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Logische Programmierung Klaus Becker 2014. 2 Logische Programmierung.

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1 Logische Programmierung Klaus Becker 2014

2 2 Logische Programmierung

3 3 Teil 1 Modellierung von Wissen

4 4 (Heaven) Uranus = Gaea (Earth) | | | | | | Cronus = Rhea Coeus = Phoebe Oceanus = Tethys | | | Leto = Zeus Iapetus | | | | | | | Hestia | Poseidon | Demeter=Zeus | Hades Zeus = Hera | | | | | | | Persephone | | Prometheus | Athena | | | | | | Atlas Epimetheus Apollo Artemis | | | | | | | Ares Hebe Hephaestus Zeus=Maia Zeus=Dione | | Hermes Aphrodite Die Welt der griechischen Götter Aufgabe Kannst du die folgenden Verwandschaftsbeziehungen klären? (a) Wer ist ein Cousin von Zeus? (b) Hat Zeus auch mit Cousinen Kinder gezeugt? (c) Welche Halbbrüder und Halbschwestern hat Hermes? Quelle: greek_myth/godsFT.html

5 5 Orientierung Wissensbasis Ziel ist es, mit einem Informatiksystem das Wissen über eine Miniwelt (wie die Welt der griechischen Götter) so zu erfassen, dass Anfragen an die Welt (wie "Wer ist ein Cousin von Hermes?") von diesem Informatiksystem automatisiert ausgewertet werden können. Wir benutzen die Programmiersprache Prolog zur Wissensmodellierung und zur Formulierung von Anfragen an die Wissensbasis. In den folgenden Abschnitten wird zunächst auf die Wissenmodellierung und die Formulierung von Anfragen an die Wissensbasis eingegangen. Anfrage

6 6 Modellierungsansatz Eine (Mini-) Welt besteht aus Objekten (Personen, Gegenstände,...), die Eigenschaften haben und in Beziehung zueinander stehen. Hera (weiblich) Zeus (männlich) Ares (männlich) ist Kind von Miniwelt "griechische Götter"

7 7 Konstanten, Prädikate Objekte werden mit Konstanten (allg. mit Termen) beschrieben, Eigenschaften und Beziehungen mit Hilfe von Prädikaten. % Fakten weiblich(hera). maennlich(zeus). maennlich(ares). kind(ares, hera). kind(ares, zeus). Prädikat Konstante Prädikat Hera (weiblich) Zeus (männlich) Ares (männlich) ist Kind von Miniwelt "griechische Götter"Modellierung der Miniwelt

8 8 Fakten Sachverhalte der Miniwelt können direkt mit Hilfe von Fakten beschrieben werden. % Fakten weiblich(hera). maennlich(zeus). maennlich(ares). kind(ares, hera). kind(ares, zeus). Fakten Hera (weiblich) Zeus (männlich) Ares (männlich) ist Kind von Miniwelt "griechische Götter"Modellierung der Miniwelt

9 9 Regeln Sachverhalte der Miniwelt können auch indirekt mit Hilfe von Regeln beschrieben werden. % Fakten: maennlich(cronus). maennlich(zeus)... weiblich(rhea). weiblich(demeter).... kind(hestia, rhea). kind(hades, rhea).... Miniwelt % Regeln: vater(X, Y) :- kind(Y, X), maennlich(X). mutter(X, Y) :- kind(Y, X), weiblich(X). indirekte Beschreibung mit Regeln direkte Beschreibung mit Fakten Cronus = Rhea | | | | | | Hestia | Poseidon | Demeter Hades Zeus = Hera % weitere Fakten: mutter(rhea, hestia). mutter(rhea, hades)....

10 10 Regeln Regeln sind Wenn-Dann-Aussagen. % Regeln: mutter(X, Y) :- kind(Y, X), weiblich(X). vater(X, Y) :- kind(Y, X), maennlich(X). VariableImplikation informelle Beschreibung: X ist Mutter von Y, wenn Y Kind von X ist und X weiblich ist. X ist Vater von Y, wenn Y Kind von X ist und X männlich ist. Und Regelrumpf (Bedingungen) Regelkopf (Folgerung)

11 11 Rekursive Regeln Das Prädikat im Regelkopf darf im Regelrumpf vorkommen. % Regeln: vorfahr(X, Y) :- kind(Y, X). vorfahr(X, Y) :- kind(Y, Z), vorfahr(X, Z). informelle Beschreibung: X ist Vorfahr von Y, wenn Y Kind von X ist. X ist Vorfahr von Y, wenn Y Kind von Z und X Vorfahr von Z ist. Regelrumpf (Bedingungen) Regelkopf (Folgerung)

12 12 Aufgaben Aufgabe 1 Vervollständige die Regeln. elternteil(X, Y) :- sohn(X, Y) :- oma(X, Y) :- Aufgabe 2 Warum muss man in der folgenden Regel die Bedingung X \== Y (für X und Y sind ungleich) mit aufnehmen? bruder(X, Y) :- maennlich(X), elternteil(E, X), elternteil(E, Y), X \== Y. Aufgabe 3 Entwickle weitere Regeln. onkel(X, Y) :- tante(X, Y) :- cousin(X, Y) :-...

13 13 Logik-Programme % Fakten maennlich(cronus). maennlich(zeus)... weiblich(rhea). weiblich(demeter). weiblich(hera). weiblich(hestia). kind(hestia, rhea). kind(hades, rhea)... % Regeln vater(X, Y) :- kind(Y, X), maennlich(X). mutter(X, Y) :- kind(Y, X), weiblich(X). ?- weiblich(hera). Ein Logik-Programm besteht aus einer Wissensbasis und einer Anfrage. Wissensbasis Anfrage

14 14 SWI-Prolog-Editor Wissensbasis Anfrage

15 15 PROLOG PROLOG steht für „Programming in Logic“. Die Programmiersprache PROLOG wurde Anfang der siebziger Jahre (des 20. Jahrhunderts) von Alain Colmerauer und Robert Kowalski konzipiert. SWI-PROLOG ist ein freies und professionelles PROLOG-System, das seit 1987 an der Universität Amsterdam entwickelt und gepflegt wird. Der SWI-PROLOG-Editor ist eine für den Unterricht geeignete Entwicklungsumgebung zur Erstellung von PROLOG-Programmen, die von G. Röhner entwickelt wurde. Installationshinweise: Installieren Sie zunächst SWI-PROLOG. Installieren Sie anschließend den SWI-PROLOG-Editor.

