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Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -1- Springer-Verlag,

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1 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -1- Springer-Verlag, ISBN Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte Programme und Algorithmen Foliensatz von A. Weber zur Vorlesung Informatik I, Bonn, 2002/03 Überarbeitet und ergänzt von W. Küchlin zu Informatik I, Tübingen 2003/04

2 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -2- Springer-Verlag, ISBN Was ist ein Programm? Deutliche Diskrepanz zwischen beiden Begriffserklärungen im Lexikon! 'Programm': sehr allgemein (umgangssprachlich) aufgefasst 'Programmierung': spezifische Deutung des Begriffs 'Programm' 'Programm' im allgemeinen: –z.B. Fernsehprogramm, Konferenzprogramm, Parteiprogramm 'Programm' im speziellen: –nicht notwendig nur auf Computer bezogen Programm einer Waschmaschine, eines Videorecorders Programm einer Waschmaschine, eines Videorecorders Nach R. Manthey, Vorlesung Informatik I, Universität Bonn, WS 2001/2002

3 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -3- Springer-Verlag, ISBN Was ist ein Programm? Nach R. Manthey, Vorlesung Informatik I, Universität Bonn, WS 2001/2002

4 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -4- Springer-Verlag, ISBN Was ist ein Programm? Nach R. Manthey, Vorlesung Informatik I, Universität Bonn, WS 2001/2002

5 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -5- Springer-Verlag, ISBN Begriff des Algorithmus Begriffsdefinition –Ein Algorithmus (algorithm) ist die Beschreibung eines Verfahrens, um aus gewissen Eingabegrößen bestimmte Ausgabegrößen zu berechnen. Dabei müssen folgende Bedingungen erfüllt sein Spezifikation Durchführbarkeit Korrektheit

6 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -6- Springer-Verlag, ISBN Begriff des Algorithmus Spezifikation –Eingabespezifikation: Es muss genau spezifiziert sein, welche Eingabegrößen erforderlich sind und welchen Anforderungen diese Größen genügen müssen, damit das Verfahren funktioniert –Ausgabespezifikation: Es muss genau spezifiziert sein, welche Ausgabegrößen (Resultate) mit welchen Eigenschaften berechnet werden

7 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -7- Springer-Verlag, ISBN Begriff des Algorithmus Durchführbarkeit –Endliche Beschreibung: das Verfahren muss in einem endlichen Text vollständig beschrieben sein –Effektivität: Jeder Schritt des Verfahrens muss effektiv (d.h. tatsächlich) mechanisch ausführbar sein Bem.: Effektivität ist nicht zu verwechseln mitEffizienz (Wirtschaftlichkeit) –Determiniertheit: Der Verfahrensablauf ist zu jedem Zeitpunkt fest vorgeschrieben

8 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -8- Springer-Verlag, ISBN Begriff des Algorithmus Korrektheit –partielle Korrektheit: Jedes berechnete Ergebnis genügt der Ausgabespezifikation, sofern die Eingaben der Eingabespezifikation genügt haben –Terminierung: Der Algorithmus hält nach endlich vielen Schritten mit einem Ergebnis an, sofern die Eingaben der Eingabespezifikation genügt haben

9 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -9- Springer-Verlag, ISBN Begriff des Algorithmus Bemerkung: Nach unserer Begriffsbestimmung gäbe es also keine –nicht-deterministische, –nicht-terminierende –... Algorithmen Diese Begriffe werden aber durchaus verwendet! –Methode erfüllt alle Anforderungen an einen Algorithmus, bis auf die mit nicht gekennzeichnete

10 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -10- Springer-Verlag, ISBN Ein "Algorithmus" aus dem täglichen Leben Nach R. Manthey, Vorlesung Informatik I, Universität Bonn, WS 2001/2002

11 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -11- Springer-Verlag, ISBN Eine sehr alte Beschreibung eines Algorithmus Zitiert nach R. Manthey, Vorlesung Informatik I, WS 2001/2002

