methoden und Konstanten des ADT. Axiome legen die Semantik und damit das Verhalten des ADT unabhängig von einer konkreten Implementierung fest. In diesen Unterlagen werden teilweise Beispiele aus dem Buch „Algorithmen und Datenstrukturen“ von Saake und Sattler übernommen. Die Darstellung der ADTs entspricht auch der Syntax aus dem Buch. Informatik 2 - Datenstrukturen

Abstrakte Datentypen Beispiel: Liste
Unvollständiger ADT für eine Liste List von Elementen des Datentyps T. type List(T) import Nat operators []  List _:_ : T  List  List addFirst : List  T  List getFirst : List  T getTail : List  List size : List  Nat axioms l : List, x : T getTail(addFirst(l, x)) = l getFirst(addFirst(l, x)) = x getFirst(x : l) = x getTail(x : l) = l size([]) = 0 size(x : l) = succ(size(l)) [] erzeugt eine neue, leere Liste _:_ Konstruktions- vorschrift (neuer Operator) x : l Element x und weitere Listenelemente in l succ entstammt ADT für natürliche Zahlen Informatik 2 - Datenstrukturen

Abstrakte Datentypen Beispiel: Liste
Mögliche Listen: [] leere Liste 1 : [] Liste mit dem Element 1 1 : 2 : 3 : 4 : [] Liste mit den Elementen 1 bis 4 Deutlich erkennbar: Das Wissen über die konkrete Implementierung der Liste ist für die Anwendung nicht erforderlich. In einer Programmiersprache: Schnittstelle der Klasse (öffentliche Methoden und Datentypen) sowie die Dokumentation des Verhalten sind erforderlich. Die Art der Implementierung ist unwichtig (sofern sie das Laufzeitverhalten nicht beeinflusst). Wozu dient das Wissen über ADTs? ADT könnte in Java eine Schnittstelle (ein interface) sein. Die konkrete Implementierung implementiert die Schnittstelle. Es lässt sich prima „auf der Schnittstelle“ arbeiten. Informatik 2 - Datenstrukturen

Abstrakte Datentypen Anwendung eines ADT
Beispiel ADT List und konkrete Java-Umsetzung der Operatoren type List(T) import Nat operators []  List _:_ : T  List  List addFirst : List  T  List getFirst : List  T getTail : List  List size : List  Nat axioms l : List, x : T getTail(addFirst(l, x)) = l getFirst(addFirst(l, x)) = x getFirst(x : l) = x getTail(x : l) = l size([]) = 0 size(x : l) = succ(size(l)) T: class <<interface>> List +add(int i, e: T): boolean +get(index: int): T +remove(index: int): T +size(): int T: class T: class LinkedList ArrayList +add(int i, e: T): boolean +get(index: int): T +remove(index: int): T +size(): int +add(int i, e: T): boolean +get(index: int): T +remove(index: int): T +size(): int Verkettete Liste Vektor Informatik 2 - Datenstrukturen

Abstrakte Datentypen Anwendung eines ADT
Beispiel ADT List und konkrete Java-Umsetzung der Axiome type List(T) import Nat operators []  List _:_ : T  List  List addFirst : List  T  List getFirst : List  T getTail : List  List size : List  Nat axioms l : List, x : T getTail(addFirst(l, x)) = l getFirst(addFirst(l, x)) = x getFirst(x : l) = x getTail(x : l) = l size([]) = 0 size(x : l) = succ(size(l)) z.B. als Dokumentation oder zur Validierung einer Implementierung Informatik 2 - Datenstrukturen

Abstrakte Datentypen ADT: Beschreibung der Axiome
Die Axiome können durch nahezu beliebige „Sprachen“ beschrieben werden. Komplexere Aussagen sind z.B. mit OCaml (funktionale Programmiersprache, siehe möglich  soll hier nicht näher vertieft werden. Informatik 2 - Datenstrukturen

Datenstrukturen in Java Übersicht

Datenstrukturen in Java Übersicht
Vereinfachte Übersicht über die Collections-Klassen in Java Informatik 2 - Datenstrukturen

Datenstrukturen in Java Schnittstellen
Iterable<E>: Über die Datenstruktur kann direkt iteriert werden  siehe Iteratoren. Collection<E>: Gruppe von Elementen, Duplikate können erlaubt sein List<E>: Collection mit einer Ordnung, Indexzugriff ist erlaubt (möglicherweise ineffizient) RandomAccess: Leere Schnittstelle, der Indexzugriff ist mit konstanter Zeit möglich. Queue<E>: spezielle Queue-Operationen vorhanden Deque<E>: Queue mit Einfüge- und Löschoperationen an Anfang und Ende Set<E>: Menge von Elementen ohne Duplikate SortedSet<E>: Menge mit einer Totalordnung der Elemente (anhand ihrer natürlichen Ordnung oder anhand eines Vergleichs-Objektes) NavigableSet<E>: SortedSet mit Methoden, um kleinere oder größere Elemente zu finden Map<K,V>: Bildet Schlüssel-Objekte (K) auf Werte (V) ab. SortedMap<K,V>: Eine Map mit einer Totalordnung der Elemente NavigableMap<K,V>: SortedMap mit Methoden, um kleinere oder größere Schlüssel zu finden. Informatik 2 - Datenstrukturen

Elementare Datenstrukturen Übersicht

Elementare Datenstrukturen Übersicht in Java
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Elementare Datenstrukturen Vektor – Prinzip
Elementare Datenstrukturen Vektor – Prinzip Die Klassen ArrayList<E> und Vector<E> verwalten dynamisch beliebig viele Objekte. Die Anordnung der Objekte erfolgt sequentiell. Die interne Implementierung erfolgt durch ein Array. Der Vektor besitzt eine Referenz auf den Speicherbereich. Ein Vektor eignet sich besonders für einen schnellen freien Zugriff über Indizes auf die Elemente. Der Indexzugriff erfolgt immer geprüft. Vector ist im Gegensatz zu ArrayList thread-sicher und damit langsamer. E: class ArrayList ArrayList size -values[*]: E -size: int Extra Platz 1 2 3 4 5 6 7 Informatik 2 - Datenstrukturen

Elementare Datenstrukturen Beispiel zu ArrayList
Elementare Datenstrukturen Beispiel zu ArrayList Beispiel: import java.util.ArrayList; public class ArrayListTest { public static void main(String[] args) { ArrayList<Integer> contents = new ArrayList<>(10); for (int i = 0; i < 10; i++) { contents.add(i * i); } int v = contents.get(12); // Geprüfter Zugriff --> // Abfangen der Fehler System.out.println(contents.size()); System.out.println(contents.contains(2)); Informatik 2 - Datenstrukturen

Elementare Datenstrukturen ArrayList und Vektor in Java
Beide implementieren RandomAccess: Indexzugriff in konstanter Zeit Informatik 2 - Datenstrukturen

Elementare Datenstrukturen Vektor – Aufwandsabschätzungen
Aufwandsabschätzungen für die Vektor-Klassen Operation Aufwand Einfügen O(N) Löschen Indexzugriff O(1) Suche, sortierte Daten O(ln N)  Binärsuche Suche, unsortierte Daten O(N)  sequentielles Durchlaufen Informatik 2 - Datenstrukturen

Elementare Datenstrukturen Liste: Prinzip
Elementare Datenstrukturen Liste: Prinzip Prinzip einer einfach verketteten Liste: Die Liste besitzt einen Kopf und ein Ende. Jeder Listeneintrag verweist auf seinen Nachfolger. Jeder Listeneintrag beinhaltet die Nutzdaten. LinkedList last first Listelement Listelement Listelement value value value E: class E: class LinkedList first 0, 1 Listelement 0, 1 -value: E next last 0, 1 Informatik 2 - Datenstrukturen

Elementare Datenstrukturen Liste: Prinzip
Elementare Datenstrukturen Liste: Prinzip Prinzip einer doppelt verketteten Liste: Die Liste besitzt einen Kopf und ein Ende. Jeder Listeneintrag verweist auf seinen Nachfolger und Vorgänger Jeder Listeneintrag beinhaltet die Nutzdaten. LinkedList last first Listelement Listelement Listelement value value value E: class E: class LinkedList first 0, 1 Listelement 0, 1 -value: E next last 0, 1 0, 1 prev Informatik 2 - Datenstrukturen

Elementare Datenstrukturen Liste in Java
LinkedList implementiert nicht RandomAccess: Indexzugriff nicht in konstanter Zeit! Informatik 2 - Datenstrukturen

Elementare Datenstrukturen Liste – Aufwandsabschätzung
Elementare Datenstrukturen Liste – Aufwandsabschätzung Operation Aufwand Einfügen (an Index x) O(N)  sequentielles Durchlaufen Einfügen (Anfang, Ende) O(1) Löschen (an Index x) Löschen (Anfang, Ende) Indexzugriff Suche, sortierte Daten Suche, unsortierte Daten Informatik 2 - Datenstrukturen

Elementare Datenstrukturen Queue – Prinzip
Elementare Datenstrukturen Queue – Prinzip Prinzip einer Queue (Warteschlange): Daten werden in einer Queue am Ende mit offer eingetragen und am Anfang der Queue mit poll entfernt  Warteschlange (häufig auch push/pop). Es gibt einige Container-Klassen, die Queue-Funktionalität einsetzen. Beispiel: LinkedList. Einsatzgebiete einfaches Nachrichtensystem (Nachricht ablegen = offer, Nachricht abholen = poll). allgemeine asynchrone Kommunikation zwischen Auftragnehmer und Auftraggeber Queue 1 2 3 Informatik 2 - Datenstrukturen

Elementare Datenstrukturen Queue in Java
LinkedList implementiert Queue Informatik 2 - Datenstrukturen

Elementare Datenstrukturen Queue in Java
Die Methoden gibt es doppelt (aus Queue und Deque): Funktion Methoden mit Ausnahmen Methoden ohne Ausnahmen (Fehlercode) Einfügen (push) add(E), push(E) offer(E), addLast(E) Entfernen (pop) remove(), removeFirst() poll(), pollFirst() Auslesen (top) element(), getFirst() peek(), peekFirst() Informatik 2 - Datenstrukturen

Elementare Datenstrukturen Queue – Prinzip
Elementare Datenstrukturen Queue – Prinzip Arbeitsweise einer Queue an einem Beispiel. Initialzustand: offer(E4): poll(): Queue E1 E2 E3 1 2 Queue offer E1 E2 E3 E4 1 2 3 Queue poll E2 E3 E4 1 2 Informatik 2 - Datenstrukturen

Elementare Datenstrukturen Stack – Prinzip
Elementare Datenstrukturen Stack – Prinzip Prinzip eines Stacks (Stapel): Daten werden in einem Stack am Ende mit offer eingetragen und ebenfalls am Ende mit poll entfernt  Stapel (häufig auch push/pop). Einsatzgebiete u.a.: Zwischenspeicherung von Objekten, wenn eine Rekursion zu einer Iteration aufgelöst wird. Text-Parser. Stack 1 2 3 Informatik 2 - Datenstrukturen

Elementare Datenstrukturen Stack in Java
Es gibt eine Stack-Klasse, die aber nicht optimal ist. Besser: Klasse, die Deque implementiert. Informatik 2 - Datenstrukturen

Elementare Datenstrukturen Stack in Java
Die Methoden gibt es doppelt (aus Queue und Deque): Funktion Methoden mit Ausnahmen Methoden ohne Ausnahmen (Fehlercode) Einfügen (push) add(E), push(E) offer(E), addLast(E) Entfernen (pop) removeLast() pollLast() Auslesen (top) getLast() peekLast() Informatik 2 - Datenstrukturen

Elementare Datenstrukturen Stack – Prinzip
Elementare Datenstrukturen Stack – Prinzip Arbeitsweise eines Stacks an einem Beispiel. Initialzustand: offer(E4): pollLast(): Stack E1 E2 E3 1 2 Stack offer E1 E2 E3 E4 1 2 3 Stack pollLast E1 E2 E3 1 2 Informatik 2 - Datenstrukturen

Iteratoren Übersicht Grafische Oberflä- chen Übersicht Layouts Ereignisse Widgets Grafik- operationen Grafik- widgets Effekte, Animationen Offene Punkte Daten- strukturen ADTs Datenstrukturen in Java Elementare Datenstrukturen Iteratoren Hash- tabellen Bäume Graphen Typinfo., I/O Annota- tionen Laufzeit- typinfo. Ein-, Ausgabe Entwurf Prinzipien Verbindung von Modulen Spring OSGi Informatik 2 - Datenstrukturen