16 16 Eine Wissensbasis erzeugen Geben Sie die Fakten und Regeln zur Beschreibung der Miniwelt ein oder laden Sie die entsprechende Quelldatei. Bevor Sie Anfragen an die Wissensbasis stellen können, muss diese Wissensbasis erst erzeugt werden. Rufen Sie hierzu das Systemprädikat "consult" auf. Mit consult( ). werden aus der angegebenen Datei die Fakten und Regeln in die Wissensbasis eingelesen. Consultieren Wenn der PROLOG-Compiler keine Syntaxfehler gefunden hat, bestätigt er die erfolgreiche Erzeugung der Wissensbasis mit "Yes".

17 17 Eine Anfrage stellen Geben Sie jetzt die Anfrage im unteren Fenster (hinter "?-") ein. Mit der "Return"-Taste erhält man das erste Ergebnis (falls es eines gibt), mit jedem weiteren "Return" ggf. weitere Ergebnisse. Findet der PROLOG- Interpreter keine weiteren Ergebnisse, so zeigt er dies mit "No" an. Das trennende Semikolon kann als "oder" gedeutet werden. Anfrage Ergebnisse

18 18 Ja-Nein-Anfragen % Wissensbasis maennlich(cronus). maennlich(zeus). maennlich(poseidon). maennlich(hades). weiblich(rhea). weiblich(demeter). weiblich(hera). weiblich(hestia). kind(hestia, rhea). kind(hades, rhea). kind(poseidon, rhea). kind(zeus, rhea). kind(hera, rhea). kind(demeter, rhea). kind(hestia, cronus). kind(hades, cronus). kind(poseidon, cronus). kind(zeus, cronus). kind(hera, cronus). kind(demeter, cronus). mutter(X, Y) :- kind(Y, X), weiblich(X). vater(X, Y) :- kind(Y, X), maennlich(X). ?- weiblich(hera). Yes Ist Hera weiblich? Ist Zeus weiblich? ?- weiblich(zeus). No

19 19 Ergänzungsanfragen % Wissensbasis maennlich(cronus). maennlich(zeus). maennlich(poseidon). maennlich(hades). weiblich(rhea). weiblich(demeter). weiblich(hera). weiblich(hestia). kind(hestia, rhea). kind(hades, rhea). kind(poseidon, rhea). kind(zeus, rhea). kind(hera, rhea). kind(demeter, rhea). kind(hestia, cronus). kind(hades, cronus). kind(poseidon, cronus). kind(zeus, cronus). kind(hera, cronus). kind(demeter, cronus). mutter(X, Y) :- kind(Y, X), weiblich(X). vater(X, Y) :- kind(Y, X), maennlich(X). ?- vater(V, zeus). V = cronus ; No Wer ist Vater von Zeus? Wer ist Kind von Rhea? ?- kind(K, rhea). K = hestia ; K = hades ; K = poseidon ; K = zeus ; K = hera ; K = demeter ; No

20 20 Ergänzungsanfragen % Wissensbasis maennlich(cronus). maennlich(zeus). maennlich(poseidon). maennlich(hades). weiblich(rhea). weiblich(demeter). weiblich(hera). weiblich(hestia). kind(hestia, rhea). kind(hades, rhea). kind(poseidon, rhea). kind(zeus, rhea). kind(hera, rhea). kind(demeter, rhea). kind(hestia, cronus). kind(hades, cronus). kind(poseidon, cronus). kind(zeus, cronus). kind(hera, cronus). kind(demeter, cronus). mutter(X, Y) :- kind(Y, X), weiblich(X). vater(X, Y) :- kind(Y, X), maennlich(X). ?- mutter(X, Y). X = rhea Y = hestia ; X = rhea Y = hades ; X = rhea Y = poseidon ; X = rhea Y = zeus ; X = rhea Y = hera ; X = rhea Y = demeter ; No Wer ist Mutter von wem?

21 21 Anfragen mit anonymen Variablen % Wissensbasis maennlich(cronus). maennlich(zeus). maennlich(poseidon). maennlich(hades). weiblich(rhea). weiblich(demeter). weiblich(hera). weiblich(hestia). kind(hestia, rhea). kind(hades, rhea). kind(poseidon, rhea). kind(zeus, rhea). kind(hera, rhea). kind(demeter, rhea). kind(hestia, cronus). kind(hades, cronus). kind(poseidon, cronus). kind(zeus, cronus). kind(hera, cronus). kind(demeter, cronus). mutter(X, Y) :- kind(Y, X), weiblich(X). vater(X, Y) :- kind(Y, X), maennlich(X). ?- vater(V, _Kind). V = cronus ; No Wer ist Vater (von einem Kind)? Anonyme Variablen beginnen mit einem Unterstrich. Anonyme Variablen werden benutzt, wenn man an den Variablenwerten selbst nicht interessiert ist.

22 22 Zusammengesetzte Anfragen % Wissensbasis maennlich(cronus). maennlich(zeus). maennlich(poseidon). maennlich(hades). weiblich(rhea). weiblich(demeter). weiblich(hera). weiblich(hestia). kind(hestia, rhea). kind(hades, rhea). kind(poseidon, rhea). kind(zeus, rhea). kind(hera, rhea). kind(demeter, rhea). kind(hestia, cronus). kind(hades, cronus). kind(poseidon, cronus). kind(zeus, cronus). kind(hera, cronus). kind(demeter, cronus). mutter(X, Y) :- kind(Y, X), weiblich(X). vater(X, Y) :- kind(Y, X), maennlich(X). ?- weiblich(Tochter), vater(_Vater, Tochter). Tochter = demeter ; Tochter = hera ; Tochter = hestia ; No Wer ist weiblich und hat einen Vater? Eine Anfrage kann auch aus mehreren Teilanfragen bestehen. Diese werden mit einem Komma (zu deuten als logisches Und) abgetrennt.

23 23 Fazit: Programmieren mit Logik % Fakten maennlich(cronus). maennlich(zeus)... weiblich(rhea). weiblich(demeter). weiblich(hera). weiblich(hestia). kind(hestia, rhea). kind(hades, rhea)... % Regeln vater(X, Y) :- kind(Y, X), maennlich(X). mutter(X, Y) :- kind(Y, X), weiblich(X). ?- weiblich(hera). Ein Logik-Programm besteht aus einer Wissensbasis und einer Anfrage. Bei der Programmentwicklung steht logische Modellierung im Vordergrund. Aufgabe des Programmentwicklers ist es, das Wissen und die Anfragen an das Wissen in der Sprache der Logik zu modellieren.