12 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -12- Springer-Verlag, ISBN Herkunft des Wortes Algorithmus nach R. Manthey, Vorlesung Informatik I, WS 2001/2002

13 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -13- Springer-Verlag, ISBN Algorithmen und Programme nach R. Manthey, Vorlesung Informatik I, WS 2001/2002

14 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -14- Springer-Verlag, ISBN Problem – Algorithmus - Programm Nach R. Manthey, Vorlesung Informatik I, Universität Bonn, WS 2001/2002

15 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -15- Springer-Verlag, ISBN Prinzipien des Algorithmenentwurfs Neben den Bedingungen, die schon in die Begriffsdefinition eingegangen sind, gibt es weitere wichtige Prinzipien, die beim Entwurf zu beachten sind –Effizienz Der Algorithmus soll möglichst wenig Aufwand verursachen –Das Ergebnis mit möglichst wenig Rechenschritten (oder mit möglichst wenig Speicherbedarf) erzielen Frage der Komplexität von Algorithmen wichtiges Thema in der Informatik III und Informatik IV –Korrektheit beweisbar? Ein nicht-korrekter Algorithmus ist nach unserer Definition kein Algorithmus! Trotzdem sind nicht-korrekte Verfahren eher die Regel als die Ausnahme

16 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -16- Springer-Verlag, ISBN Beschreibung von Algorithmen Für die Beschreibung von Algorithmen gibt es viele Möglichkeiten –Alltagssprache –Konkrete Programmiersprache –Dazwischen gibt es eine Vielzahl von Notationen, die den Übergang zwischen Problembeschreibung und Programm erleichtern sollen Flussdiagramme Pseudocode

17 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -17- Springer-Verlag, ISBN Beschreibung von Algorithmen Wir stellen Algorithmen als Folge einzelner Bearbeitungsschritte dar –Diese können ggf. wiederholt werden, bis das gewünschte Ergebnis erzielt ist –Wiederholungen geschehen entweder innerhalb der Schrittfolge durch Anweisungen wie: weiter mit Schritt (2) (Iteration), oder durch erneutes Aufrufen des Algorithmus mit einer einfacheren Problemstellung (Rekursion) Jeder Schritt sollte wie ein Buchkapitel einem Thema folgen

18 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -18- Springer-Verlag, ISBN Grundschema des Algorithmenaufbaus Folgendes Grundschema wird uns bei vielen Algorithmen begegnen

19 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -19- Springer-Verlag, ISBN Grundschema des Algorithmenaufbaus: Beispiel Beispiel: Man finde ein Verfahren zur Berechnung des Rests r der Ganzzahldivision a/b, also für cb+r=a und r

20 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -20- Springer-Verlag, ISBN Steuerungsverlauf Die Anordnung der Anweisungen eines Algorithmus, die bestimmt, in welcher Reihenfolge Dinge geschehen, heißt – Steuerungsverlauf (control flow) des Algorithmus Wird auch Kontrollfluss (flow of control) genannt –Manchmal wird auch der Programmablauf oder Kontrollfaden (thread of control), also die tatsächlich abgespulten Schritte und Anweisungen so bezeichnet

21 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -21- Springer-Verlag, ISBN Steuerungsverlauf Die Konstruktion fahre fort mit Schritt 2 stellt einen Sprung (jump) im Steuerungsverlauf dar – Dies ist die elementarste Form, eine Wiederholung oder sonstige Verzweigung im Ablauf auszudrücken –Dadurch erhalten wir die elementar-iterative Beschreibungsform von Algorithmen

22 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -22- Springer-Verlag, ISBN Elementar-iterative Beschreibungsform Die elementar-iterative Beschreibungsform hat die nützliche und angenehme Eigenschaft: –Wir können über einzelne Schritte des Verfahrens sprechen Die fahre fort -Konstruktion entspricht unmittelbar der goto -Anweisung im Programmieren –Zur Anwendung von goto werden Schritte mit einer Marke (Label) versehen, um das Ziel des Sprunges zu kennzeichnen Anwendung von goto ist aber sehr gefährlich! – Strukturiert komplexe Programm nicht ausreichend Steuerungsverlauf kann verworren und unübersichtlich sein