Iteratoren Motivation
Wie lässt sich ein Algorithmus schreiben, der unabhängig von einer konkreten Datenstruktur arbeiten kann? Wie können beliebig viele Algorithmen quasi parallel eine unbekannte Datenstruktur bearbeiten? Informatik 2 - Datenstrukturen

Iteratoren Konzept Problem: Bisher werden Listen oder Vektoren durch eine Schleife, die direkt auf die Elemente des Containers zugreift, durchlaufen. Wie kann aber ein Algorithmus unabhängig von der Klasse (dem Container) geschrieben werden? Ziel: Konstruktion eines Algorithmus unabhängig von der konkreten Klasse (dem Container). Lösung: Iteratoren dienen als Bindeglied zwischen den Containern und Algorithmen auf Containern  Prinzip „Umkehr der Abhängigkeiten“! Iteratoren sind abstrakte Datentypen, mit deren Hilfe auf eine Folge von Objekten zugegriffen werden kann. Ein Iterator verweist immer auf ein Objekt innerhalb einer Folge von Objekten. Die Vorlesung behandelt Iteratoren nicht vollständig. Informatik 2 - Datenstrukturen

Iteratoren Konzept Mögliche Vektor- und Listenimplementierungen mit Sortierung der Elemente. Mit einem Iterator können alle Elemente in ihrer Sortierreihenfolge besucht werden. ArrayList Extra Platz sequentielles Durchlaufen LinkedList last first sequentielles Durchlaufen Informatik 2 - Datenstrukturen

Iteratoren Konzept Iterator als Bindeglied zwischen Algorithmus und Datenstruktur: ArrayList Zugriff erzeugt Zugriff auf die Datenstruktur über eine einheitliche Schnittstelle Algorithmus erzeugt Zugriff first last LinkedList Informatik 2 - Datenstrukturen

Iteratoren Funktionsweise
Iteratoren Funktionsweise Jede Datenstruktur bietet eigene Iteratoren, die eine der beiden folgenden Schnittstellen implementieren: normaler Iterator, um eine Collection vom Anfang bis zum Ende zu durchlaufen Iterator, um eine List vorwärts und rückwärts zu durchlaufen erlaubt das Ersetzen von Elementen ermöglicht das Auslesen des aktuellen Indexes begin() end() elem[0] elem[1] ... elem[n] Informatik 2 - Datenstrukturen Beispiele für Sequenzen - Felder - Vektoren - einfach und doppelt verkettete Listen - Bäume - ...

Iteratoren Funktionsweise
Iteratoren Funktionsweise Jede Datenstruktur hat Methoden, die die Iteratorobjekte erzeugen: Datenstruktor Erzeugung des Iterators Collection<E> Iterator<E> iterator() List<E> ListIterator<E> listIterator() und (weil List auch eine Collection ist) begin() end() elem[0] elem[1] ... elem[n] Informatik 2 - Datenstrukturen Beispiele für Sequenzen - Felder - Vektoren - einfach und doppelt verkettete Listen - Bäume - ...

Iteratoren Beispiel import java.util.ArrayList; import java.util.Iterator; import java.util.ListIterator; public class IteratorTest { public static void print( Iterator<?> iter) { while (iter.hasNext()) { System.out.println(iter.next()); } public static <E> void modify( ListIterator<? super E> iter, E value) { iter.next(); iter.set(value); public static void main( String[] args) { ArrayList<String> source = new ArrayList<>(); source.add("Hallo 1"); source.add("Hallo 2"); source.add("Hallo 3"); source.add("Hallo 4"); print(source.iterator()); modify(source.listIterator(), "----"); } Informatik 2 - Datenstrukturen

Iteratoren Weiteres Beispiel
Iteratoren Weiteres Beispiel import java.util.ArrayList; import java.util.Iterator; import java.util.ListIterator; public class IteratorTest { public static <E> void copy( ListIterator<? super E> dest, ListIterator<? extends E> source) { while (source.hasNext()) { // Im Ziel überschreiben? if (dest.hasNext()) { dest.next(); dest.set(source.next()); } // Anhängen, da Ziel kürzer else { dest.add(source.next()); public static void main( String[] args) { ArrayList<String> source = new ArrayList<>(); source.add("Hallo 1"); source.add("Hallo 2"); source.add("Hallo 3"); source.add("Hallo 4"); ArrayList<String> dest = copy(dest.listIterator(), source.listIterator()); } kopiert von ArrayList in ArrayList Informatik 2 - Datenstrukturen

Iteratoren Weiteres Beispiel – Variante 2
Iteratoren Weiteres Beispiel – Variante 2 copy arbeitet auch mit LinkedList, Vector, und anderen Datentypen. public static void main( String[] args) { LinkedList<String> source = new LinkedList<>(); source.add("Hallo 1"); source.add("Hallo 2"); source.add("Hallo 3"); source.add("Hallo 4"); LinkedList<String> dest = copy(dest.listIterator(), source.listIterator()); } copy kann auch zwischen unterschiedlichen Containern kopieren. public static void main( String[] args) { ArrayList<String> source = new ArrayList<>(); source.add("Hallo 1"); source.add("Hallo 2"); source.add("Hallo 3"); source.add("Hallo 4"); LinkedList<String> dest = new LinkedList<>(); copy(dest.listIterator(), source.listIterator()); } Im SDK wird aber eher mit Collection und List statt mit Iteratoren gearbeitet. Informatik 2 - Datenstrukturen

Iteratoren Bedeutung von Iteratoren: Beispiel
Die folgenden Klassen verwalten ein einfaches Dateisystem direkt im Hauptspeicher des Computers. File Directory 0..* subdirectories -name: String -access: int -contents: byte[*] -name: String -access: int files 0..* parent 0, 1 // Eine Datei im Dateisystem public class File { private String name; // Name private int access; // Rechte private byte[] contents; // Inhalt public File(String name, int access, byte[] contents){} public boolean equals( Object other){} // } // Verzeichnis im Dateisystem public class Directory { private String name; private Directory parent; // Vater private LinkedList<Directory> subdirectories; private LinkedList<File> files; private int access; // } Informatik 2 - Datenstrukturen

Es ergibt sich ein Baum aus Verzeichnissen, in denen jeweils eine Anzahl von Dateien liegen kann. Ziel: Schreiben einiger Methoden der Directory-Klasse, die über Iteratoren auf den Baum zugreifen. Zählen aller Dateien Methode der Klasse Directory, die die Anzahl der Dateien in dem Verzeichnis sowie seinen Unterverzeichnissen ermittelt. public int countFiles() { int size = files.size(); for (Iterator<Directory> iter = subdirectories.iterator(); iter.hasNext();) { Directory currentDirectory = iter.next(); size += currentDirectory.countFiles(); } return size; Informatik 2 - Datenstrukturen

Suchen einer Datei Methode der Klasse Directory, die nur in diesem Verzeichnis (nicht in seinen Unterverzeichnissen) eine Datei sucht. Doppelte Dateinamen kommen nicht vor. public boolean containsFile(File file) { for (Iterator<File> iter = files.iterator(); iter.hasNext(); ) { if (iter.next().equals(file)) { return true; } return false; Informatik 2 - Datenstrukturen

Iteratoren Bedeutung von Iteratoren
Abstrakte Zugriffe auf Datenstrukturen (nicht auf konkrete Collection-Klassen): Iteratoren Methoden der Schnittstellen List und Collection Viele Algorithmen sind auch als statische Methoden in der Klasse Collections vorhanden (sortieren usw.). Diese arbeiten fast immer auf den Schnittstellen List und Collection. Informatik 2 - Datenstrukturen

Iteratoren Eine Auswahl an Algorithmen der Klasse Collections
Algorithmus (Funktion) Bedeutung static <T> void copy( List<? super T> dest, List<? extends T> src) Kopiert Elemente eines Containers in einen anderen. Dabei werden die vorhandenen Elemente des Ziels überschrieben. Das Ziel muss genügend Platz für alle Elemente haben. Beispiel: LinkedList<String> src = new LinkedList<>(); LinkedList<String> dest = src.add("Test"); Collections.copy(dest, src); static <T> void fill( List<? super T> list, T obj) Überschreibt alle Elemente eines Ziel-Containers mit einem festen Wert. Beispiel: ArrayList<String> a = new ArrayList<>(); a.add("42"); a.add("66"); Collections.fill(a, "9"); Informatik 2 - Datenstrukturen

Iteratoren Eine Auswahl an Algorithmen der Klasse Collections
Algorithmus (Funktion) Bedeutung static <T extends Comparable<? super T>> void sort(List<T> list) Mit sort kann der Inhalt eines Containers sortiert werden. Diese Methode verwendet den Standardtest equals, um zwei Objekte zu vergleichen. Beispiel: Vector<String> v = new Vector<>(); v.add("66"); v.add("42"); Collections.sort(v); static void sort(List<T> list, Comparator<? super T> c) Diese Sortier-Methode verwendet den übergebenen Vergleicher, um zwei Objekte zu vergleichen. static void reverse(List<?> list) Dreht die Reihenfolge der Elemente um. Beispiel: Collections.reverse(v); Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Übersicht

Hashtabellen Motivation
Hashtabellen Motivation Wie können Daten laufzeiteffizient verwaltet werden? Welche Bedingungen gelten dabei? Wie sieht der Speicherbedarf dazu aus? Idee: Daten werden in einem Array abgelegt und der Index im Array aus den Daten berechnet. Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Idee Problem: Wie kann eine Menge von Werten M, die durch eine Schlüsselmenge K repräsentiert werden kann, effizient verwaltet werden? schnelles Einfügen schnelles Suchen schnelles Löschen Gesucht ist eine Abbildung H von der Menge der Schlüssel K in den zur Verfügung stehenden Adressraum. Bisherige Lösung: Listen-, Vektordarstellungen, Arrays,... Dabei wurde beim Suchen jeweils die Speicheradresse ermittelt. Jetzt: Neue Lösung, bei der die Werte in einem Vektor oder Array liegen und die Werte mittels einer Schlüsseltransformation auf den Adressraum (den Vektor) abgebildet werden. Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Problem der Schlüsselabbildung
Hashtabellen Problem der Schlüsselabbildung Problem: Menge der möglichen Schlüsselwerte ist viel größer als die Menge der freien Speicheradressen. Beispiel: Die Elemente einer Menge werden mit Schlüsseln der Länge 10 Zeichen beschrieben. Es sollen maximal 1000 Elemente und damit 1000 Adressen verwendet werden. Wie sollen 2610 mögliche Schlüssel auf 1000 Adressen verteilt werden? Schlussfolgerung: Die Abbildungsfunktion H kann nicht eindeutig sein. Die Funktion H wird Hashfunktion genannt. Das Array, das die Werte aufnimmt, wird Hashtabelle genannt. Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Perfekte Hashfunktion
Hashtabellen Perfekte Hashfunktion Eine (perfekte) Hashfunktion kann über einen Schlüsselwert direkt die Position des Objekts im Feld berechnen. Beispiel: Es existieren 26 Objekte, die Personen beschreiben: public class Person { } Diese Personen werden durch Ihren Nachnamen als Schlüssel identifiziert. Zufällig sind die Namen über das Alphabet verteilt. Es gibt also zu jedem Großbuchstaben genau eine Person, deren Namen mit diesem Schlüssel anfängt. Damit ergibt sich eine perfekte Hashfunktion: Person[] hashtable = new Person[26]; int hash(String key){ return key.charAt(0) – 'A'; } Dann kann die Person zu einem Schlüssel einfach so gefunden werden: Person dozent = hashtable[ hash("Vogelsang") ]; Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Perfekte Hashfunktion
Hashtabellen Perfekte Hashfunktion Dieser Fall ist ziemlich unwahrscheinlich. Zumeist werden mehrere Personen den gleichen Anfangsbuchstaben haben und sich dann die Positionen im Feld teilen müssen. Man spricht dann auch von Kollision. Bis zu einem gewissen Grad kann man Kollisionen dadurch begegnen, dass man die Hashtabelle größer macht und die Hashfunktion so erweitert, dass zum Beispiel der zweite Buchstabe berücksichtigt wird. Damit das Ergebnis der Berechnung wieder in die Tabelle passt, wird es später modulo der Tabellengröße gerechnet. final int SHIFT = 257; int hash(String key) { return key.charAt(0) + key.charAt(1) * SHIFT; } Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Strategien zur Kollisionserkennung
Hashtabellen Strategien zur Kollisionserkennung Ab jetzt soll der Fall der nicht-perfekten Hashfunktion betrachtet werden. Frage: Wie soll verfahren werden, wenn beim Einfügen die Hashfunktion einen Index in der Tabelle ermittelt, der bereits durch einen anderen Wert belegt ist? Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Hashtabellen mit Verkettung
Hashtabellen Hashtabellen mit Verkettung Idee: Alle Objekte mit identischen Hashwerten werden am selben Index der Hashtabelle am Ende einer linearen Liste angehängt. 1 2 3 4 5 6 7 K, V: class K, V: class K, V: class HashMap list first 0, 1 listelement * 0, 1 -data: pair<K, V> next last 0, 1 lists Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Hashtabellen mit Verkettung Vorteil: Die Hashtabelle kann nicht überlaufen. Solange überhaupt noch Speicher vorhanden ist, lassen sich auch Elemente in der Tabelle eintragen. Bezeichnung: mit Verkettung: Beim Suchen müssen nur Objekte mit gleichem Schlüsselwert in einer verketteten Liste verglichen werden. Problem: Der Zugriff wird mit zunehmender Anzahl der Kollisionen langsamer. Die Suche kann sogar zur linearen Suche entarten. Ist die zu erwartende Anzahl von Objekten bekannt, kann auch die Lösung mit einer Liste gut sein. Eine mögliche Lösung: Einsatz von Bäumen statt Listen. Informatik 2 - Datenstrukturen