24 24 Fazit: Programmieren mit Logik % Fakten maennlich(cronus)... weiblich(rhea). weiblich(demeter). weiblich(hera). weiblich(hestia). kind(hestia, rhea)... % Regeln vater(X, Y) :- kind(Y, X), maennlich(X). mutter(X, Y) :- kind(Y, X), weiblich(X). ?- weiblich(hera). Yes Ein Logik-Programm besteht aus einer Wissensbasis und einer Anfrage. Zur Auswertung von Logikprogrammen benötigt man eine sog. Inferenzmaschine, die in der Lage ist, aus der Wissensbasis und der Anfrage an die Wissenbasis die Ergebnisse mit Hilfe logischer Schlüsse zu erschließen.

25 25 Aufgaben Erweitere die oben gezeigte Wissensbasis um folgende Fakten und Regeln... maennlich(ares). weiblich(hebe). maennlich(hephaestus). kind(ares, hera). kind(ares, zeus). kind(hebe, hera). kind(hebe, zeus). kind(hephaestus, hera). kind(hephaestus, zeus). vorfahr(X, Y) :- kind(Y, X). vorfahr(X, Y) :- kind(Y, Z), vorfahr(X, Z). Entwickle geeignete Anfragen und teste sie. (a) Wer ist ein männlicher Vorfahr von Hebe? (b) Wer ist Mutter und hat einen weiblichen Vorfahr? (c) Wer ist Vorfahr eines Vaters?

26 26 Aufgaben Vervollständige die Wissensbasis und kläre mit geeigneten Anfragen die folgenden Verwandschaftsbeziehungen: (a) Wer ist ein Cousin von Zeus? (b) Hat Zeus auch mit Cousinen Kinder gezeugt? (c) Welche Halbbrüder und Halbschwestern hat Hermes? alternativ: Erstelle eine Wissensbasis und geeignete Anfragen zu deiner Familie.

27 27 Aufgaben Eine Miniwelt "Unterricht" ist wie folgt gegeben: Petra Schmitt (Kürzel: scm) unterrichtet die 6b in Mathematik. Der Unterricht findet montags in 6. Stunde, dienstags in der 3. Stunde, mittwochs in der 1. Stunde und freitags in der 3. Stunde statt. Wolfgang Degen (Kürzel: deg) unterrichtet die 6b in Deutsch. Der Unterricht findet dienstags in der 5. und 6. Stunde, donnerstags in der 2. Stunde und freitags in der 5. Stunde statt. Karin Engel (Kürzel: eng) unterrichtet die 6b in Musik. Der Unterricht findet mittwochs in der 4. Stunde und freitags in der 6. Stunde statt.... Der Unterricht in einer Klasse in einem zweistündigen Fach ist "verteilt", wenn die beiden Stunden nicht am selben Tag stattfinden. Mögliche Anfragen wären hier: Wer unterrichtet die 6b? Wann findet der Deutschunterricht statt? Hat die 6b freitags in der 6. Stunde Sport? Ist der Musikunterricht in der 6b verteilt?... (a) Entwickle zunächst eine geeignete Wissensbasis, in der die oben beschriebenen Sachverhalte gelten. Entwickle anschließend Anfragen an die wissensbasis. (b) Erweitere die Wissensbasis in sinnvoller Weise. Formuliere selbst in Worten weitere Anfragen und übersetze sie dann in die Sprache von Prolog.

28 28 Aufgaben Wir betrachte eine Miniwelt "Sitzplan": Entwickle eine Wissensbasis zu diesem Sitzplan. Folgende Anfragen soll dann gestellt werden: (a) Wer sitzt direkt neben Pia? (b) Welches Mädchen sitzt neben einem Jungen? (c) Wer sitzt in derselben Reihe wie Anja?

29 29 Teil 2 Auswertung von Anfragen

30 30 Modus Ponens Zur Herleitung der Sachverhalte der Modellwelt wird die logische Schlussregel modus ponens benutzt. Regeln werden dabei als Wenn-Dann-Aussagen interpretiert. Die in der Regel vorkommenden Variablen sind Platzhalter für alle Objekte der Modellwelt. sterblich(X) :- mensch(X). mensch(sokrates). ?- sterblich(X). X = sokrates; No. Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Sokrates ist sterblich. sterblich(X) :- mensch(X). mensch(sokrates). sterblich(sokrates).

31 31 Modus Ponens Wenn Kaiserslautern das Spiel gewinnt, dann kann Kaiserslautern nicht mehr absteigen. Kaiserslautern gewinnt das Spiel. Kaiserslautern kann nicht mehr absteigen. PlatzMannschaftSpielePunkte FC Kaiserslautern FC St. Pauli VfL Wolfsburg FC Nürnberg3226 α → β α β Die Schlussregel modus ponens erlaubt es, aus wahren Aussagen weitere wahre Aussagen herzuleiten. Man schließt dabei folgendermaßen: Wenn die Aussage α → β wahr ist und wenn zusätzlich die Aussage α wahr ist, dann muss auch die Aussage β wahr sein.

32 32 Modus Ponens Wenn St. Pauli verliert und Wolfburg unentschieden spielt, dann kann Kaiserslautern nicht mehr absteigen. St. Pauli verliert das vorletzte Spiel. Wolfburg spielt nur uentschieden. Kaiserslautern kann nicht mehr absteigen. PlatzMannschaftSpielePunkte FC Kaiserslautern FC St. Pauli VfL Wolfsburg FC Nürnberg3226 α 1,... α n -> β α 1... α n β Verallgemeinerung der Schlussregel modus ponens: Hier geht man von einer Wenn-Dann-Aussage mit mehreren, durch ein logisches Und verknüpften Bedingungen aus. Die Schlussregel besagt: Wenn die Wenn-Dann-Aussage wahr ist und alle Bedingungen dieser Aussage wahr sind, dann ist auch die Folgerung dieser Aussage wahr.