23 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -23- Springer-Verlag, ISBN Der Steuerungsverlauf kann mit der Notation der Flussdiagramme (flow chart) graphisch dargestellt werden –Die Sprache der Flussdiagramme benutzt folgende Symbole Werden mit Pfeilen verbunden Die Ausführung solcher Ablaufpläne folgt den Pfeilen zwischen den Kästchen Flussdiagramme

24 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -24- Springer-Verlag, ISBN Flussdiagramme Beispiel: Grundschema des Algorithmenaufbaus als Flussdiagramm

25 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -25- Springer-Verlag, ISBN Modulus-Funktion als Flussdiagramm Beispiel: Flussdiagramm für iterative Beschreibung der Modulus-Funktion

26 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -26- Springer-Verlag, ISBN Strukturiert-iterative Beschreibungsform Um den Steuerungsverlauf auch bei komplexen Algorithmen übersichtlich zu halten, schränkt man die Sprünge ein: –Schleifen der Flussdiagramme sind höchstens ineinander geschachtelt –Schleifen überkreuzen sich nicht! Im Arbeitsschritt des Grundschemas würde man z. B. nur wieder eine geschlossene Schleife oder einen (vorzeitigen) Sprung zurück zum Test des Trivialfalls erlauben Wir sprechen in diesem Fall von strukturierten Sprüngen im Gegensatz zu freien Sprüngen, die prinzipiell beliebige Ziele haben können

27 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -27- Springer-Verlag, ISBN Strukturiert-iterative versus elemantar-iterative Beschreibungsform Beispiel: Schemata einiger Kontrollflüsse Strukturiert-iterativ Elementar-iterativ Spaghetti-Code

28 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -28- Springer-Verlag, ISBN Strukturiert-iterative Beschreibungsform Sprünge kommen zunächst nur noch implizit bei der Ausführung höherer Iterationsstrukturen vor –Dieses sind Fallunterscheidungen wie if-then-else –Oder insbesondere bei Schleifenkonstrukten (loop), wie etwa while –Diese bewirken, dass der Programmfluss in einer Schleife von einem Test zu einem Bearbeitungsschritt und wieder zurück zum Test geht

29 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -29- Springer-Verlag, ISBN Strukturiert-iterative Beschreibungsform: while Schleifenkonstrukte: while –Die klassische while-Schleife lautet wie folgt: –Bei Eintritt in die while-Schleife wird zunächst die Bedingung (ein Boolescher Ausdruck) ausgewertet Beim Wert true wird die Anweisungssequenz einmal ausgeführt und danach erneut zur Bedingung verzweigt Beim Wert false wird die Schleife (ohne Ausführung der Anweisungssequenz) beendet

30 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -30- Springer-Verlag, ISBN Strukturiert-iterative Beschreibungsform: while Die while -Schleife entspricht also der Konstruktion.

31 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -31- Springer-Verlag, ISBN Rekursive Beschreibungsform Im rekursiven Ansatz versucht man, ein vorgelegtes Problem P(X) nach folgendem Schema in zwei Teilen zu lösen: Bem.: Rekursive und iterative Beschreibungsformen sind gleich mächtig –Nach einer Formalisierung des Algorithmenbegriffs kann dies auch bewiesen werden! Etwa in der Vorlesung Informatik IV

32 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -32- Springer-Verlag, ISBN Rekursive Beschreibungsform: Beispiel Beispiel: In gängiger mathematischer Notation könnte ein Verfahren zur Berechnung der Modulus-Funktion a mod b wie folgt aussehen:

33 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -33- Springer-Verlag, ISBN Rekursive Beschreibungsform: Beispiel Beispiel (Forts.): Um festzustellen, ob diese Berechnungsvorschrift einen Algorithmus darstellt, müssen wir folgende Fragen beantworten: –Spezifikation Eingabe Ausgabe –Durchführbarkeit Endliche Beschreibung Effektivität Determiniertheit –Korrektheit Partielle Korrektheit Terminierung