Nachteile von Hashtabellen mit Verkettung: Es muss dynamisch Speicher belegt werden, was das Eintragen in die Hashtabelle zu einer relativ aufwändigen Operation macht. Dynamische Container brauchen mehr Platz als ein statisches Feld mit gleich vielen Elementen. Bei zunehmender Anzahl der Kollisionen ist Listensuche erforderlich. Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Hashtabellen mit Verkettung: Eine einfache Implementierung Implementierung einer sehr einfachen und nicht optimalen Hashtabelle für Schlüssel und Werte eines beliebigen Typs mit Kollisionslisten (Projekt HashMap, Pair überschreibt equals für die Duplikatprüfung beim Einfügen): public class SimpleHashMap<K,V> implements Iterable<SimpleHashMap<K,V>.Pair> { // Paar für Schlüssel (K) und Wert (V), normalerweise impl. Interface class Pair { private K key; // + Getter private V value; // + Getter und Setter public Pair(K key, V value) { this.key = key; this.value = value; } @SuppressWarnings("unchecked") @Override public boolean equals(Object otherPair) { if (otherPair != null && otherPair.getClass() == getClass()) { return ((Pair) otherPair).key.equals(key); return false; Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Hashtabellen mit Verkettung: Eine einfache Implementierung // Vektor mit den Listen, die ihrerseits die Paare aufnehmen private ArrayList<LinkedList<Pair>> entries; // Größe des Vektors übergeben public SimpleHashMap(int size) { entries = new ArrayList<>(); // Im Vektor alle Listen anlegen for (int i = 0; i < size; ++i) { entries.add(new LinkedList<Pair>()); } // Schlüssel "key" und Wert "value" in der Hash-Tabelle ablegen public void put(K key, V value) { int index = indexFor(key.hashCode()); Pair pair = new Pair(key, value); // Eventuell vorhandenes Paar mit id. Schlüssel löschen entries.get(index).remove(pair); entries.get(index).add(pair); Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Hashtabellen mit Verkettung: Eine einfache Implementierung // Wert zu einem Schlüssel auslesen public V get(K key) { int index = indexFor(key.hashCode()); // Die Listen sequentiell durchsuchen for (Pair pair: entries.get(index)) { if (pair.key.equals(key)) { return pair.value; } return null; Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Hashtabellen mit Verkettung: Eine einfache Implementierung /** * Berechnet den Indes aus einem Hashwert. Die Modulo-Berechnung * <code>abs(hashCode % laenge)</code> ist nicht ausreichend, da * der <code>hashCode</code> den Wert <code>Integer.MIN_VALUE</code> * besitzen kann. Der Absolutwert von <code>Integer.MIN_VALUE</code> * ist wiederum <code>Integer.MIN_VALUE</code>, also negativ! hashCode Berechneter Hashwert. Index innerhalb der Tabelle. */ private int indexFor(int hashCode) { int absHashCode = abs(hashCode); if (absHashCode < 0) { absHashCode = 0; } return absHashCode % entries.size(); Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Hashtabellen mit Verkettung: Eine einfache Implementierung // Die Hash-Tabelle benötigt einen Iterator. Der wird // hier etwas anders als in der HashMap des JDK implementiert. // Innere Klasse von SimpleHashMap class HashMapIterator implements Iterator<Pair> { private int index; private Iterator<Pair> listIterator; public HashMapIterator() { // Erste nicht-leere Liste finden for (LinkedList<Pair> list: entries) { if (list.size() > 0) { listIterator = list.iterator(); break; } ++index; Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Hashtabellen mit Verkettung: Eine einfache Implementierung @Override public boolean hasNext() { // Gibt es überhaupt ein Element? if (index >= 0 && index < entries.size() && listIterator != null) { // Hat die aktuelle Liste ein weiteres Element? if (listIterator.hasNext()) { return true; } // Nächste Liste mit Eintrag suchen int nextIndex = index; while (++nextIndex < entries.size()) { // Hat sie einen Eintrag? if (entries.get(nextIndex).size() > 0) { return false; Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Hashtabellen mit Verkettung: Eine einfache Implementierung @Override public Pair next() { // Gibt es überhaupt ein Element? if (index >= 0 && index < entries.size() && listIterator != null) { // Hat die aktuelle Liste ein weiteres Element? if (listIterator.hasNext()) { return listIterator.next(); } // Nächste Liste mit Eintrag suchen while (++index < entries.size()) { // Hat sie einen Eintrag? if (entries.get(index).size() > 0) { listIterator = entries.get(index).iterator(); throw new NoSuchElementException(); Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Hashtabellen mit Verkettung: Eine einfache Implementierung // Ein Löschen des aktuellen Elementes ist hier nicht implementiert // --> ist etwas länglich. @Override public void remove() { throw new UnsupportedOperationException(); } // Methode, um den Iterator der Hash-Tabelle auszulesen. Auch dieses // ist hier anders als in der HashMap des JDK umgesetzt. public Iterator<Pair> iterator() { return new HashMapIterator(); Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Hashtabellen mit Verkettung: Eine einfache Implementierung public class SimpleHashMapTest { public static void main(String[] args) { SimpleHashMap<String, Integer> simpleHashMap = new SimpleHashMap<>(31); simpleHashMap.put("Answer", 42); simpleHashMap.put("What?", 66); for (Iterator<SimpleHashMap<String, Integer>.Pair> iter = simpleHashMap.iterator(); iter.hasNext();) { SimpleHashMap<String, Integer>.Pair pair = iter.next(); System.out.println(pair.getKey() + ": " + pair.getValue()); } for (SimpleHashMap<String, Integer>.Pair pair: simpleHashMap) { Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Hashtabellen mit Verkettung: Aufwandsabschätzung
Hashtabellen Hashtabellen mit Verkettung: Aufwandsabschätzung Annahmen: Die Auslastung der Tabelle ist α = N / M. N = Anzahl der Schlüssel, M = Anzahl der Speicherplätze in der Tabelle. Der Schlüsselbereich S ist uniform, d.h., die Schlüssel werden gleichmäßig auf die Tabelle verteilt. Die Berechnung der Hashfunktion hat Aufwand O(1). Operation Aufwand Einfügen (inkl. Duplikatsuche) O(N), im Mittel θ(α+1) Löschen Suche, erfolgreich Suche, erfolglos Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Offene Hashtabellen/Geschlossene Hashtabellen
Hashtabellen Offene Hashtabellen/Geschlossene Hashtabellen Ein anderer Ansatz zur Kollisionsbehandlung sind offene Hashtabellen (manchmal auch gesclossene Hashtabellen): offen: offene Adressierung im Array geschlossen: Begrenzung der maximalen Schlüssel im Array Ansatz: Verzicht auf dynamische Verknüpfungen wie Listen etc. Statt dessen: Ist beim Einfügen der gesuchte Index belegt, so wird ein freier Nachbarindex gesucht und der Wert dort eingetragen. Zu Bestimmung eines Nachbarindexes existieren verschiedene Ansätze. Die Suche erfolgt analog: Zunächst wird durch den Schlüssel ein Index ermittelt. Steht dort nicht der gesuchte Wert, so werden die Nachbarindizes durchsucht. 1 2 3 4 5 6 7 Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Offene Hashtabellen: Einfügen
Hashtabellen Offene Hashtabellen: Einfügen // Fiktive Beispielimplementierung einer Hash-Map ohne Duplikatsprüfung public class SimpleHashMap<K,V> { // Schlüssel- und Wertepaar class Pair { public K key; public V value; public Pair(K key, V value) { this.key = key; this.value = value; } @SuppressWarnings("unchecked") @Override public boolean equals(Object otherPair) { if (otherPair != null && otherPair.getClass() == getClass()) { return ((Pair) otherPair).key.equals(key); return false; Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Offene Hashtabellen: Einfügen // ArrayList mit den Paaren private ArrayList<Pair> entries; // Hash-Map in einer vorgegebenen Größe erzeugen public SimpleHashMap(int size) { entries = new ArrayList<Pair>(size); for (int i = 0; i < size; ++i) { entries.add(null); // jeder Eintrag ist leer } Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Offene Hashtabellen: Einfügen // Einfügen ohne Prüfung auf Duplikate (nicht sehr praxisnah). public void put(K key, V value) { int startIndex = abs(key.hashCode()) % entries.size(); int count = 0; int currentIndex = startIndex; boolean finished = false; do { if (entries.get(currentIndex) == null) { // freien Platz gefunden, Paar erzeugen und eintragen entries.set(currentIndex, new Pair(key, value)); finished = true; } else { // berechne nächsten Index count++; currentIndex = (startIndex + nextStep(count)) % entries.size(); } while (!finished && (count < entries.size())); Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Offene Hashtabellen: Einfügen // Suche nach einem Wert anhand seines Schlüssels public V get(K key) { int startIndex = abs(key.hashCode()) % entries.size(); int count = 0; int currentIndex = startIndex; // Solange suchen, bis ein leerer Eintrag gefunden wurde do { if (entries.get(currentIndex) == null) { return null; } else { // gefunden! if (entries.get(currentIndex).key.equals(key)) { return entries.get(currentIndex).value; // Berechne nächsten Index count++; currentIndex = (startIndex + nextStep(count)) % entries.size(); } while (count < entries.size()); Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Offene Hashtabellen: Lineares Sondieren
Hashtabellen Offene Hashtabellen: Lineares Sondieren Die Methode int nextStep(int attempt) ermittelt den nächsten zu testenden Eintrag. Im einfachsten Fall ist nextStep: private int nextStep(int attempt) { return attempt; } In diesem Fall nennt man die Vorgehensweise auch lineares Sondieren, und für die Testindizes gilt: h0 = hash(key); hi = (h0 + i); Nachteil: Die Schlüssel ballen sich um primäre Schlüssel (Schlüssel, die beim Einfügen nicht kollidieren). Ziel: nextStep sollte so gewählt werden, dass die Schlüssel wiederum gleichmäßig auf die freien Plätze verteilt werden. Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Offene Hashtabellen: Quadratisches Sondieren
Hashtabellen Offene Hashtabellen: Quadratisches Sondieren Die Methode nextStep ermittelt den nächsten Eintrag durch eine quadratische Funktion. h0 = hash(key); hi = (h0 + i2); Vorteil: Die Verteilung ist einfach zu berechnen und verhindert im Wesentlichen primäre Ballungen. Nachteil: Es werden nicht alle Indizes der Hashtabelle berücksichtigt, damit wird u.U. ein freier Eintrag nicht gefunden. Es wird aber mindestens die halbe Tabelle durchsucht, wenn deren Größe eine Primzahl ist. Der Nachteil trägt nur dann, wenn die Tabelle relativ voll ist. In der Praxis sollte man eine Auslastung von max. 50% vorsehen. Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Offene Hashtabellen: Doppelte Hashfunktion
Hashtabellen Offene Hashtabellen: Doppelte Hashfunktion Die Methode nextStep ermittelt den nächsten Eintrag durch einen Aufruf einer anderen Hashfunktion g. h0 = hash(key); hi = (h0 + i * g(key)); Doppelte Hashfunktionen zeigen das beste Verhalten, wenn die beiden Hashfunktionen hinreichend unabhängig voneinander sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Hashfunktionen den gleichen Wert liefern, sollte also gering sein. Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Offene Hashtabellen: Pseudozufallszahlen
Hashtabellen Offene Hashtabellen: Pseudozufallszahlen Nach der Initialisierung durch den Konstruktor liefern sukzessive Aufrufe von nextStep der Reihe nach die Pseudozufallszahlen. Die Überlaufstrategie mit einem Pseudozufallszahlengenerator leidet auch unter sekundärer Clusterbildung, es sei denn, der Startwert wird vom Schlüssel abhängig gemacht. Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Dynamische Hashtabellen
Dynamische Hashtabellen sind in der Lage, sich bei Bedarf automatisch zu vergrößern oder zu verkleinern, ohne dass ein komplettes Neuberechnen der Hashwerte erforderlich ist.  soll hier nicht betrachtet werden (zu kompliziert…) Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Vergleich der Verfahren – einige Zahlen
Hashtabellen Vergleich der Verfahren – einige Zahlen Vorteile der Hashtabelle mit Verkettung: Sie erlaubt Auslastungen α > 100%. Sie unterstützt sehr einfach das Löschen. Ein gegebener Schlüssel wird immer abgespeichert. Vorteile der offenen Hashtabellen: Die Zugriffsoperationen sind wesentlich effizienter. Die Algorithmen sind einfacher zu implementieren. Konkrete Werte der durchschnittlichen Anzahl von Versuchen für Füllgrade zwischen 60% und 95%: Name Anzahl Versuche bei Füllgrad α 60% 70% 80% 90% 95% Kollisionsliste 1,00 Lineares Sondieren 1,75 2,17 3,00 5,50 10,50 Pseudozufallszahlen 2,29 4,01 8,05 23,02 59,91 Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Vergleich der Verfahren – einige Zahlen
Verlauf beim Einfügen Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Implementierungen in Java
Es gibt noch weitere Klassen (siehe Folgeseiten) Informatik 2 - Datenstrukturen