33 33 Spezialisierung bei Allaussagen Für alle X 1,..., X k : γ (X 1,..., X k ) γ(c 1,..., c k ) Allaussagen machen - wie der Name es sagt - Aussagen für alle (in dem Gegenstandsbereich erlaubten) Objekte. Die folgende Schlussregel besagt, dass man aus einer wahren Allaussage eine wahre Aussage erhält, wenn man sie nur für spezielle Objekte formuliert. Für alle X: mensch(X) -> sterblich(X). mensch(sokrates) -> sterblich(sokrates) {X -> sokrates} Spezialisierung bei Allaussagen {X 1 -> c 1,..., X k -> c k }

34 34 Modus Ponens α 1 (X 1,..., X k ),... α n (X 1,..., X k ) -> β(X 1,..., X k ) α 1 (c 1,..., c k )... α n (c 1,..., c k ) β(c 1,..., c k ) Häufig (wie im Beispiel unten) tritt die Situation ein, dass man zwei Schlussregeln - Regel zur Spezialisierung von Allaussagen und die modus-ponens-Regel - bei einer logischen Herleitung anwenden muss. Zur Vereinfachung von logischen Herleitungen ist es daher sinnvoll, aus den beiden Regeln eine zusätzliche logische Schlussregel zu formulieren. Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Sokrates ist sterblich. mensch(sokrates) -> sterblich(sokrates) mensch(sokrates) sterblich(sokrates) Spezialisierung bei Allaussagen modus ponens modus ponens bei Allaussagen Für alle X: mensch(X) -> sterblich(X). mensch(sokrates) -> sterblich(sokrates) {X -> sokrates}

35 35 Suche nach logischen Herleitungen es_gibt_fleisch. es_gibt_suppe. es_gibt_pudding :- es_gibt_fleisch, es_gibt_kartoffeln. es_gibt_eis :- es_gibt_pizza. es_gibt_pudding :- es gibt pizza. es_gibt_kartoffeln :- es_gibt_suppe. ?- es_gibt_pudding. es_gibt_kartoffeln :- es_gibt_suppe. es_gibt_suppe es_gibt_kartoffeln. es_gibt_pudding :- es_gibt_fleisch, es_gibt_kartoffeln. es_gibt_fleisch. es_gibt_kartoffeln es_gibt_pudding. Wissensbasis ohne Variablen Anfrage ohne Variablen logische Herleitung Yes. Ergebnis der Anfrage logische Herleitung

36 36 Suche nach logischen Herleitungen es_gibt_kartoffeln :- es_gibt_suppe. es_gibt_suppe es_gibt_kartoffeln. es_gibt_pudding :- es_gibt_fleisch, es_gibt_kartoffeln. es_gibt_fleisch. es_gibt_kartoffeln es_gibt_pudding. logische Herleitung ?- es_gibt_pudding. benutze: es_gibt_pudding :- es_gibt_fleisch, es_gibt_kartoffeln. ?- es_gibt_fleisch, es_gibt_kartoffeln. benutze: es_gibt_fleisch. ?- es_gibt_kartoffeln. benutze: es_gibt_kartoffeln :- es_gibt_suppe. ?- es_gibt_suppe. benutze: es_gibt_suppe. ?- Yes Rückwärtsherleitung logische Herleitung

37 37 Suche nach logischen Herleitungen weiblich(hera). weiblich(hebe). maennlich(zeus). maennlich(ares). maennlich(hephaestus). kind(ares, hera). kind(hebe, hera). kind(hephaestus, hera). kind(ares, zeus). kind(hebe, zeus). kind(hephaestus, zeus). vater(X, Y) :- kind(Y, X), maennlich(X). mutter(X, Y) := kind(Y, X), weiblich(X). ?- vater(V, hebe). vater(X, Y) :- kind(Y, X), maennlich(X). kind(hebe, zeus). maennlich(zeus) {X -> zeus; Y -> hebe} vater(zeus, hebe). Wissensbasis mit Variablen Anfrage mit Variablen logische Herleitung V = zeus Ergebnis der Anfrage

38 38 Suche nach logischen Herleitungen vater(X, Y) :- kind(Y, X), maennlich(X). kind(hebe, zeus). maennlich(zeus) {X -> zeus; Y -> hebe} vater(zeus, hebe). logische Herleitung ?- vater(V, hebe). benutze: vater(X, Y) :- kind(Y, X), maennlich(X). {X -> V; Y -> hebe} ?- kind(hebe, V), maennlich(V). benutze: kind(hebe, zeus). {V -> zeus} ?- maennlich(zeus). benutze: maennlich(zeus). ?- V = zeus Rückwärtsherleitung

39 39 Herleitungen ohne Erfolg es_gibt_fleisch. es_gibt_suppe. es_gibt_pudding :- es_gibt_fleisch, es_gibt_kartoffeln. es_gibt_eis :- es_gibt_pizza. es_gibt_pudding :- es gibt pizza. es_gibt_kartoffeln :- es_gibt_suppe. ?- es_gibt_eis. Wissensbasis ohne Variablen Anfrage ohne Variablen ?- es_gibt_eis. benutze: es_gibt_eis :- es gibt pizza. ?- es_gibt_pizza. keine Fortsetzung der Rückwärtsherleitung möglich! No Rückwärtsherleitung

40 40 Herleitungen ohne Erfolg weiblich(hera). weiblich(hebe). maennlich(ares). maennlich(hephaestus). kind(ares, hera). kind(hebe, hera). kind(hephaestus, hera). kind(ares, zeus). kind(hebe, zeus). kind(hephaestus, zeus). vater(X, Y) :- kind(Y, X), maennlich(X). mutter(X, Y) := kind(Y, X), weiblich(X). ?- vater(V, hebe). Wissensbasis mit Variablen Anfrage mit Variablen ?- vater(V, hebe). benutze: vater(X, Y) :- kind(Y, X), maennlich(X). {X -> V; Y -> hebe} ?- kind(hebe, V), maennlich(V). benutze: kind(hebe, zeus). {V -> zeus} ?- maennlich(zeus). keine Fortsetzung der Rückwärtsherleitung möglich! No Rückwärtsherleitung maennlich(zeus).

41 41 Zwischenfazit: Auswertung v. Anfragen Anfragen an eine Wissensbasis lassen sich über logische Herleitungen mit der verallgemeinerten modus-ponens-Schlussregel (und der Regel zur Spezialisierung von Allaussagen) auswerten. Eine Ja-Nein-Anfrage liefert das Ergebnis Yes genau dann, wenn es eine Herleitung zu den Fakten der Anfrage aus der Wissensbasis gibt. Eine Variablenbelegung ist ein Ergebnis zu einer Anfrage mit Variablen genau dann, wenn es eine Herleitung aus der Wissensbasis zu den - mit der Variablenbelegung konkretisierten - Fakten der Anfrage gibt. Wenn keine erfolgreiche Herleitung der (ggf. konkretisierten) Fakten der Anfrage möglich ist, wird das Ergebnis No geliefert (negation by failure!). ?- vater(V, hebe). benutze: vater(X, Y) :- kind(Y, X), maennlich(X). {X -> V; Y -> hebe} ?- kind(hebe, V), maennlich(V). benutze: kind(hebe, zeus). {V -> zeus} ?- maennlich(zeus). benutze: maennlich(zeus). ?- V = zeus

42 42 Aufgaben Welche Ergebnisse lassen sich hier mit logischen Herleitungen erzielen? Verwende zunächst Vorwärtsherleitungen. Verwende anschließend auch Rückwärtsherleitungen. kind(hera, rhea). kind(hebe, hera). vorfahr(X, Y) :- kind(Y, X). vorfahr(X, Y) :- kind(Y, Z), vorfahr(X, Z). ?- vorfahr(V, hebe).