34 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -34- Springer-Verlag, ISBN Rekursive Beschreibungsform: Korrektheitsbeweis des Beispiels Beispiel (Forts.): –Spezifikation

35 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -35- Springer-Verlag, ISBN Rekursive Beschreibungsform: Korrektheitsbeweis des Beispiels Beispiel (Forts.):

36 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -36- Springer-Verlag, ISBN Rekursive Beschreibungsform: Korrektheitsbeweis des Beispiels Beispiel (Forts.):

37 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -37- Springer-Verlag, ISBN Rekursive Beschreibungsform: Korrektheitsbeweis des Beispiels Beispiel (Forts.): –Korrektheit Bemerkungen: Diese Überlegungen stellen einen Korrektheitsbeweis dar Die Termination konnte bei diesem Algorithmus also bewiesen werden; es gibt aber kein mechanisches Verfahren das bei einem beliebigen Algorithmus entscheiden kann, ob dieser terminiert oder nicht (Halte-Problem)

38 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -38- Springer-Verlag, ISBN Rekursive Beschreibungsform: Beispiel in Java Das rekursive Verfahren in mathematischer Notation können wir mit minimalen Änderungen nach Java umsetzen –Wir definieren dazu eine Java-Funktion mod, die zwei ganze Zahlen a und b als Parameter hat und eine ganze Zahl als Ergebnis liefert

39 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -39- Springer-Verlag, ISBN Rekursive Beschreibungsform: Beispiel in Java Zur Illustration stellen wir nun noch eine etwas ausführlichere (aber gleichwertige) Version dieser Funktion vor Kommentarzeilen Zum Vergleich: Rekursionsgleichung

40 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -40- Springer-Verlag, ISBN Euklidischer Algorithmus zur ggT-Berechung Als weiteres Beispiel für die rekursive Beschreibungsform nehmen wir den Euklidischen Algorithmus zu Berechnung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) zweier ganzer Zahlen

41 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -41- Springer-Verlag, ISBN Euklidischer Algorithmus zur ggT-Berechung Beschreibung in einem Pseudo-Code Zum Vergleich: Rekursionsgleichung

42 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -42- Springer-Verlag, ISBN Euklidischer Algorithmus zur ggT-Berechung Beschreibung in Java Andere Art eines Kommentars, ein Dokumentationskommentar Modulus-Funktion ist in Java eingebaut; wird durch das Symbol % beschrieben; könnten auch die selbst definierte Funktion mod aufrufen

43 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -43- Springer-Verlag, ISBN Rekursion und funktionale Programmierung Der rekursive Ansatz zur Problemlösung ist die Hauptdenkweise, die die funktionalen Programmiersprachen unterstützen –Etwa LISP, Scheme, ML, Haskell Vorzug liegt in der großen Eleganz und Kompaktheit gerade bei kleinen Lehrbuchbeispielen Dieser Ansatz erfordert nur sehr wenige syntaktische Konstrukte der Programmiersprache (kein while, for, repeat,...)

44 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -44- Springer-Verlag, ISBN Rekursion und funktionale Programmierung Funktionale Denkweise: –kein Begriff des Zustands (state) einer Berechnung. manchmal beträchtliche Eleganz, erleichtert auch Korrektheitsbeweise –Alle Daten sind global, alle Funktionen können auf allen Daten operieren Objektorientierte Denkweise: –Funktionen sind mit ihren Daten zu Objekten gekapselt –Objekte interagieren durch Fenster mit anderen Objekten –Objekte haben Zustände (gegeben durch die Daten) –Zustände werden durch Berechnung weiterentwickelt In der objektorientierten Welt ist daher das (ebenfalls klassische) zustandsorientierte iterative Konzept zur Konstruktion von algorithmischen Problemlösungen am weitesten verbreitet Wie wir gesehen haben, kann auch in einer objektorientierten Sprache wie Java rekursiv programmiert werden!

