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Vollkommene Zahlen Definition: Eine Zahl n heißt vollkommen, wenn sie die Summe ihrer echten Teiler ist (ohne n, mit 1). Beispiel: 6=1+2+3.

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1 vollkommene Zahlen Definition: Eine Zahl n heißt vollkommen, wenn sie die Summe ihrer echten Teiler ist (ohne n, mit 1). Beispiel: 6=1+2+3.

2 Beispiele 6 = = = =

3 Die ersten 10 vollkommenen Zahlen

4 palindromerzeugende Zahlen Definition: Eine Zahl n heißt palindromerzeugend, wenn das folgende Verfahren abbricht: 1. a(0) = n, k = a(k+1) = a(k) + sp(a(k)). (Spiegelbild) 3. Wenn a(k+1) ein Palindrom ist, dann stopp, 4. sonst k um 1 erhöhen und weiter bei 2.

5 palindromerzeugende Zahlen sp(z) ist die Zahl z rückwärts gelesen, also ihr Spiegelbild: sp(417) = 714, sp(5296) = Ein Palindrom ist eine Zahl p, die rückwärts wie vorwärts gelesen gleich ist, d.h. es gilt p=sp(p): 727, 3, 4774

6 Beispiele 59: 59+95=154, =605, = : 67+76=143, = : 89+98=187, =968, =1837, =9218, =17347,...

7 Beispiele 89, 187, 968, 1837, 9218, 17347, 91718, , , , , , , , , , , , , , , , , ,

8 Beispiele 196, 887, 1675, 7436, 13783, 52514, 94039, , , , , , , , , , , , , , , , , … nach Schritten noch kein Palindrom!

9 Eine nicht berechenbare Funktion f(n) sei maximale Anzahl |, die eine Turingmaschine mit n Zuständen und A={b,|} (Busy Beaver) schreiben kann. Satz von Rado: Die Funktion f ist nicht berechenbar.

10 berechenbare Funktionen Definition: Eine Funktion f(n) heißt berechenbar, wenn es eine Turingmaschine gibt, die bei Eingabe von n die Ausgabe f(n) auf das Band schreibt.

11 1. TM: BB n Busy Beaver mit n Zuständen |||||| BB n

12 2. TM: F berechnet die Funktion f 413 F dezimal

13 3. TM: WRITE n schreibt die Zahl n 4 WRITE n dezimal

14 4. TM: CONVERT konvertiert von dezimal nach unär 13||||||||||||| CONVERT

15 Frage: Was macht WRITE n F CONVERT ?

16 4 Turingmaschinen Nr.NameEingabeAusgabeZustände 1BB n -f(n) (unär)n 2Fnf(n) (dez.)p 3WRITE n -n (dez.)log 10 n 4CONVERTdezimalunärq

17 … und nun? Wähle n derart, dass n > log 10 n + p + q gilt.


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