43 43 Automatisierung d. logischen Schließens es_gibt_fleisch. es_gibt_suppe. es_gibt_pudding :- es_gibt_pizza. es_gibt_pudding :- es_gibt_fleisch, es_gibt_kartoffeln. es_gibt_eis :- es_gibt_pizza. es_gibt_kartoffeln :- es_gibt_suppe. ?- es_gibt_pudding. es_gibt_kartoffeln :- es_gibt_suppe. es_gibt_suppe es_gibt_kartoffeln. es_gibt_pudding :- es_gibt_fleisch, es_gibt_kartoffeln. es_gibt_fleisch. es_gibt_kartoffeln es_gibt_pudding. Herleitung mit nichtdeterministische Auswahl der Regeln logische Herleitung Yes. logische Herleitung

44 44 Automatisierung d. logischen Schließens es_gibt_fleisch. es_gibt_suppe. es_gibt_pudding :- es_gibt_pizza. es_gibt_pudding :- es_gibt_fleisch, es_gibt_kartoffeln. es_gibt_eis :- es_gibt_pizza. es_gibt_kartoffeln :- es_gibt_suppe. ?- es_gibt_pudding. benutze: es_gibt_pudding :- es gibt pizza. ?- es_gibt_pizza. keine Fortsetzung der Rückwärtsherleitung möglich! benutze: es_gibt_pudding :- es_gibt_fleisch, es_gibt_kartoffeln. ?- es_gibt_fleisch, es_gibt_kartoffeln. benutze: es_gibt_fleisch. ?- es_gibt_kartoffeln. benutze: es_gibt_kartoffeln :- es_gibt_suppe. ?- es_gibt_suppe. benutze: es_gibt_suppe. ?- Yes Herleitung mit Auswahl der Regeln nach einer vorgegebenen Reihenfolge (von oben nach unten) Sackgasse Backtracking

45 45 Logische Herleitbarkeit kind(hera, rhea). kind(hebe, hera). vorfahr(X, Y) :- kind(Y, X). vorfahr(X, Y) :- kind(Y, Z), vorfahr(X, Z). ?- vorfahr(V, hebe). vorfahr(X, Y) :- kind(Y, Z), vorfahr(X, Z). kind(hebe, hera). vorfahr(rhea, hera) vorfahr(rhea, hebe). {X -> rhea; Y -> hebe; Z -> hera} vorfahr(X, Y) :- kind(Y, X). kind(hera, rhea) vorfahr(rhea, hera). {X -> hebe; Y -> hera} kind(hera, rhea). kind(hebe, hera). vorfahr(X, Y) :- vorfahr(X, Z), kind(Y, Z). vorfahr(X, Y) :- kind(Y, X). ?- vorfahr(V, hebe). vorfahr(X, Y) :- kind(Y, Z), vorfahr(X, Z). vorfahr(rhea, hera). kind(hebe, hera) vorfahr(rhea, hebe). {X -> rhea; Y -> hebe; Z -> hera} vorfahr(X, Y) :- kind(Y, X). kind(hera, rhea) vorfahr(rhea, hera). {X -> hebe; Y -> hera} V = rhea vorfahr(X, Y) :- kind(Y, X). kind(hebe, hera) vorfahr(hera, hebe). {X -> hera; Y -> hebe} V = hera vorfahr(X, Y) :- kind(Y, X). kind(hebe, hera) vorfahr(hera, hebe). {X -> hera; Y -> hebe} V = hera hängt nicht von der Reihenfolge der Regeln, Bedingungen ab

46 46 Herleitbarkeit bzgl. Abarbeitungsreihenf. kind(hera, rhea). kind(hebe, hera). vorfahr(X, Y) :- kind(Y, X). vorfahr(X, Y) :- kind(Y, Z), vorfahr(X, Z). ?- vorfahr(V, hebe). benutze: vorfahr(X, Y) :- kind(Y, X). {X -> V; Y -> hebe} ?- kind(hebe, V). benutze: kind(hebe, hera). {V -> hera} ?- V = hera benutze: vorfahr(X, Y) :- kind(Y, Z), vorfahr(X, Z). {X -> V; Y -> hebe} ?- kind(hebe, Z), vorfahr(V, Z). benutze: kind(hebe, hera). {Z -> hera} ?- vorfahr(V, hera). benutze vorfahr(X, Y) :- kind(Y, X). {X -> V; Y -> hera} ?- kind(hera, V). benutze kind(hera, rhea). {V -> rhea} ?- V = rhea benutze vorfahr(X, Y) :- kind(Y, Z), vorfahr(X, Z). {X -> V; Y -> hera} ?- kind(hera, Z), vorfahr(V, Z). benutze kind(hera, rhea). {Z -> rhea} ?- vorfahr(V, rhea). benutze vorfahr(X, Y) :- kind(Y, X). {X -> V; Y -> rhea} ?- kind(rhea, V). keine Fortsetzung der Rückwärtsherleitung möglich! benutze vorfahr(X, Y) :- kind(Y, Z), vorfahr(X, Z). {X -> V; Y -> rhea} ?- kind(rhea, Z), vorfahr(V, Z). keine Fortsetzung der Rückwärtsherleitung möglich! hängt von der Reihenfolge der Regeln, Bedingungen ab