HashMap<K,V>: Ablage von Schlüssel-/Wertepaaren Schlüsselduplikate sind nicht erlaubt. Mehrere Iterierungsmöglichkeiten  kommen gleich Hashtable<K,V>: Ablage von Schlüssel- Wertepaaren im Gegensatz zu HashMap thread-sicher Iterieren wie bei HashMap HashSet<E>: Ablage von Schlüsseln Duplikate sind nicht erlaubt. Iteratorzugriff mit der Methode public Iterator<E> iterator() Informatik 2 - Datenstrukturen

LinkedHashMap<K,V>: Ablage von Schlüssel- Wertepaaren Schlüsselduplikate sind nicht erlaubt. Alle Paare sind untereinander durch eine doppelt-verkettete Liste verbunden. Entweder: in Einfügereihenfolge, um diese zu erhalten oder in jeweils aktualisierter Zugriffsreihenfolge beim Lesen, damit die Elemente mit den häufigsten Zugriffen vorne in der Liste stehen  Cache! Iterieren wie bei HashMap LinkedHashSet<E>: siehe LinkedHashMap und HashSet (nur Schlüssel, verbunden über eine Liste) Informatik 2 - Datenstrukturen

Beispiel zum Einsatz einer Hash-Tabelle in einer Server-Anwendung: Wenn der Browser mit GZIP komprimierte Dateien verarbeiten kann und wenn der Dateityp nicht ohnehin schon komprimierte Daten enthält dann komprimiere die Daten vor dem Versand mit GZIP. Die Hash-Tabelle enthält die Dateiendungen der nicht zu komprimierenden Dateien. Ausschnitt: private HashSet<String> compressedFileTypes = new HashSet<String>(); // public void doFilter(...) { if (!isGzipSupportedByBrowser(request) || compressedFileTypes.contains(fileType)) { chain.doFilter(request, response); return; } // vor dem Versand komprimieren GzipResponse gzipRespone = new GzipResponse(response); chain.doFilter(request, gzipRespone); gzipResponse.close(); Informatik 2 - Datenstrukturen

Maps und Zugriff auf Iteratoren Informatik 2 - Datenstrukturen

Es existieren drei Varianten zum Iterieren: Set<K> keySet(): Liefert die Menge aller Schlüssel, über die iteriert werden kann. Die Werte sind nicht direkt zugreifbar. Collection<V> values(): Liefert alle Schlüssel, über die iteriert werden kann. Deren Zuordnung zu den Schlüsseln ist nicht mehr erkennbar. Set<Map.Entry<K,V>> entrySet(): Liefert die Menge aller Schlüssel-/Werte-Paare, über die iteriert werden kann. Beispiel mit direkter Iterator-Verwendung: HashMap<String, Integer> map = new HashMap<>(); // füllen for (Iterator<Map.Entry<String, Integer>> entryIter = map.entrySet().iterator(); entryIter.hasNext()); ) { Map.Entry<String, Integer> entry = entryIter.next(); String key = entry.getKey(); Integer value = entry.getValue(); // … } Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Weiterer Einsatz von Hashfunktionen
Wozu kann eine Hashfunktion noch dienen? Berechnung von Prüfsummen, um zu testen, ob eine Nachricht oder Datei verfälscht wurde. Beispiel: siehe Datei Hashwert Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Weiterer Einsatz von Hashfunktionen
MD5 ist eine 128-Bit Prüfsumme (hier über den Inhalt der Datei): Algorithmus: siehe Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Wahl einer Hashfunktion
Ziel: Gleichmäßige Verteilung der Werte in der Tabelle. Beispiel für eine schlechte Hashfunktion: Studenten-Objekte sollen in einer Hashtabelle gespeichert werden. Jeder Student hat eine 6-stellige Matrikelnummer, die fortlaufend vergeben wird. Größe der Hashtabelle: Hashfunktion 1: Die ersten beiden Stellen der Matrikelnummer bilden den Schlüssel. Problem: Alle Datensätze eines Jahrganges werden auf sehr wenige Positionen abgebildet. Hashfunktion 2: Die letzten beiden Stellen der Matrikelnummer bilden den Schlüssel. Besser: Die Datensätze verteilen sich gleichmäßiger auf die Tabelle. Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Wahl einer Hashfunktion
Einige Hinweise zur Wahl der Hashfunktion: Integer-Zahlen i: die Zahl i selbst oder i mod 2n (n ist eine große Primzahl) Fließkommazahlen: Addition oder andere Verknüpfung von Mantisse und Exponent Strings: Addition der ASCII/Unicode-Werte einiger/aller Zeichen, eventuell mit einem Faktor gewichtet Komplexere Objekte: Reduktion auf primitive Datentypen, die Attribute des Objektes sind. Beispiel: public class Rectangle { private int x; private int y; private int w; private int h; } Hashwert aus Verknüpfung der Koordinaten + Größe Informatik 2 - Datenstrukturen

Hashtabellen Wahl einer Hashfunktion: Beispiele von Java
Die Ermittlung einer guten Hashfunktion wird hier nicht besprochen. Hashfunktionen in Java (Ergebnis ist immer int): für einen String s der Länge n: s[0]*31(n-1) + s[1]*31(n-2) s[n-1] 0 für leere Strings für Byte-, Short- und Integer-Zahlen: Die Zahl ist der Hashwert. für Long-Zahlen: Exklusiv-Oder-Verknüpfung der unteren und oberen 32 Bit Rückgabe der unteren 32 Bit für Double-Zahlen: Umwandlung der Bit-Repräsentation der Zahl in long Exklusiv-Oder-Verknüpfung der unteren und oberen 32 Bit (um Mantisse und Exponent zu berücksichtigen) Informatik 2 - Datenstrukturen

für Boole‘sche Werte: true: 1231 false: 1237 für einen Vector bzw. eine List der Länge n: v[0].hashCode()*31(n-1) + v[1].hashCode()*31(n-2) v[n-1] .hashCode() 0 für leere Vektoren Wichtig in Java: Objekte liefern durch Überschreiben der Methode int hashCode() ihren eigenen Hashwert zurück. Der Wert darf sich bei mehreren Aufrufen der Methode nicht ändern, solange sich das Objekt nicht ändert. Wenn zwei Objekte beim Vergleich mit der equals-Methode gleich sind, so müssen auch ihre Hashwerte identisch sein. Informatik 2 - Datenstrukturen