45 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -45- Springer-Verlag, ISBN Konstruktion und Verifikation iterativer Algorithmen Bei der Verwendung von imperativen (Anweisungs orientiert) Programmiersprachen wie Java stellt die Konstruktion korrekter iterativer Algorithmen den Kern des Programmierens dar –Hat man diese nicht verstanden, kann man auch nicht programmieren Wir betrachten deshalb den Grundaufbau iterativer Algorithmen nochmals in vertiefter Form –Besonders auch unter dem Aspekt, dass wir strukturiert- iterative Algorithmen entwickeln und als korrekt beweisen wollen

46 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -46- Springer-Verlag, ISBN Konstruktion und Verifikation iterativer Algorithmen Betrachten Grundschema des Algorithmenaufbaus in einer Variante, die einem strukturiert-iterativen Ansatz entspricht Der Algorithmus operiert dabei auf einer Menge V von Variablen (Name mit wechselndem Wert) –Diese Zustandsvariablen haben veränderliche Werte und können somit bearbeitet werden, und unter ihnen befindet sich schlußendlich das Resultat Nach einem Vorbereitungsschritt wird so lange die Arbeit f(V) verrichtet, wie die Schleifenbedingung C(V) wahr ist Danach wird ein Nachbearbeitungsschritt ausgeführt und der Algorithmus beendet

47 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -47- Springer-Verlag, ISBN Konstruktion und Verifikation iterativer Algorithmen Zur Verifikation werden Zustandsvariablen partitioniert in V=E H A –E ist Menge der Eingabevariablen Eingabeparameter der Berechnung –A ist Menge der Ausgabevariablen Werte zum Schluss zeigen Ergebnis der Berechnung an –H ist Menge der Hilfsvariablen Die Werte der Variablen spiegeln zu jedem Zeitpunkt den Zustand (state) der Berechnung wider

48 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -48- Springer-Verlag, ISBN Konstruktion und Verifikation iterativer Algorithmen Problemlösung durch den Algorithmus findet also dadurch statt, dass der Anfangszustand V 0, in dem nur die Variablen in E relevante Werte haben, durch eine Berechnungssequenz Schritt für Schritt (iterativ) in einen Endzustand transformiert wird –In dem die Werte der Variablen in A das gewünschte Gesamtresultat darstellen –Oft gibt es nur ein einziges Resultat, das wir üblicherweise mit r oder res bezeichnen

49 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -49- Springer-Verlag, ISBN Konstruktion und Verifikation iterativer Algorithmen Ein elementarer Berechnungsschritt eines Algorithmus ändert im Allgemeinen den Wert von Variablen –Variablen können Werte zugewiesen werden –Zuweisungsoperator in imperativen Sprachen von fundamentaler Bedeutung In Pascal heißt Zuweisungsoperator := –Benutzen := für Zuweisungsoperator in Pseudocode In C, C++, Java heißt Zuweisungsoperator =

50 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -50- Springer-Verlag, ISBN Konstruktion und Verifikation iterativer Algorithmen Erfolgt Reduktion mithilfe strukturierter Iteration, so kann i.A. Korrektheit durch Finden einer geeigneten Schleifeninvariante bewiesen werden Schleifeninvariante: Prädikatenlogische Formel INV(V), die an bestimmter Stelle einer Schleife bei allen Schleifendurchgängen stets gilt F(V) ist Schleifeninvariante falls 1.F(V) gilt vor dem ersten Durchgang 2.F(V) => F(V ´); F gilt nachher, falls F vorher gegolten hat

51 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -51- Springer-Verlag, ISBN Konstruktion und Verifikation iterativer Algorithmen Grundschema der strukturierten Iteration mit Schleifeninvariante als UML activity chart Schleifeninvariante INV(V) geeignete Formel, die bei allen Schleifendurchgängen gilt