47 47 Herleitbarkeit bzgl. Abarbeitungsreihenf. kind(hera, rhea). kind(hebe, hera). vorfahr(X, Y) :- vorfahr(X, Z), kind(Y, Z). vorfahr(X, Y) :- kind(Y, X). ?- vorfahr(V, hebe). benutze: vorfahr(X, Y) :- vorfahr(X, Z), kind(Y, Z). {X -> V; Y -> hebe} ?- vorfahr(V, Z), kind(hebe, Z). benutze: vorfahr(X, Y) :- vorfahr(X, Z1), kind(Y, Z1). {X -> V; Y -> Z} ?- vorfahr(V, Z1), kind(Z, Z1), kind(hebe, Z). benutze: vorfahr(X, Y) :- vorfahr(X, Z2), kind(Y, Z2). {X -> V; Y -> Z1} ?- vorfahr(V, Z2), kind(Z1, Z2), kind(Z, Z1), kind(hebe, Z).... hängt von der Reihenfolge der Regeln, Bedingungen ab endlose Regelanwendung Die Logik-Programme sind logisch äquivalent. Aus beiden Programmen lassen sich dieselben logischen Herleitungen erzeugen. Die Herleitung bzgl. einer Abarbeitungsreihenfolge liefert jedoch unterschiedliche Berechnungsergebnisse. Diese werden durch die Algorithmen zur automatisierten Erzeugung von logischen Herleitungen festgelegt. Die Reihenfolge der Regeln und der beteiligten Bedingungen spielen hierbei eine entscheidende Rolle.

48 48 Fazit: Auswertung von Anfragen Ergebnisse zu Anfragen an eine Wissensbasis lassen sich durch systematisches Erzeugen von logischen Herleitungen bestimmen. Im Zentrum steht dabei eine logische Schlussregel. Mit Hilfe der verallgemeinerten modus- ponens-Schlussregel (und der Schlussregel zur Spezialisierung von Allaussagen) werden die logischen Herleitungen erzeugt. Zur Automatisierung der Anwendung von Schlussregeln werden Vereinbarungen zur Auswertungsreihenfolge getroffen. Zur Anwendung von Regeln mit Variablen benötigt man zusätzlich einen Algorithmus zur Erzeugung von Variablenbindungen. Wir haben Variablenbindungen in den bisher gezeigten Beispielen jeweils vorgegeben und uns um die systematische Erzeugung und Verwaltung dieser Bindungen nicht gekümmert. Schließlich benötigt man ein Verfahren zur Bearbeitung von Herleitungssackgassen. Man benutzt hier Backtracking, um systematisch an geeignete Verzweigungspunkte von Herleitungen zurückzugehen. Ein Softwaresystem, das alle diese Verfahren zur automatisierten Erzeugung von logischen herleitungen umsetzt, nennt man auch Inferenzmaschine.

49 49 Experimente mit Prolog Wissensbasis: es_gibt_fleisch. es_gibt_suppe. es_gibt_pudding :- es_gibt_fleisch, es_gibt_kartoffeln. es_gibt_pudding :- es_gibt_pizza. es_gibt_eis :- es_gibt_pizza. es_gibt_kartoffeln :- es_gibt_suppe. ?- trace. Yes [trace] ?- es_gibt_pudding. Call: (6) es_gibt_pudding ? creep Call: (7) es_gibt_fleisch ? creep Exit: (7) es_gibt_fleisch ? creep Call: (7) es_gibt_kartoffeln ? creep Call: (8) es_gibt_suppe ? creep Exit: (8) es_gibt_suppe ? creep Exit: (7) es_gibt_kartoffeln ? creep Exit: (6) es_gibt_pudding ? creep Yes Prolog stellt einen sog. Trace-Modus bereit, bei dem die Zwischenschritte bei der Auswertung einer Anfrage mitprotokolliert werden. Aufgabe: Gib für alle Call-Aufrufe an, welches Faktum / welche Regel angewandt wird.

50 50 Experimente mit Prolog Aufgabe: Vergleiche das von Prolog erzeugte Herleitungsprotokoll mit dem Herleitungsprotokoll auf Folie 46. kind(hera, rhea). kind(hebe, hera). vorfahr(X, Y) :- kind(Y, X). vorfahr(X, Y) :- kind(Y, Z), vorfahr(X, Z). [trace] ?- vorfahr(V, hebe). Call: (7) vorfahr(_G286, hebe) ? creep Call: (8) kind(hebe, _G286) ? creep Exit: (8) kind(hebe, hera) ? creep Exit: (7) vorfahr(hera, hebe) ? creep V = hera ; Fail: (8) kind(hebe, _G286) ? creep Redo: (7) vorfahr(_G286, hebe) ? creep Call: (8) kind(hebe, _G341) ? creep Exit: (8) kind(hebe, hera) ? creep Call: (8) vorfahr(_G286, hera) ? creep Call: (9) kind(hera, _G286) ? creep Exit: (9) kind(hera, rhea) ? creep Exit: (8) vorfahr(rhea, hera) ? creep Exit: (7) vorfahr(rhea, hebe) ? creep... V = rhea ; Fail: (9) kind(hera, _G286) ? creep Redo: (8) vorfahr(_G286, hera) ? creep Call: (9) kind(hera, _G341) ? creep Exit: (9) kind(hera, rhea) ? creep Call: (9) vorfahr(_G286, rhea) ? creep Call: (10) kind(rhea, _G286) ? creep Fail: (10) kind(rhea, _G286) ? creep Redo: (9) vorfahr(_G286, rhea) ? creep Call: (10) kind(rhea, _G341) ? creep Fail: (10) kind(rhea, _G341) ? creep Fail: (9) vorfahr(_G286, rhea) ? creep Fail: (9) kind(hera, _G341) ? creep Fail: (8) vorfahr(_G286, hera) ? creep Fail: (8) kind(hebe, _G341) ? creep Fail: (7) vorfahr(_G286, hebe) ? creep No Wissensbasis:

51 51 Aufgabe Gegeben ist das folgende Logikprogramm. kind(hera, rhea). kind(hebe, hera). vorfahr(X, Y) :- kind(Y, Z), vorfahr(X, Z). vorfahr(X, Y) :- kind(Y, X). ?- vorfahr(V, hebe). Welches Ergebnis liefert die Prolog-Inferenzmaschine? Überprüfe deine Vermutung.

52 52 Aufgabe Gegeben ist das folgende Logikprogramm. kind(hera, rhea). kind(hebe, hera). vorfahr(X, Y) :- kind(Y, X). vorfahr(X, Y) :- vorfahr(X, Z), kind(Y, Z). ?- vorfahr(V, hebe). Welches Ergebnis liefert die Prolog-Inferenzmaschine? Überprüfe deine Vermutung.