Beispiel für Klasse java.awt.geom.Rectangle2D (stark vereinfacht!): public abstract class Rectangle2D { private double x; private double y; private double w; private double h; @Override public int hashCode() { long bits = Double.doubleToLongBits(x); bits += Double.doubleToLongBits(y) * 37; bits += Double.doubleToLongBits(w) * 43; bits += Double.doubleToLongBits(h) * 47; return (((int) bits) ^ ((int) (bits >> 32))); } // Die equals-Methode liefert dann true, wenn // alle x, y, w, h bei beiden Objekten gleich sind. Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Übersicht Grafische Oberflä- chen Übersicht Layouts Ereignisse Widgets Grafik- operationen Grafik- widgets Effekte, Animationen Offene Punkte Daten- strukturen ADTs Datenstrukturen in Java Elementare Datenstrukturen Iteratoren Hash- tabellen Bäume Graphen Typinfo., I/O Annota- tionen Laufzeit- typinfo. Ein-, Ausgabe Entwurf Prinzipien Verbindung von Modulen Spring OSGi Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Motivation Was sind Bäume? Wozu dienen Bäume? Wie sind die Daten in einem Baum sortiert? Wie kann ein Baum effizient implementiert werden? Verschiedene Baumarten für unterschiedliche Einsatzgebiete Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Übersicht Beispiel: Teilebaum eines Autos [Udo Müller, Fachgebiet WI] Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Übersicht Es ergibt sich ein Aufbau der Teile wie bei einem Stammbaum. Jeder Strich von oben nach unten bedeutet dabei, dass sich das Ausgangsobjekt aus den tiefer liegenden Objekten zusammensetzt. Zusammengesetzte Objekte können durch einen solchen Baum eindeutig beschrieben werden. Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Übersicht Stammbaum wichtiger Programmiersprachen (bis 2003) [P. Henning, H. Vogelsang (Hrsg.), „Handbuch Programmiersprachen“] Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Übersicht Darstellung von (X)HTML-Seiten im Browser wird im Browser intern durch einen Baum (DOM) repräsentiert Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Übersicht Quelltext-Verwaltung in Eclipse Quelltext wird intern als Baum dargestellt Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Übersicht Dokumentenstruktur Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Übersicht Scene Graph von JavaFX: Scene FlowPane Button Button Button Group Ellipse Rectangle Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Begriffe Nicht nur für zusammengesetzte Objekte können Bäume verwendet werden. In der Informatik werden Bäume häufig verwendet, um effizient Objekte einzufügen, zu suchen und zu löschen. Begriffsübersicht Kante linker Sohn (der Wurzel) 42 Wurzel rechter Sohn (der Wurzel) 27 68 Knoten 6 39 51 75 12 34 Blätter (keine Nachfolger) 41 64 72 linker Teilbaum rechter Teilbaum Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Binärer Suchbaum
Bäume Binärer Suchbaum In dieser Vorlesung werden Bäume mit den folgenden Eigenschaften behandelt: Die Knoten enthalten Werte, die sich vergleichen lassen. In der Praxis wird man für die Schlüssel die equals-Methode überschreiben und Comparable implementieren bzw. einen Comparator übergeben. Für jeden Knoten gilt, dass er einen eindeutigen rechten Sohn und einen eindeutigen linken Sohn hat (sofern es diesen jeweils gibt). Der linke Sohn (sofern es ihn gibt) hat immer einen niedrigeren Wert als der rechte Sohn (sofern es ihn gibt). Der linke Sohn (sofern es ihn gibt) eines Knotens hat immer einen kleineren Wert als der Knoten. Der rechte Sohn (sofern es ihn gibt) eines Knotens hat immer einen größeren Wert als der Knoten. Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Binärer Suchbaum – eine einfache Implementierung
Bäume Binärer Suchbaum – eine einfache Implementierung Beispielklasse für einen Baum mit Schlüsseln und Werten (siehe Projekt TreeMap): public class SimpleTreeMap<K extends Comparable<K>,V> { // Gleiche Paar-Klasse wie in der SimpleHashMap class Pair { public K key; public V value; public Pair(K key, V value) { /* ... */ } } // Knoten des Binärbaumes class Node { private Pair data; private Node left; private Node right; public Node(Pair data, Node left, Node right) { /* ... */ } // Getter und Setter // Wurzel des Baums private Node root; Knoten: graphisch node (value) left right Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Binärer Suchbaum – Komplettes Durchlaufen
Bäume Binärer Suchbaum – Komplettes Durchlaufen Es gibt mehrere Arten, einen Baum zu durchlaufen: Preorder: Zuerst wird der Knoten selbst ausgegeben, dann seine Söhne. Inorder: Zuerst werden der linke Sohn, dann der Knoten selbst, dann der rechte Sohn ausgegeben. Postorder: Zuerst werden die Söhne des Knotens ausgegeben, dann der Knoten selbst. Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Binärer Suchbaum – Traversierung
Bäume Binärer Suchbaum – Traversierung Preorder: public void dump(Node node) { if (node != null) { System.out.println(node.data.key + " "); dump(node.left); dump(node.right); } Inorder: Postorder: Analog Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Binärer Suchbaum – Traversierung
Bäume Binärer Suchbaum – Traversierung Preorder, nicht-rekursiv: void dump(Node node) { stack.offer(node); while (stack.size() > 0) { node = stack.pollLast(); System.out.println(node.data.key); if (node.right != null) { stack.offer(node.right); } if (node.left != null) { stack.offer(node.left); Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Binärer Suchbaum – Traversierung und Ausgabe
Bäume Binärer Suchbaum – Traversierung und Ausgabe Levelorder (Queue anstatt Stack): void dump(Node node) { queue.offer(node); while (queue.size() > 0) { node = queue.poll(); System.out.println(node.data.key); if (node.left != null) { queue.offer(node.left); } if (node.right != null) { queue.offer(node.right); Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Binärer Suchbaum – Suche anhand eines Beispiels
Bäume Binärer Suchbaum – Suche anhand eines Beispiels Suche nach dem Wert 34: Enthält der aktuelle Knoten den gesuchten Wert: fertig. Ist der gesuchte Wert kleiner als der Knotenwert: linker Sohn Ist der gesuchte Wert größer als der Knotenwert: rechter Sohn 34 42 27 68 6 39 51 75 12 34 41 64 72 Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Binärer Suchbaum – Implementierung der Suche
Bäume Binärer Suchbaum – Implementierung der Suche Suchmethode: public V get(K key) { // Start am Wurzelknoten Node searchNode = root; // Solange es noch Knoten gibt und der aktuelle Knoten nicht // dem gesuchten Wert entspricht, suche weiter. while ((searchNode != null) && (!searchNode.data.key.equals(key))) { // Wenn der gesuchte Wert größer als der Wert des Knotens // ist, nimm den rechten Zweig, ansonsten den linken. searchNode = (key.compareTo(searchNode.data.key) > 0) ? searchNode.right: searchNode.left; } return searchNode != null ? searchNode.data.value : null; Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Binärer Suchbaum – Algorithmus zum Einfügen
Bäume Binärer Suchbaum – Algorithmus zum Einfügen Vorgehensweise beim Einfügen: Zunächst wird die Stelle gesucht, an der sich der Wert im Baum befinden sollte. Ist der Wert schon vorhanden, so wird einfach die Adresse dieses Wertes zurückgegeben. Ist er nicht vorhanden, so wird ein neuer Knoten erzeugt und dort eingehängt. Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Binärer Suchbaum – Einfügen anhand eines Beispiels
Bäume Binärer Suchbaum – Einfügen anhand eines Beispiels Beispiel: Einfügen des Wertes 36 36 42 27 68 6 39 51 75 12 34 41 64 72 36 Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Binärer Suchbaum – Algorithmus zum Löschen
Bäume Binärer Suchbaum – Algorithmus zum Löschen Die komplizierteste Funktion ist das Löschen aus einem binären Teilbaum. Dazu müssen drei Fälle unterschieden werden: Der zu löschende Knoten hat gar keinen Sohn. Damit kann er direkt gelöscht werden. Der zu löschende Knoten hat genau einen Sohn. Dann wird der Sohn in den aktuellen Knoten „kopiert“ und der Sohn gelöscht. Der zu löschende Knoten hat zwei Söhne. Dann wird im linken Teilbaum der Sohn mit dem größten Wert gesucht und als neuer zentraler Knoten eingefügt (oder im rechten Teilbaum der kleinste Wert). Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Binärer Suchbaum – Löschen anhand eines Beispiels
Bäume Binärer Suchbaum – Löschen anhand eines Beispiels Beispiel: Löschen des Wertes 36 (Fall 1, der Knoten hat keinen Nachfolger) 42 27 68 6 39 51 75 12 34 41 64 72 36 kann direkt gelöscht werden Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Binärer Suchbaum – Löschen anhand eines Beispiels Beispiel: Löschen des Wertes 34 (Fall 2, der Knoten hat einen direkten Nachfolger) 42 27 68 6 39 51 75 12 34 41 64 72 36 36 36 ersetzt 34, die alte 36 wird gelöscht Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Binärer Suchbaum – Löschen anhand eines Beispiels Beispiel: Löschen des Wertes 42 (Fall 3, der Knoten wird durch das größte Element des linken oder das kleinste des rechten Teilbaums ersetzt  das hat immer nur einen direkten Nachfolger) 42 27 68 41 6 39 51 75 12 34 41 64 72 36 41 ersetzt 42, die alte 41 wird gelöscht Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Binärer Suchbaum – Beispielanwendung
Bäume Binärer Suchbaum – Beispielanwendung public class SimpleTreeMapTest { public static void main(String[] args) { SimpleTreeMap<String, Integer> simpleTreeMap = new SimpleTreeMap<>(); simpleTreeMap.add("Question", 66); simpleTreeMap.add("Answer", 42); System.out.println(simpleTreeMap.get("Question")); System.out.println(simpleTreeMap.get("Answer??")); } Baum des Beispiels 13 2 100 Informatik 2 - Datenstrukturen 1 12 11

Bäume Binärer Suchbaum – Aufwandsabschätzung
Bäume Binärer Suchbaum – Aufwandsabschätzung Annahme: Der Baum ist nicht balanciert. Operation Aufwand Einfügen, sortierte Reihenfolge O(N) Einfügen, zufällige Reihenfolge O(N), im Mittel θ(ln N) Löschen O(N), falls degeneriert Indexzugriff Suche, degeneriert Suche, optimal eingefügt O(ln N) Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Beispiel zum binären Suchbaum
Darstellung eines arithmetischen Ausdrucks als Baum: f = (a - b) * c - (d / b + sin(e)) Tipp: Klammerungen werden durch die Höhen der Operatorknoten untereinander wiedergegeben. Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (AVL) – Idee
Bäume Balancierter Baum (AVL) – Idee Ein Baum heißt vollständig, wenn jeder Knoten entweder zwei Söhne hat oder gar keine. Bei einem solchen Baum wächst die Höhe des Baumes, also der längste Weg beim Suchen, logarithmisch mit der Anzahl der Objekte. Die Komplexität des Suchens wächst logarithmisch mit der Anzahl der Elemente. Gegenteil: Auch die lineare, geordnete Liste ist ein Suchbaum, wenn auch ein vollständig entarteter. Die Komplexität des Suchens in einem derart degenerierten Baum wächst linear mit der Anzahl der Elemente. Zu den gleichen Zahlen kann man unterschiedliche binäre Suchbäume konstruieren. Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (AVL) – Idee Beispiel, in dem der Baumaufbau von der Reihenfolge des Einfügens der Elemente abhängt. 45 68 41 68 64 34 42 51 51 45 39 64 42 41 39 34 Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (AVL) – Idee Ein Baum kann also zur Liste degenerieren. Problem: In der Praxis sind Suchbäume praktisch nie vollständig ausgeglichen, denn das würde einen sehr großen Aufwand bedeuten. Lösung: Näherungsweises Ausgleichen eines Baums (Begriff: ausgeglichener Baum). Die erste Klasse von ausgeglichenen Bäumen waren die AVL-Bäume (nach den Erfindern G. M. Adelson-Velski/E. M. Landis). Ziel: Je zwei Teilbäume an einem Knoten dürfen sich in der Höhe um nicht mehr als 1 unterscheiden. Dieses gilt für alle Teilbäume an allen Knoten. Ein Baum ist genau dann ausgeglichen, wenn dieses Ziel erreicht ist. Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (AVL) – Ausgleichen
Bäume Balancierter Baum (AVL) – Ausgleichen Nach jeder Einfüge- oder Löschoperation muss überprüft werden, ob ein Ausgleichen des Baums erforderlich ist Das Ausgleichen erfolgt durch „Rotation“ der Knoten. Beispiel: Linksrotation um die Knoten B/D. Eine Linksrotation reduziert die Höhe des rechten Teilbaums um 1 und erhöht die Höhe des linken um 1. B D Rotationspunkt D B e a c e a c Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (AVL) – Ausgleichen durch Doppelrotation
Bäume Balancierter Baum (AVL) – Ausgleichen durch Doppelrotation Um die Höhe eines inneren Baums zu verändern, muss eine Doppelrotation LR oder RL angewendet werden. Beispiel: Doppelrotation B D F B F a D g a c e g c e Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (AVL) – Algorithmus zum Ausgleichen
Bäume Balancierter Baum (AVL) – Algorithmus zum Ausgleichen Gegeben sei ein Baum mit einer Wurzel W sowie deren linken Teilbaum L und rechten Teilbaum R. Der neue Knoten soll in L eingefügt werden (wie bisher auch). Höhe(L) = Höhe(R): Nach dem Einfügen unterscheiden sich die Höhen um 1 -> Ausgeglichenheit nicht verletzt. Höhe(L) < Höhe(R): Die Höhen werden gleich. Die Ausgeglichenheit ist nicht verletzt. Höhe(L) > Höhe(R): Die Ausgeglichenheit wird zerstört. Der Baum muss restrukturiert werden. Lösung: Jeder Knoten enthält zusätzlich Balance-Informationen. Höhe(L) = Höhe(R): balance = 0 Höhe(L) < Höhe(R): balance = 1; Höhe(L) > Höhe(R): balance = -1; Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (AVL) – Beispiel
Bäume Balancierter Baum (AVL) – Beispiel Aufwandsabschätzung Operation Aufwand Einfügen O(ln N) Löschen Indexzugriff O(N) Suche Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (Top-Down 2-3-4) – Idee
Bäume Balancierter Baum (Top-Down 2-3-4) – Idee AVL-Bäume sind kompliziert auszugleichen. Normale binäre Bäume können im schlimmsten Fall zu einer linearen Liste entarten. Idee: Bäume können an einem Knoten mehr als einen Schlüssel haben. 2-Knoten (1 Schlüssel) 3-Knoten (2 Schlüssel) 4-Knoten (3 Schlüssel) n n0 n1 < n > n < n0 > n1 > n0 < n1 n0 n1 n2 < n0 > n0 < n1 > n1 < n2 > n2 Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (Top-Down 2-3-4) – Suchoperation anhand eines Beispiels Suche nach dem Wert 15: Enthält der aktuelle Knoten den gesuchten Wert: fertig. Wähle das Intervall, in dem der Schlüssel liegen müsste und folge der Kante zum nächsten Knoten. 15 10 20 7 8 13 14 15 22 24 Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (Top-Down 2-3-4) – Einfügeoperation (naiv)
Bäume Balancierter Baum (Top-Down 2-3-4) – Einfügeoperation (naiv) Grundidee (ineffizient) Suche nach dem Blatt-Knoten, in dem der Schlüssel liegen müsste. Der Knoten ist ein 2-Knoten: Schlüssel einfügen, es entsteht ein 3-Knoten. Der Knoten ist ein 3-Knoten: Schlüssel einfügen, es entsteht ein 4-Knoten. Der Knoten ist ein 4-Knoten: Möglichkeit 1: Den Schlüssel als neues Blatt an den 4-Knoten anhängen  Problem: Wie soll ausbalanciert werden? Möglichkeit 2: Durchführen der folgenden Schritte: Den mittleren Schlüssel des 4-Knotens entnehmen. Den 4-Knoten in zwei 2-Knoten aufspalten. Den neuen Schlüssel in einen der 2-Knoten einfügen. Den mittleren Knoten des ehemaligen 4-Knotens in den Vaterknoten einfügen. Wenn der Vater vorher ein 4-Knoten war  auch aufspalten. Im schlimmsten Fall bis zur Wurzel aufspalten. Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (Top-Down 2-3-4) – Einfügeoperation (effizient) Grundidee (effizient) Suche nach dem Knoten/Blatt, in dem der Schlüssel liegen müsste. Teile jeden auf dem Pfad liegenden 4-Knoten in 2 2-Knoten auf (der 2. Durchlauf entfällt dadurch). Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (Top-Down 2-3-4) – Einfügeoperation (effizient) Die Wurzel des Baums wird grundsätzlich in 3 2-Knoten aufgeteilt, wenn sie ein 4-Knoten war. Da die 4-Knoten auf dem Weg von der Wurzel zu den Blättern gespalten werden, spricht man von einem Top-Down-Baum. Der Baum wächst immer in Richtung Wurzel, daher ist er stets ausbalanciert. Alle Äste wachsen gleichmäßig. In der Praxis sind relativ wenige Aufspaltungen eines 4-Knotens erforderlich. Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (Top-Down 2-3-4) – Einfügeoperation anhand eines Beispiels Einfügen des Wertes 16: 10 20 7 8 13 14 15 22 24 Ausgangssituation 10 14 20 7 8 13 15 16 22 24 Einfügen von 16 (vor Teilen der Wurzel) Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (Top-Down 2-3-4) – Einfügeoperation anhand eines Beispiels
14 10 20 7 8 13 15 16 22 24 Einfügen von 16 (nach Teilen der Wurzel) Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (Top-Down 2-3-4) – Aufwandsabschätzung
Bäume Balancierter Baum (Top-Down 2-3-4) – Aufwandsabschätzung Der Baum ist immer balanciert. Operation Aufwand Einfügen, sortierte Reihenfolge O(ln N) Einfügen, zufällige Reihenfolge O(ln N), im Mittel θ(ln N) Löschen Indexzugriff O(N) Suche Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (Red-Black) – Idee
Bäume Balancierter Baum (Red-Black) – Idee Die Implementierung des Einfügens in einen Baum ist leicht ineffizient, da in jedem Schritt geprüft werden muss, ob eine Aufspaltung notwendig ist. Neue Idee 3-Knoten und 4-Knoten werden als spezielle kleine binäre Bäume dargestellt, die durch „rote“ Verbindungen verkettet sind. Die „schwarzen“ Verkettungen halten den kompletten Baum selbst zusammen. Ein zusätzliches Bit im Knoten zeigt an, ob er über eine rote oder eine schwarze Verbindung mit seinen Vater verkettet ist. Ein Rot-Schwarz-Baum kann als eine spezielle Implementierung des Baums gesehen werden. Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (Red-Black) – Idee Umwandlung eines 4-Knotens in einen kleinen Binärbaum: Umwandlung eines 3-Knotens in einen kleinen Binärbaum: Informatik 2 - Datenstrukturen