52 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -52- Springer-Verlag, ISBN Konstruktion und Verifikation iterativer Algorithmen Grundschema der strukturierten Iteration mit Schleifeninvariante Schleifeninvariante INV(V) geeignete Formel, die bei allen Schleifendurchgängen gilt Verifikation nach Floyd: 1)INV(V) ʌ C(V) => nach Arbeit f(V) gilt INV(V) 2)Anforderung => nach Vorbereitung gilt INV(V) 3)INV(V) ʌ ¬C(V) => nach Nachbereitung gilt Zusicherung

53 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -53- Springer-Verlag, ISBN Verifikationsmethode von Floyd Die Verifikationsmethode von Floyd für das Grundschema iterativer Algorithmen ist 1.Finde eine geeignete Formel F(V) und zeige, dass sie eine Schleifen-Invariante an der im Flußdiagramm auf voriger Seite angegebenen Stelle ist; bezeichne F(V) nachfolgend mit INV(V) 2.Zeige, dass aus der Eingabespezifikation folgt, dass INV(V) vor dem ersten Schleifendurchgang gültig ist 3.Zeige, dass nach dem letzten Schleifendurchgang aus INV(V) und aus der Negation der Schleifenbedingung C(V), also aus INV(V) C(V) die Gültigkeit der Ausgabespezifikation folgt 4.Zeige, dass die Schleife terminiert

54 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -54- Springer-Verlag, ISBN Verifikationsmethode von Floyd

55 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -55- Springer-Verlag, ISBN Konstruktion und Verifikation iterativer Algorithmen Algorithmus für die Fakultätsfunktion mit Schleifeninvariante Schleifeninvariante F(n,r,i)= [n! = r*i!]

56 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -56- Springer-Verlag, ISBN Konstruktion und Verifikation iterativer Algorithmen Fakultätsfunktion als UML activity chart

57 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -57- Springer-Verlag, ISBN Konstruktion und Verifikation iterativer Algorithmen

58 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -58- Springer-Verlag, ISBN Konstruktion und Verifikation iterativer Algorithmen Beispiel: Modulus-Funktion (iterativ)

59 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -59- Springer-Verlag, ISBN Konstruktion und Verifikation iterativer Algorithmen Beispiel: Modulus-Funktion (iterativ)

60 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -60- Springer-Verlag, ISBN Konstruktion und Verifikation iterativer Algorithmen Beispiel: Modulus-Funktion (iterativ) als UML activity chart

61 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -61- Springer-Verlag, ISBN Konstruktion und Verifikation iterativer Algorithmen Beispiel: Verifikation der Modulus-Funktion (iterativ) nach Floyd Verifikation nach Floyd: 1.Aus [a-(a/b)*b = r-(r/b)*b] und (r>=b) und {r := r-b;} folgt [a-(a/b)*b = r-(r/b)*b] 2.Aus (a >= 0, b > 0) und {r := a;} folgt [a-(a/b)*b = r-(r/b)*b] 3.Aus [a-(a/b)*b = r-(r/b)*b] und (r < b) und {return( r );} folgt (r = a – (a/b)*b)

62 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -62- Springer-Verlag, ISBN Konstruktion und Verifikation iterativer Algorithmen Verifikations-Beispiel: Modulus-Funktion (iterativ)

63 Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -63- Springer-Verlag, ISBN Konstruktion und Verifikation iterativer Algorithmen Finden von Schleifen-Invarianten – Invariante für fac (n) : [n! = r * i!] – Invariante für mod (a,b): [(a mod b) = r – (r/b)*b] Gemeinsame Struktur –Links von = steht die Aufgabe –Rechts steht getane Arbeit und noch zu tuende Arbeit r steht für getane Arbeit (akkumuliertes Ergebnis) Schleifen-Index i repräsentiert noch zu tuende Arbeit –Bei fac ist i! der Wert, den man noch zu r multiplizieren muß, bis r = n! –Bei mod ist (r/b)*b der Wert, den man noch von r abziehen muß, bis r = (a mod b).


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