53 53 Teil 3 Deklarative Programmierung

54 54 Ein Graphenproblem "Die Leute vom Planeten Chator schreiben gern Schlechtes übereinander. Wer vielen über andere Schlechtes schreibt, gilt als besonders charmant. Aber natürlich nur, wenn die Kompromittierten nichts davon erfahren. Chatonen schreiben nur an Leute, die ihnen sympathisch sind. Doch die können den Tratsch weitertragen, und eventuell genau an den Falschen. Ein Chatone muss also gut aufpassen, dass er keinen Charmefehler macht. Dieses Missgeschick passierte unlängst Ator, als er Btor Schlechtes über Dtor schrieb. Zu dumm: Dtor ist dem Ctor sympathisch, der wiederum Btor sympathisch ist. Und so landete der Tratsch bei Dtor, der über Ator verständlicherweise sehr verärgert war. Dies hätte Ator mit ein wenig Übersicht vermeiden können, denn schließlich wissen alle Chatonen voneinander, wer wem sympathisch ist." (Quelle: Bundeswettbewerb Informatik 2004/ Runde) (a) Stelle die Sympathiebeziehungen der Chatonen mit einem gerichteten Graphen dar. (b) Welches Problem muss hier gelöst werden. Beschreibe es mit Hilfe der Graphenterminologie.

55 55 Graphen Ein Graph besteht aus einer Menge von Knoten und einer Menge von Kanten (die jeweils zwei Knoten miteinander verbinden). gerichteter, unbewerteter Graph

56 56 Das Wegsucheproblem Wegsucheproblem: Gibt es einen Weg von einem vorgegebnenen Startknoten zu einem vorgegebenen Zielknoten? Spezielle Probleme: (a) Darf A etwas Schlechtes über D an B schreiben? Gibt es einen Weg (längs der Kanten des Graphen) vom Startknoten B zum Zielknoten D? (b) Über wen H etwas Schlechtes an D schreiben? Zu welchen Zielknoten gibt es einen Weg vom Startknoten D?...

57 57 Lösung des Wegsucheproblems ALGORITHMUS: Wegsuche in gerichteten Graphen Eingabe: gerichteter Graph, Startknoten, Zielknoten Markiere den Startknoten. Füge den Startknoten in eine leere Liste ein. Solange die Liste nicht leer ist und den Zielknoten nicht enthält: Wähle einen Knoten aus der Liste aus. Für alle Nachbarknoten des gewählten Knotens: Falls der Nachbarknoten noch nicht markiert ist: Markiere ihn, vermerke als Herkunft den gewählten Knoten und.. füge ihn in die Liste ein. Entferne den gewählten Knoten aus der Liste. Starte mit einem "leeren Weg". Wenn die Liste den Zielknoten enthält: Aktueller Knoten ist der Zielknoten. Solange der Startknoten nicht erreicht ist: Der Weg wird um d. Verbindung zwischen d. aktuellen Knoten.. und dem vermerkten Herkunftsknoten erweitert. Aktueller Knoten ist der vermerkte Herkunftsknoten.. des bisherigen aktuellen Knotens. Ausgabe: Weg imperative Lösung: Beschreibung, wie man einen Weg findet

58 58 Lösung des Wegsucheproblems Regel 1: Ein Weg zwischen einem Startknoten und einem Zielknoten besteht aus der Verbindung Startknoten - Zielknoten, wenn der Zielknoten ein Nachbarknoten des Startknotens ist. Regel 2: Ein Weg zwischen einem Startknoten und einem Zielknoten besteht (für einen bestimmten Nachbarknoten des Startknotens) aus der Verbindung Startknoten - Nachbarknoten und einem Weg zwischen dem Nachbarknoten und dem Zielknoten. deklarative Lösung: Beschreibung, was einen Weg ausmacht Imperative Problemlöseverfahren schreiben vor, wie man zu einer Lösung gelangt. Deklarative Problemlöseverfahren beschreiben, was das Problem ausmacht.

59 59 Vereinfachung des Wegsucheproblems Wegsucheproblem: Zur Vereinfachung des Graphenproblems betrachten wir vorerst nur Graphen, die keine Kreise enthalten. % Graph kante(a, b). kante(a, c). kante(b, d). kante(b, e). kante(c, e). kante(c, f). kante(d, g). kante(d, e). kante(f, b). kante(f, i). kante(h, e). kante(h, b). kante(i, e). kante(i, h). gerichteter Graph ohne Kreise Beschreibung des Graphen mit Fakten

60 60 Aufgabe Aufgabe: Entwickle geeignete Prolog-Regeln zur Festlegung des weg-Prädikats. % Graph kante(a, b). kante(a, c). kante(b, d). kante(b, e). kante(c, e). kante(c, f). kante(d, g). kante(d, e). kante(f, b). kante(f, i). kante(h, e). kante(h, b). kante(i, e). kante(i, h). Regel 1: Es gibt einen Weg zwischen einem Knoten X und einem Knoten Y, wenn es eine Kante von X nach Y gibt. Regel 2: Es gibt einen Weg zwischen einem Knoten X und einem Knoten Y, wenn es eine Kante von X zu einem Knoten Z und einen Weg vom Knoten Z zum Knoten Y gibt.

61 61 Aufgabe % Graph kante(a, b). kante(a, c). kante(b, d). kante(b, e). kante(c, e). kante(c, f). kante(d, g). kante(d, e). kante(f, b). kante(f, i). kante(h, e). kante(h, b). kante(i, e). kante(i, h). weg(X, Y) :- kante(X, Y), print(Y). weg(X, Y) :- kante(X, Z), print(Z), weg(Z, Y). ?- weg(a, h). bdgeecefbdgeeih Yes Aufgabe: Kannst du erklären, wie die Ausgaben zu Stande kommen? Warum bezeichnet man die Suche hier auch als "Tiefensuche"? gerichteter Graph ohne Kreise

62 62 Aufgabe % Graph kante(a, b). kante(a, c). kante(b, d). kante(b, e). kante(c, e). kante(c, f). kante(d, g). kante(d, e). kante(f, b). kante(f, i). kante(h, e). kante(h, b). kante(i, e). kante(i, h). weg(X, X). weg(X, Y) :- kante(X, Z), weg(Z, Y). Aufgabe: Teste auch die oben gezeigte Festlegung des weg-Prädikats. Warum funktioniert die Tiefensuche mit den bisher gezeigten Regeln nicht bei Graphen mit Kreisen? Probiere es ggf. aus, indem du eine zusätzliche Kante im Graphen einführst. gerichteter Graph ohne Kreise