Bedingungen für die Farben: Jeder Knoten im Baum ist entweder rot oder schwarz eingefärbt. Die Wurzel des Baums ist immer schwarz. Alle Blätter sind schwarz. Ist ein Vaterknoten rot, so sind beide Nachfolger schwarz. Jeder Pfad von einem beliebigen Knoten zu seinen Blättern enthält die gleiche Anzahl schwarzer Knoten. Konsequenz: Die Pfadlängen von der Wurzel zu den Blättern kann sich maximal um den Faktor 2 unterscheiden. Warum? Im kürzesten Pfad sind alle Knoten schwarz. Im längsten Pfad wechseln sich rote und schwarze Knoten ab. Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (Red-Black) – Aufwandsabschätzung
Bäume Balancierter Baum (Red-Black) – Aufwandsabschätzung Der Red-Black-Tree soll hier nicht näher betrachtet werden. Der Baum ist immer balanciert. Operation Aufwand Einfügen, sortierte Reihenfolge O(ln N) Einfügen, zufällige Reihenfolge O(ln N), im Mittel θ(ln N) Löschen Indexzugriff O(N) Suche Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Implementierungen in Java
Baum-Klassen Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Implementierungen in Java
Baumimplementierungen in Java (Rot-Schwarz-Baum): TreeMap<K,V>: Ablage von Schlüssel- Wertepaaren Schlüsselduplikate sind nicht erlaubt. Mehrere Iterierungsmöglichkeiten (wie bei HashMap): public Set<Map.Entry<K,V>> entrySet() liefert die Menge aller Schlüssel/Werte-Paare, über die iteriert werden kann public Set<K> keySet() liefert die Menge aller Schlüssel, über die iteriert werden kann public Collection<V> values() ermittelt alle Werte, über die iteriert werden kann TreeSet<E>: Ablage von Schlüsseln Iteratorzugriff mit der Methode public Iterator<E> iterator() Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Die Klasse TreeMap: Beispiel Wörterzählen
Bäume Die Klasse TreeMap: Beispiel Wörterzählen public class TreeMapWordCountTest { // Wörter einlesen. Trennzeichen sind Leerzeichen, // Tabulatoren und Zeilenumbrüche usw. public static TreeMap<String,Integer> getWords(String text) { // TreeMap zum sammeln aller Wörter als Schlüssel // sowie deren Anzahl als Wert. TreeMap<String, Integer> words = new TreeMap<>(); // Der StringTokenizer zerlegt einen String in einzelne Tokens (Wörter). // Die Worttrennzeichen sind die einzelnen Zeichen im 2. Parameter. StringTokenizer tokenizer = new StringTokenizer(text, " \t\r\n.,;-"); while (tokenizer.hasMoreTokens()) { String input = tokenizer.nextToken(); Integer count = words.get(input); words.put(input, count == null ? 1 : count.intValue() + 1); } return words; Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Die Klasse TreeMap: Beispiel Wörterzählen public static void main(String[] args) { String text = "C++ ist meine absolute Lieblingssprache und" + " ich freue mich auf die Klausur. Eigentlich" + " ist Java meine Lieblingssprache."; TreeMap<String, Integer> words = getWords(text); for (Map.Entry<String, Integer> wordEntry: words.entrySet()) { System.out.println(wordEntry.getKey() + ": " + wordEntry.getValue()); } Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Die Klasse TreeMap: Beispiel Wörterzählen Eingabe C++ ist meine absolute Lieblingssprache und ich freue mich auf die Klausur. Eigentlich ist Java meine Lieblingssprache. Alphabetische Ausgabe der Wörter C++: 1 Eigentlich: 1 Java: 1 Klausur: 1 Lieblingssprache: 2 absolute: 1 auf: 1 die: 1 freue: 1 ich: 1 ist: 2 meine: 2 mich: 1 und: 1 Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B) – Idee eines Mehrwegbaums
Bäume Balancierter Baum (B) – Idee eines Mehrwegbaums B-Bäume sind eine Verallgemeinerung balancierter Bäume. B-Bäume sind Mehrwegbäume. Die Ordnung des Baums ist o, o >= 2. Jeder Knoten enthält maximal 2 * o Schlüssel. Jeder Knoten hat minimal o Schlüssel.  Speicherausnutzung beträgt min. 50% (Ausnahme: Wurzel, die zu weniger als 50% gefüllt sein darf). Die Schlüssel innerhalb eines Knotens sind aufsteigend sortiert. Wenn m die Anzahl der Schlüssel in einem Knoten ist, so hat der Knoten genau m + 1 Nachfolger, wenn er kein Blatt ist. Die Schlüssel des linken Teilbaums sind kleiner als der Schlüssel der Wurzel dieses Teilbaums. Die Schlüssel des rechten Teilbaums sind größer als der Schlüssel der Wurzel dieses Teilbaums. Alle Blattseiten liegen auf einer Ebene. Optional: Neben einem Schlüssel können auch Werte abgelegt sein. Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B) – Idee eines Mehrwegbaums
Bäume Balancierter Baum (B) – Idee eines Mehrwegbaums Ein B-Baum der Ordnung 2: Aufbau eines Knotens ohne Werte (pi = Verweis auf Nachfolger, ki = Schlüssel): Aufbau eines Knotens mit Werten (pi = Verweis auf Nachfolger, ki = Schlüssel, vi ist Datenwert von Schlüssel ki): 25 10 20 30 40 2 5 7 8 13 14 15 18 22 24 26 27 28 32 35 38 41 42 45 46 p0 k1 p1 k2 … km-1 pm-1 km pm p0 k1 v1 p1 k2 v2 … km-1 vm-1 pm-1 km vm pm Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B) – Einsatzgebiet
Bäume Balancierter Baum (B) – Einsatzgebiet B-Bäume werden häufig zur Verwaltung von Daten auf externen Massenspeichern eingesetzt: Der Baum enthält Schlüssel und Indizes für die eigentlichen Nutzdaten. Die Nutzdaten liegen sequentiell in einer eigenständigen Datei vor. Vorteile dieser Organisation: Wenn auf die Daten nicht sequentiell zugegriffen werden muss, muss nur der Baum abgesucht werden. Dieser enthält dann die Position der Nutzdaten in der zweiten Datei. Zum Einfügen und Löschen muss die Reihenfolge der Nutzdaten nicht verändert werden. Es sind nur sehr wenige Zugriffe notwendig  Zugriffe auf den Massenspeicher sind sehr langsam. Nur der Wurzelknoten des Baums wird im Speicher gehalten. Ein ähnlicher Aufbau wird für Datenbanken gewählt. Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B) – Aufbau bei externem Massenspeicher
Bäume Balancierter Baum (B) – Aufbau bei externem Massenspeicher Zusammenhang zwischen Index (Baum) und Nutzdatendatei: Anmerkungen: Im Beispiel: Schlüssel = Position in der Datei In der Realität: zusätzlich Nutzdaten mit der Position als Wert … 10 Satz 2 Satz 7 Satz 27 2 5 7 8 13 14 15 18 Satz 1 … Satz 42 usw. Satz 3 … Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B) – Suchoperation
Bäume Balancierter Baum (B) – Suchoperation Funktionsweise der Suchoperation: Startknoten: Wurzel des Baums Suche mittels Binärsuche nach dem Schlüssel. Ist der Schlüssel vorhanden, so ist die Suche beendet. Ermittlung des Nachfolgeknotens: Auswahl des Verweises zwischen den zwei Werten, zwischen denen der Suchschlüssel liegen muss. Wenn ein Nachfolgeknoten existiert (Knoten ist kein Blatt), dann lade den Knoten vom Massenspeicher  weiter an Punkt 2. Wenn kein Nachfolgeknoten existiert, so ist der Schlüssel nicht im Baum vorhanden. Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B) – Suchoperation am Beispiel
Bäume Balancierter Baum (B) – Suchoperation am Beispiel Suche nach dem Schlüssel 35: 25 10 20 30 40 2 5 7 8 13 14 15 18 22 24 26 27 28 32 35 38 41 42 45 46 Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B) – Einfügeoperation am Beispiel
Bäume Balancierter Baum (B) – Einfügeoperation am Beispiel Es soll ein Baum durch das Einfügen der folgenden Zahlen entstehen: 20, 40, 10, 30, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 42, 13, 46, 27, 8, 32, 38, 24, 45, 25. Der Baum hat die Ordnung 2. Einfügen: Analog zum Top-Down Baum Das mittlere Element wird nach dem (gedachten) Einfügen ermittelt. 20 20 40 10 20 40 10 20 30 40 Eingefügt: 20 Eingefügt: 40 Eingefügt: 10 Eingefügt: 30 20 20 10 15 30 40 10 15 30 35 40 Eingefügt: 15 Eingefügt: 35 Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B) – Einfügeoperation am Beispiel 20 20 7 10 15 30 35 40 7 10 15 26 30 35 40 Eingefügt: 7 Eingefügt: 26 20 20 30 7 10 15 18 26 30 35 40 7 10 15 18 22 26 35 40 Eingefügt: 18 Eingefügt: 22 Informatik 2 - Datenstrukturen

10 20 30 5 7 15 18 22 26 35 40 Eingefügt: 5 10 20 30 5 7 15 18 22 26 35 40 42 Eingefügt: 42 Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B) – Einfügeoperation am Beispiel 10 20 30 5 7 13 15 18 22 26 35 40 42 Eingefügt: 13 10 20 30 5 7 13 15 18 22 26 35 40 42 46 Eingefügt: 46 Informatik 2 - Datenstrukturen

10 20 30 5 7 13 15 18 22 26 27 35 40 42 46 Eingefügt: 27 10 20 30 5 7 8 13 15 18 22 26 27 35 40 42 46 Eingefügt: 8 Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B) – Einfügeoperation am Beispiel 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 22 26 27 32 35 42 46 Eingefügt: 32 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 22 26 27 32 35 38 42 46 Eingefügt: 38 Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B) – Einfügeoperation am Beispiel 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 22 24 26 27 32 35 38 42 46 Eingefügt: 24 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 22 24 26 27 32 35 38 42 45 46 Eingefügt: 45 Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B) – Einfügeoperation am Beispiel 25 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 22 24 26 27 32 35 38 42 45 46 Eingefügt: 25 Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B) – Löschoperation
Bäume Balancierter Baum (B) – Löschoperation Löschoperation in einem B-Baum: Unterscheidung zweier Fälle: Das zu löschende Objekt liegt in einem Blatt. Es wird gelöscht  Schritt 2. Das zu löschende Objekt liegt nicht in einem Blatt: Aus dessen linkem Teilbaum wird das größte Element geholt (oder aus dem rechten Teilbaum das kleinste). Dieses ersetzt das zu löschende Objekt  Schritt 2. Ausgleichen: Durch das Löschen der Objekte kann ein Unterlauf auftreten (der Knoten ist nicht mehr zu min. 50% gefüllt). Es werden eine benachbarte Seite geladen und die Elemente auf beide Seiten gleichmäßig verteilt. Tritt dabei ein Unterlauf auf, werden beide Seiten zusammengelegt und das mittlere Element des Vaterknoten in die gemeinsame Seite eingefügt. Jetzt kann im Vaterknoten ein Unterlauf auftreten  Schritt 2. Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B) – Löschoperation am Beispiel
Bäume Balancierter Baum (B) – Löschoperation am Beispiel Es sollen aus dem Baum die folgenden Schlüssel entfernt werden: 25, 45, 24, 38, 32, 8, 27, 46, 13, 42, 5, 22, 18, 26, 7, 35, 15. Der Baum hat die Ordnung 2. 25 10 20 30 40 5 7 8 13 15 18 22 24 26 27 32 35 38 42 45 46 Informatik 2 - Datenstrukturen

24 10 18 30 40 5 7 8 13 15 20 22 26 27 32 35 38 42 45 46 Gelöscht: 25 24 10 18 30 40 5 7 8 13 15 20 22 26 27 32 35 38 42 46 Gelöscht: 45 Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B) – Löschoperation am Beispiel 10 22 30 40 5 7 8 13 15 18 20 26 27 32 35 38 42 46 Gelöscht: 24 10 22 30 40 5 7 8 13 15 18 20 26 27 32 35 42 46 Gelöscht: 38 Informatik 2 - Datenstrukturen

10 22 30 5 7 8 13 15 18 20 26 27 35 40 42 46 Gelöscht: 32 10 22 30 5 7 13 15 18 20 26 27 35 40 42 46 Gelöscht: 8 Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B) – Löschoperation am Beispiel 10 22 35 5 7 13 15 18 20 26 30 40 42 46 Gelöscht: 27 10 22 35 5 7 13 15 18 20 26 30 40 42 Gelöscht: 46 Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B) – Löschoperation am Beispiel 10 22 35 5 7 15 18 20 26 30 40 42 Gelöscht: 13 10 22 5 7 15 18 20 26 30 35 40 Gelöscht: 42 Informatik 2 - Datenstrukturen

15 22 7 10 18 20 26 30 35 40 Gelöscht: 5 15 26 7 10 18 20 30 35 40 Gelöscht: 22 Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B) – Löschoperation am Beispiel 15 30 15 7 10 20 26 35 40 7 10 20 30 35 40 Gelöscht: 18 Gelöscht: 26 20 20 10 15 30 35 40 10 15 30 40 10 20 30 40 Gelöscht: 7 Gelöscht: 35 Gelöscht: 15 Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B) – Sequentieller Datenzugriff
Inorder-Durchlauf aller Knoten: Nachteil: Auf Knoten muss mehrfach zugegriffen werden (Laden vom Massenspeicher!). Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B) – Aufwandsabschätzungen
Bäume Balancierter Baum (B) – Aufwandsabschätzungen Bedeutung der Ordnung o des Baums: Je größer o ist, desto flacher wird der Baum Je kleiner o ist, desto geringer ist der Aufwand zum Suchen innerhalb des Knotens. Seien n = Anzahl Knoten im Baum mit n >= 2 o = Ordnung des Baums mit o >= 1 Dann gilt für die Höhe h des Baum: h <= log2*o ((n+1) / 2) Damit gilt für die Suche eines Schlüssels Ermittlung und Laden der Seiten entlang des Pfads: O(log2*o( (n+1)/2 )) Suche innerhalb einer Seite mittels Binärsuche: O(ld( 2*o )) Damit gilt für die komplette Suche: O(log2*o((n+1)/2 ))* O(ld( 2*o )), wobei der Aufwand für das Laden einer Seite wegen der Plattenzugriffe deutlich höher als die Suche innerhalb der Seite ist. Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B) – Aufwandsabschätzungen
Bäume Balancierter Baum (B) – Aufwandsabschätzungen Erste Idee: Ein Knoten soll möglichst viele Elemente enthalten. Konsequenzen: Beim rekursiven Abstieg zum Einfügen werden alle gefundenen Knoten im Speicher gehalten, um die Anzahl der Plattenzugriffe klein zu halten. Dadurch wächst bei sehr vielen Knoten der Speicherbedarf an. Werden die Knoten nicht mehr im Speicher gehalten, so wächst die Zeit für die Plattenzugriffe (Verdopplung). Bessere Idee: Häufig wird die Knotengröße so gewählt, dass ein Knoten sehr gut beispielsweise in einen Sektor auf dem externen Speicher passt und so effizient gelesen werden kann. Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B*)
Der B*-Baum ist eine Abwandlung des B-Baums mit Daten: Innere Knoten enthalten nur Schlüssel (so genannte Separatorschlüssel) und Nachfolger als Paare (ki, pi): p0 verweist auf einen Knoten mit Schlüsseln kleiner oder gleich k1. pi (1 ≤ i < m) verweist auf einen Knoten mit Schlüsseln größer als ki und kleiner oder gleich ki+1. pm verweist auf einen Knoten mit Schlüsseln größer als km. Die Werte befinden sich zusammen mit den Schlüsseln nur in den Blättern als Paare (ki, vi): Die Daten werden in der Sortierreihenfolge der Schlüssel abgelegt. Alle Blätter werden zu einer doppelt verketteten Liste verbunden (Verweis p, n oben) sehr schnelles sequentielles Durchlaufen aller Daten. Der Baum wird in der Literatur manchmal auch B+-Baum genannt, teilweise unterscheiden sich B+- und B*-Bäume aber auch in der Literatur… p0 k1 p1 k2 … km-1 pm-1 km pm p k0 v0 k1 v1 … km-1 vm-1 km vm n Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B*)
Jeder innere Knoten hat min. k und max. 2k Einträge (=Ordnung beim B-Baum). Jeder Blattknoten hat min. k* und max. 2k* Einträge (außer Wurzel). Wozu? In den inneren Knoten ist „mehr Platz“ für Schlüssel und Verweise auf Nachfolger  Baumhöhe sinkt bei identischer Knotengröße. Einfaches Sequentielles Durchlaufen der Datenelemente. B* ist die wichtigste Variante des B-Baums. Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B*) – Einfügeoperation
Einfügen: Ähnlich wie beim B-Baum. Suche den Schlüssel des neuen Datensatzes im Baum  führt immer zu einem Blatt, da Daten nur in Blättern gespeichert werden. Füge den neuen Datensatz im Blatt ein. Falls der Knoten überläuft, wird er gespalten („in der Mitte“). Beim Spalten wird ein „mittlerer“ Schlüssel (Separatorschlüssel) erzeugt und in den Vaterknoten eingefügt. Der Separatorschlüssel kann im Blatt vorkommen, muss es aber nicht. Beim Überlauf des Vaterknotens: weiter in Schritt 3 Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B*) – Einfügeoperation am Beispiel
Beispiel: k = 4, k* = 2 Startsituation (Knoten bestehen aus Schlüssel und zugehörigem Wert): Schrittweises Einfügen von [30, „Hoffmann“]: Aufspalten des Knotens und Erzeugung eines Separatorschlüssels (23) in einem neuen gemeinsamen Vaterknoten. Neue Knoten als Liste verketten. Überlauf im Vaterknoten: Rekursiv zur Wurzel hin fortsetzen. 10 Vogelsang 15 Pape 20 Gmeiner 25 Nestler 10 Vogelsang 15 Pape 20 Gmeiner 25 Nestler 30 Hoffmann Überlauf 23 10 Vogelsang 15 Pape 20 Gmeiner 25 Nestler 30 Hoffmann Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Balancierter Baum (B*) – Löschoperation, sequentieller Datenzugriff Löschen Daten werden immer nur in den Blättern gelöscht. Unterlauf ähnlich wie beim B-Baum  soll hier nicht näher betrachtet werden. Sequentieller Datenzugriff Verzeigerung in den Blattseiten folgen Vorteil: Auf jeden Blattknoten muss nur einmal zugegriffen werden. Die Nutzdaten befinden sich nur in den Blättern! Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Vergleich von B- und B*-Baum
Index (mit Schlüsseln und Werten) Index (mit Separator- schlüsseln) Schlüssel mit Werten Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Tries (digitale Bäume)
Trie (gesprochen „try“): Baum zur Speicherung von Zeichenketten eines Dokumentes, um später leicht das Vorhandensein der Texte im Dokument feststellen zu können (retrieval). Aufbau: Knoten ist ein Array mit der Größe = Kardinalität des Alphabetes. Jeder Eintrag enthält einen Verweis auf einen anderen Knoten. Die Buchstaben werden nicht um Baum gespeichert (Index ergibt Buchstaben). Aufbau: Alphabet mit 26 Zeichen als Großbuchstaben. A B C D … X Y Z A B C D … X Y Z A B C D … X Y Z A B C D … X Y Z Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Tries (digitale Bäume)
Beispiel (unvollständig): Probleme: Ungleichmäßige Verteilung der Daten (viele leere Verweise z.B. für Kombinationen wie XX, XY, YY, YYYZ, …). Entartung zur Liste möglich. A B C D … F … Y Z … E … R … … E … R … … N … T … … E … I … … E … I … … J … N … … G … T … Benjamin Bennet Bettina Brigitte Britta Fred Frieda Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Binäre Tries Ausweg aus dem Problem der ungleichmäßigen Auslastung: Repräsentation der Zeichenketten als Binärfolge. Knoten enthält nur noch Nachfolger für 0 und 1. Weiterhin problematisch: Entartung zu Listen. Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Patricia Bäume Ziel: Vermeidung des Entartens zu einer Liste. Lösung: Practical Algorithm to Retrieve Information Coded in Alphanumeric (Patricia). Idee: Irrelevante Teile der Zeichenkette werden übersprungen. Jeder Knoten enthält die Anzahl zu überspringender Zeichen (Trie) oder Bits (bin. Trie). Beispiel (kompakte Darstellung eines Trie): 2 e j Oberkante 4 i m Objektiv 2 n t Objektmenge Objektmethode Informatik 2 - Datenstrukturen

Bäume Patricia Bäume Suchen: Die im Knoten angegebenen Stellen überspringen. Zum richtigen Nachfolger laufen. Vorteil: Kompakte Struktur, schnelleres Durchlaufen (besonders bei langen Wörtern). Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Übersicht Grafische Oberflä- chen Übersicht Layouts Ereignisse Widgets Grafik- operationen Grafik- widgets Effekte, Animationen Offene Punkte Daten- strukturen ADTs Datenstrukturen in Java Elementare Datenstrukturen Iteratoren Hash- tabellen Bäume Graphen Typinfo., I/O Annota- tionen Laufzeit- typinfo. Ein-, Ausgabe Entwurf Prinzipien Verbindung von Modulen Spring OSGi Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Motivation Wozu dienen Graphen? Welche Arten von Informationen können damit modelliert werden? Wie können Graphen im Speicher abgebildet werden? Einige wichtige Algorithmen für Graphen. Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Idee Viele Probleme lassen sich allgemein unter Verwendung von Objekten und Verbindungen formulieren: Darstellung eines Straßennetzes: [ Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Idee Schienennetzplan (KVV): [ Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Idee Oder etwas berühmter (London Tube): [ Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Idee Beziehungen in einem sozialen Netzwerk: [ Netz aller Flugverbindungen Elektronische Schaltungen aus Komponenten und Verbindungen Scheduling: Welche Aufgaben hängen von anderen Aufgaben ab? Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Begriffe Begriffe Ein Graph ist eine Menge von Knoten und Kanten. Knoten sind einfache Objekte, die Namen und andere Eigenschaften haben können. Kanten sind Verbindungen zwischen Knoten. 42 68 Kante 27 41 16 Knoten 6 39 51 Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Begriffe Ein Graph ist unabhängig von seiner Darstellung: Ein Pfad von einem Knoten x zu einem Knoten y ist eine Liste von aufeinander folgenden Knoten, die durch Kanten verbunden sind. Ein Graph ist zusammenhängend, wenn von jedem Knoten zu jedem anderen Knoten ein Pfad existiert. Ein Zyklus ist ein Pfad, in dem Anfangs- und Endknoten identisch sind. Ein Baum ist ein Graph ohne Zyklen. Ein Gruppe nicht zusammenhängender Bäume wird Wald genannt. 42 68 42 68 27 41 16 27 6 16 51 6 39 51 41 39 Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Begriffe Ein Spannbaum ist ein Teilgraph, der alle Knoten enthält sowie die Kanten, die notwendig sind, um einen Baum zu bilden. Graphen mit wenigen Kanten (E < V log V) werden licht genannt. Graphen, in denen nur wenige Kanten fehlen, werden dicht genannt. Gewichtete Graphen: Die Kanten haben Gewichte (Kosten, Entfernungen, ...). Gerichtete Graphen: Die Kanten können nur in einer vorgegebenen Richtung durchlaufen werden („Einbahnstraßen“). 42 68 42 68 27 41 27 41 16 16 6 39 51 6 39 51 Graph Spannbaum Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Darstellung im Programm
Knoten werden auf ganze Zahlen (Indizes) abgebildet, um sehr effizient darauf zugreifen zu können: Knoten werden nummeriert. Der Hashwert des Namens eines Knotens wird als Index verwendet  perfekte Hashfunktion. Einfachste Darstellung eines Graphen: Adjazenzmatrix („Nachbarschaftsmatrix“): Annahme: Der Graph hat V Knoten. Es wird ein Feld (zweidimensionales Array) graph der Größe V*V mit Boole‘schen Werten gefüllt: Der Wert graph[ x ][ y ] = true, wenn eine Kante von Knoten x zu Knoten y führt. Der Wert graph[ x ][ y ] = false, wenn es diese Kante nicht gibt. Die Matrix ist symmetrisch für ungerichtete Graphen: graph[ x ][ y ] = graph[ y ][ x ]  Speicherplatzverschwendung, aber einfachere Algorithmen Informatik 2 - Datenstrukturen