63 63 Aufsammeln der Wegknoten % Graph kante(a, b). kante(a, c). kante(b, d). kante(b, e). kante(c, e). kante(c, f). kante(d, g). kante(d, e). kante(f, b). kante(f, i). kante(h, e). kante(h, b). kante(i, e). kante(i, h). weg0(X, X, []). weg0(X, Y, [Z|W]) :- kante(X, Z), weg0(Z, Y, W). ?- weg0(a, b, W).... Aufgabe: Teste zunächst die Regeln mit Anfragen wie der folgenden. Kannst du erklären, wie die Ausgaben zu Stande kommen? gerichteter Graph ohne Kreise

64 64 Aufsammeln in einer Akkumulatorliste % Graph kante(a, b). kante(a, c). kante(b, d). kante(b, e). kante(c, e). kante(c, f). kante(d, g). kante(d, e). kante(f, b). kante(f, i). kante(h, e). kante(h, b). kante(i, e). kante(i, h). weg1(X, X, W, W). weg1(X, Y, A, W) :- kante(X, Z), weg1(Z, Y, [Z|A], W). weg(X, Y, W) :- weg1(X, Y, [X], W). ?- weg1(a, b, [a], W).... Aufgabe: Teste zunächst das weg1-(Hilfs-)Prädikat mit Anfragen. Beschreibe die "Logik" der beiden Regeln in Worten. gerichteter Graph ohne Kreise

65 65 Lösung des Wegsucheproblems % Graph kante(a, b). kante(a, c). kante(b, d). kante(b, e). kante(c, e). kante(c, f). kante(d, g). kante(d, e). kante(f, b). kante(f, i). kante(h, e). kante(h, b). kante(i, e). kante(i, h). weg2(X, X, W, W). weg2(X, Y, A, W) :- kante(X, Z), not(member(Z, A)), weg2(Z, Y, [Z|A], W). weg(X, Y, W) :- weg2(X, Y, [X], W). ?- weg(a, b, [a], W).... gerichteter Graph mit Kreisen

66 66 Lösung des Tratsch-Problems % Anfrage: Wer darf an wen etwas Schlechtes über Btor schreiben? ?- darf_tratschen_wer_anwen_ueberwen(X, Y, b). X = c Y = d ; X = c Y = g ; X = d Y = c ; X = f Y = g ; X = g Y = h ; X = h Y = d ; No Aufgabe: Entwickle ein geeignetes Logikprogramm zur Lösung des Tratsch-Problems. Benutze die erzielten Ergebnisse zur Lösung des Graphenproblems.

67 67 Anwendung: Umfüllproblem Aufgabe: Entwickle ein geeignetes Logikprogramm zur Lösung des Umfüllproblems. Die folgende Wissensbasis zeigt einen Weg auf, wie man die Umfüllvorgänge modellieren kann. Es fehlen aber noch eine Reihe von Regeln. Zum Nudelkochen im Ferienlager werden genau 2 Liter Wasser benötigt. Zum Abmessen stehen nur ein kleiner Eimer, der 3 Liter fasst, und einen etwas größerer Eimer, der 4 Liter fasst, zur Verfügung. Kann das funktionieren? Um systematisch alle durch Umfüllen erzeugbaren Wassermengen zu bestimmen, kann man einen Zustandsgraphen erstellen. Die Knoten des Graphen sind die aktuellen Füllinhalte der beiden Eimer. Die Kanten des Graphen stellen die Umfüllvorgänge dar.

68 68 Anwendung: Umfüllproblem % Graph kante(X, Y) :- zustandsuebergang(X, Y). % 3-l-Eimer füllen zustandsuebergang((Eimer4, Eimer3), (Eimer4, 3)) :- Eimer3 \== 3. % 4-l-Eimer füllen... % 3-l-Eimer leeren zustandsuebergang((Eimer4, Eimer3), (Eimer4, 0)) :- Eimer3 \== 0. % 4-l-Eimer leeren... % 3-l-Eimer umfüllen in 4-l-Eimer zustandsuebergang((Eimer4, Eimer3), (Eimer41, 0)) :- Eimer3 \== 0, Eimer3 + Eimer4 =< 4, Eimer41 is Eimer3+Eimer4. % 4-l-Eimer umfüllen in 3-l-Eimer... % 4-l-Eimer teilw. umfüllen in 3-l-Eimer... % 3-l-Eimer teilw. umfüllen in 3-l-Eimer zustandsuebergang((Eimer4, Eimer3), (4, Eimer31)) :- Eimer4 \== 4, Eimer3 + Eimer4 >4, Eimer31 is Eimer3+Eimer

69 69 Deklarative Programmierung Ansatz: Beschreiben, was in der Modellwelt gelten soll Deklarative Programmierung besteht darin, den Problemkontext (Miniwelt) mit gegebenen Mitteln (hier: Fakten und Regeln) zu beschreiben. Inferenz- maschine zusammenfuegen([], Y, Y). zusammenfuegen([E|RX], Y, [E|RZ]) :- fuegezusammen(RX, Y, RZ). ?- zusammenfuegen([a, b], [c, a, d], Z). Z = [a, b, c, a, d] Ergebnis Anfrage Wissensbasis

70 70 Imperative Programmierung Ansatz: Beschreiben, wie die Ergebnisse berechnet werden sollen E.-Zustand Register- maschine A.-Zustand Anweisungen Z := [] solange X nicht leer ist: E := erstesElement(X) Z := mitLetztem(Z, E) X := ohneEstes(X) solange Y nicht leer ist: E := erstesElement(Y) Z := mitLetztem(Z, E) Y := ohneEstes(Y) {X: [a, b]; Y: [c, a, d]} {Z: [a, b, c, a, d]} Imperative Programmierung besteht darin, eine (mehr oder weniger abstrakte) Maschine mit Hilfe von Anweisungen zu steuern.

71 71 Literaturhinweise Gerhard Röhner: Informatik mit Prolog. Hessisches Landesinstitut für Pädagogik (HeLP Best.-Nr.: 06000). Rüdeger Baumann: PROLOG Einführungskurs. Klett-Verlag H. M. Otto: ProLog-Puzzles. Dümmler-Verlag Gregor Noll: PROLOG – eine Einführung in deklaratives Programmieren. https://informatik.bildung-rp.de/fileadmin/user_upload/informatik.bildung- rp.de/InformatikAG/pps/DI-Prolog.pps Herbert Drumm u. Hermann Stimm: Wissensverarbeitung mit PROLOG – Ein Einstieg in die Algorithmik. Handreichung zum Lehrplan Informatik Klaus Merkert: Prolog. siehe Uwe Schöning: Logik für Informatiker. BI-Wissenschaftsverlag 1987.


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