In der Regel ist es praktisch zu definieren, dass ein Knoten immer zu sich selbst führt: graph[ x ][ x ] = true  abhängig vom Einsatz des Graphen Beispiel: Löschen eines Knotens x: An den Positionen [ 0...V-1 ][ x ] und [ x ][ 0...V-1 ] muss false eingetragen werden (Löschen der Kanten). 1 2 3 4 5 6 7 t f 1 2 6 4 7 5 3 Informatik 2 - Datenstrukturen

Beispielgraph: 1 2 6 4 5 3 7 Informatik 2 - Datenstrukturen

Aufwand Adjazenzmatrix: O(V2) Speicherplätze sowie O(V2) Schritte zur Initialisierung. Nachteil der Adjazenzmatrix: Bei lichten Graphen ist die Speicherplatzverschwendung sehr hoch. Für lichte Graphen existiert daher eine Adjazenzliste („Nachbarschaftsliste“, auch Adjazentstruktur): Für jeden Knoten werden alle mit ihm verbundenen Knoten in einer Liste gehalten. Die Listen liegen in einem eindimensionalen Array. Beispiel: 1 2 3 4 5 6 7 1 2 5 2 1 4 2 3 6 4 6 6 4 5 3 3 1 7 7 5 4 4 5 3 6 Informatik 2 - Datenstrukturen

Ein Kante, die Knoten x mit Knoten y verbindet, wird in der Liste von Knoten x und in der Liste von Knoten y aufgeführt  effiziente Suche: Mit welchen Knoten ist Knoten x verbunden? Vorteil Speicherbedarf: O(V+E), Initialisierung: O(V) Nachteile: Einige Algorithmen sind aufwändiger und ineffizienter zu implementieren. Das Löschen eines Knotens x ist aufwändig: In allen Listeneinträgen von x den Knoten x löschen, dann alle Listeneinträge von x löschen. Konsequenz: Keine „direkte“ Darstellung eines Graphen im Speicher, da der Aufwand für Algorithmen sonst sehr hoch wird. Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Darstellung gerichteter und gewichteter Graphen im Programm
Gerichtete Graphen Jede Kante wird nur einmal dargestellt. Darstellung einer Kante von Knoten x zu Knoten y: Adjazenzmatrix: graph[ x ][ y ] = true. Adjazenzliste/Adjazenzstruktur: y erscheint in der Liste von x. Gewichtete Graphen Die Darstellung erfolgt wie bei ungerichteten Graphen mit den folgenden Erweiterungen: Adjazenzmatrix: Anstelle von true steht in graph[ x ][ y ] der numerische Wert (die Gewichtung) der Kante. Anstelle von false wird eine nicht benutzte Gewichtung eingetragen (z.B. -1). Adjazenzliste/Adjazenzstruktur: Die Liste enthält für jeden Eintrag ein weiteres Feld mit der Gewichtung. Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Tiefensuche Tiefensuche: systematisches Besuchen aller Knoten und Kanten im Graphen Der Algorithmus ist Basis vieler anderer Lösungen im Zusammenhang mit Graphen. Ablauf: Ein Feld visitedNodes nimmt für alle Knoten den Index in der Besuchsreihenfolge auf. Wurde der Knoten noch nicht besucht, so enthält es die Konstante UNSEEN (z.B. -1). Solange es noch unbesuchte Knoten ki gibt, wird der nächste unbesuchte aus visitedNodes genommen: In visitedNodes erhält der Knoten ki den nächsten Index. Es werden alle von ki aus erreichbaren Knoten besucht, die bisher noch nicht besucht wurden. Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Tiefensuche V ist die Anzahl der Knoten private int[] visitedNodes = new int[ V ]; private int visitId; private static final int UNSEEN = -1; public void visitNodes() { visitId = 0; // Reihenfolgearray löschen for (int i = 0; i < V; ++i) { visitedNodes[ i ] = UNSEEN; } // Knoten besuchen if (visitedNodes[ i ] == UNSEEN) { visitNode(i); Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Tiefensuche Tiefensuche bei Darstellung mit Adjazenzmatrix Der Graph liegt im zweidimensionalen Array graph. Rekursives Besuchen aller Knoten, die mit dem übergebenen Knoten verbunden sind: public void visitNode(int nodeIndex) { visitedNodes[ nodeIndex ] = ++visitId; // Alle Zellen der Zeile des Knotens absuchen for (int i = 0; i < V; ++i) { if (graph[ nodeIndex ][ i ] && (visitedNodes[ i ] == UNSEEN)) { visitNode(i); } Zeitaufwand für die Tiefensuche: O(V2), da jedes Bit in der Matrix geprüft wird. Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Tiefensuche Beispiel (siehe Tafelanschrieb): 1 2 6 4 7 5 3 Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Tiefen- und Breitensuche
Hinweise Die Rekursion kann genau wie bei Bäumen durch eine Iteration unter Verwendung einer Stack-Klasse implementiert werden. Wird der Stack durch eine Schlange (Queue) ersetzt, so ergibt sich automatisch Breitensuche. Unterschiede zwischen Breiten- und Tiefensuche: Tiefensuche: Es werden erst die Pfade zu den am weitesten entfernt liegenden Knoten gesucht. Erst im Fall einer Sackgasse werden näher liegende Knoten besucht. Breitensuche: Erst werden alle Knoten in der Nähe und danach immer weiter weg liegende Knoten betrachtet. Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Breitensuche iterativ
Der folgende Ausschnitt zeigt eine iterative Lösung zur Breitensuche im Graphen. private int[] visitedNodes = new int[ V ]; private static final int UNSEEN = -1; public void breadthFirstSearch(int startNode) { int visitId = 0; // Breitensuche mit Queue // Tiefensuche mit Deque (als Stack) Queue<Integer> queue = new LinkedList<>(); // Reihenfolgearray löschen for (int i = 0; i < V; ++i) { visitedNodes[ i ] = UNSEEN; } queue.offer(startNode); while (!queue.isEmpty()) { // Vordersten Knoten der Queue besuchen int node = queue.poll(); // Tiefensuche: queue.pollLast(); Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Breitensuche iterativ
if (visitedNodes[ node ] == UNSEEN) { visitedNodes[ node ] = ++visitId; // Alle Zellen der Zeile des Knotens absuchen for (int i = V - 1; i >= 0; --i) { if (graph[ node ][ i ] && (visitedNodes[ i ] == UNSEEN)) { queue.offer(i); } Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Suche des kürzesten Pfades iterativ
Der Breitensuchalgorithmus kann sehr leicht zur Suche des kürzesten Pfades zwischen zwei Knoten verwendet werden: Statt der Reihenfolge der Besuche wird in predNodes der Vorgänger jedes Knotens abgelegt. Der Algorithmus bricht ab, wenn das Ziel erreicht ist. Algorithmus: private boolean[] visitedNodes = new boolean[ V ]; private int[] predNodes = new int[ V ]; private final static int UNSEEN = -1; public boolean pathfinder(int startNode, int endNode) { LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<>(); // Reihenfolgearray löschen for (int i = 0; i < V; i++) { visitedNodes[ i ] = false; predNodes[ i ] = UNSEEN; } queue.offer(startNode); Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Suche des kürzesten Pfades iterativ
while (!queue.isEmpty()) { // Vordersten Knoten der Queue besuchen int node = queue.pollFirst(); if (!visitedNodes[ node ]) { visitedNodes[ node ] = true; // Fertig ? if (node == endNode) { return true; } // Alle Zellen der Zeile des Knotens absuchen for (int i = V - 1; i >= 0; i--) { if (graph[ node ][ i ] && !visitedNodes[ i ] && predNodes[ i ] == UNSEEN) { predNodes[ i ] = node; // jetzigen als Vorgänger eintragen queue.offer(i); return false; Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Suche des kürzesten Pfades in einem gewichteten Graphen
Suche des kürzesten Pfades in einem gerichteten (nicht so wichtig) und gewichteten Graphen mit nicht-negativen Gewichten mittels Dijkstra-Algorithmus (gehört zu den Greedy-Alghorithmen  wählen schrittweise in jedem Zustand den aussichtsreichsten Folgezustand aus) Zeitaufwand (abhängig von der Darstellung des Graphen im Speicher): min. O(V2 + E) 1 1 2 1 1 1 1 6 2 4 7 2 3 2 3 8 1 2 10 1 5 3 1 3 Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Suche des kürzesten Pfades in einem gewichteten Graphen
Ablauf: Alle Knoten erhalten die Attribute „aktuelle Distanz zum Startknoten“ (Distanz) und „Vorgängerknoten im Pfad“ (Vorgänger). Die Distanzen werden mit ∞ (unendlich) initialisiert. Nur der Startknoten erhält zu sich selbst die Distanz 0. Solange es noch unbesuchte Knoten ki gibt, wird derjenige mit dem geringsten Abstand zum Startknoten gewählt (verspricht am ehesten Erfolg): Markiere diesen Knoten ki als schon besucht Berechne für alle Knoten kx, die von ki aus erreichbar sind, die Abstände zum Startknoten als: Abstand kx = Abstand ki + Gewichtung von ki zu kx Ist der berechnete Abstand kx kleiner als der bisherige Abstand zu kx, dann wurde ein kürzerer Pfad zu kx gefunden: Trage den neuen Abstand kx am Knoten kx ein und merke als Vorgänger von kx den Knoten ki. Trage ki als Vorgänger von kx ein. Java-Code: siehe Eclipse-Projekt „GraphAlgos“. Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Weitere Algorithmen
Es existieren viele weitere Algorithmen für Graphen, die in der Praxis sehr wichtig sind: Kürzeste Pfade zwischen allen Knoten, kürzester Pfad von einem Knoten zu allen anderen, … Kürzeste Menge der Linien, die alle Punkte innerhalb einer Ebene verbinden. Topologisches Sortieren eines azyklischen, gerichteten Graphen: Erst werden die Knoten ermittelt, auf die kein anderer Knoten verweist. Dann die Knoten, auf die nur bereits im ersten Schritt ermittelte Knoten verweisen...  Abhängigkeitsgraph. Diese Algorithmen sollen nicht mehr Bestandteil der Vorlesung sein. Informatik 2 - Datenstrukturen

Graphen Bibliotheken Für die Verwendung von Graphen in Java existieren eine ganze Anzahl unterschiedlicher Bibliotheken. Interessant sind: JGraphT ( Frei verfügbare Bibliothek mit Graphenalgorithmen JGraph ( Frei verfügbare Bibliothek zur Darstellung von Graphen (z.B. denen von JGraphT) Beispiel zur Suche des kürzesten Pfades in einem Graphen (Projekt GraphDemo): // Gerichteter Graph ListenableGraph g = new ListenableDirectedGraph(DefaultEdge.class); // Knoten ergänzen g.addVertex("v1"); g.addVertex("v2"); g.addVertex("v3"); g.addVertex("v4"); // Knotenverbinden g.addEdge("v1", "v2"); g.addEdge("v2", "v3"); g.addEdge("v3", "v1"); g.addEdge("v4", "v3"); List<DefaultEdge> result = DijkstraShortestPath.findPathBetween(g, "v1", "v4"); Informatik 2 - Datenstrukturen

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