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Gleichungen mit einer Variablen lösen
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Gleichungen mit Variablen:
x - 4 = 5 x + 3 = 11 3x + 7 = 5x - 3 Formeln aus Ph und Ma mit Variablen: V = a b c v = s : t o o o A = a b o u = 2(a + b) R = U : I RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Eine Gleichung mit einer Variablen x lösen heißt: die Zahl für x finden, die eine wahre Aussage ergibt. RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Gleichung lösen durch Probieren mit Tabelle: x = 56 Zahl für x: in Gleichung einsetzen: falsch / wahr? 1 1 = 56 falsche Aussage 17 = 56 2 = 56 2 falsche Aussage 30 = 56 3 = 56 3 falsche Aussage 43 = 56 4 = 56 4 wahre Aussage 56 = 56 Die Lösung der Gleichung ist x = 4 ! RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Gleichung lösen durch Probieren mit Tabelle: x = x + 15 Zahl für x: in Gleichung einsetzen: falsch / wahr? 1 1 = falsche Aussage hier klicken 12 = 16 2 = 2 falsche Aussage hier klicken 15 = 17 3 = 3 wahre Aussage hier klicken 18 = 18 4 = 4 falsche Aussage hier klicken 21 = 19 Die Lösung der Gleichung ist x = 3 ! RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Gleichung lösen durch Probieren mit Tabelle: x = x Zahl für x: in Gleichung einsetzen: falsch / wahr? 1 = 1 1 falsche Aussage = 2 = 2 2 falsche Aussage = Stunden später 314 314 = 314 wahre Aussage = Die Lösung der Gleichung ist (mühsam) x = 314 ! RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Eine Gleichung durch Probieren zu lösen kann unter Umständen sehr lange dauern. Es gibt einen Rechenweg, mit dem man alle Gleichungen nach kurzer Zeit lösen kann. Die Grundregel dabei ist: „Verändere ich die eine Seite einer Gleichung, dann muss ich die andere Seite genau so verändern, damit das Gleichgewicht bleibt.“ Ziel ist: x soll auf einer Seite allein stehen. RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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3 9 15 - 3 18 = 18 Wenn ich auf der linken Seite 3 kg wegnehme, dann muss ich auf der rechten Seite auch 3 kg wegnehmen, damit das Gleichgewicht bleibt. 3 9 15 15 = 15 RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Wir vereinfachen die Gleichungen so, dass „x“ allein steht. Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn man auf beiden Seiten 3 wegnimmt: 4 hinzufügt: 3 + x = 11 x - 4 = 9 +4 +4 -3 -3 x = 13 x = 8 den 3. Teil bildet: verdoppelt: x = 6 2 3 x = 12 :3 :3 2 2 x = 4 x = 12 RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Gleichungen lösen mit Umformungsregeln: Ziel ist: x soll auf einer Seite allein stehen. steht in der Gleichung: dann Umformungsregel: x + 5 auf beiden Seiten x x 5 x : 5 - 5 auf beiden Seiten : 5 auf beiden Seiten 5 auf beiden Seiten Will man eine Gleichung in eine einfachere umformen, verwendet man immer die Umkehrrechenart. RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Subtraktionsregel: Auf beiden Seiten einer Gleichung wird dieselbe Zahl subtrahiert. Beispiel: Gleichung: 4x = 25 -9 4x = Rechnung: 4x = 16 vereinfachte Gleichung: RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Additionsregel: Auf beiden Seiten einer Gleichung wird dieselbe Zahl addiert. Beispiel: Gleichung: 2x = 21 +5 2x = Rechnung: 2x = 26 vereinfachte Gleichung: RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Übung: Löse die Gleichung mit der Additions- oder Subtraktionsregel! A) x = 30 -17 B) x = 6 +14 x = x = x = 20 x = 13 Probe: = 30 w.A. Probe: = 6 w.A. C) x = -25 +7 D) x = - 45 -13 x = x = x = - 18 x = - 58 Probe: = -25 w.A. Probe: = w.A. RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Multiplikationsregel: Beiden Seiten einer Gleichung werden mit derselbe Zahl ( 0) multipliziert. Beispiel: 2x = 4 5 5 Gleichung: 2x 5 = 4 Rechnung: vereinfachte Gleichung: 2x = 20 RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Divisionsregel: Beiden Seiten einer Gleichung werden durch dieselbe Zahl ( 0) dividiert. Beispiel: 4 x = -12 : 4 Gleichung: 4 x = Rechnung: vereinfachte Gleichung: 1 x = -3 RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Übung: Löse die Gleichung mit der Multiplikations- oder Divisionsregel! A) x : 2 = 30 2 B) x 14 = 84 :14 x = x 2 = 30 2 2 x = 60 x = 6 Probe: 60 : 2 = 30 w.A. Probe: 6 14 = 84 w.A. C) x 7 = :7 D) x : 5 = - 45 5 x = x 5 = x = - 9 x = Probe: -9 7 = -63 w.A. Probe: :5 = w.A. RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Zusammenfassung: Will man eine Gleichung vereinfachen, verwendet man auf beiden Seiten die Umkehrrechnung. Die Probe wird immer mit der Ausgangsaufgabe gemacht. Bei der Probe setzt man die gefundene Zahl für x in die Ausgangsaufgabe ein. Ergibt sich eine wahre Aussage, hat man die Lösung gefunden. RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Löse die Gleichungen mit den Umformungsregeln! Verwende zuerst die Regeln für „+“ oder „-“. Im 2. Schritt verwende die Divisionsregel! 5x = 70 - 15 5x = zusammenfassen 5 x = 55 : 5 x = 11 Probe: 5 = 70 = 70 ENDE 70 = 70 w.A. RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Gleichung: x = 56 x = 1 13 4 56 ungleich RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Gleichung: x = 56 x = 2 4 13 13 56 ungleich RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Gleichung: x = 56 x = 3 13 4 13 13 56 ungleich RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Gleichung: x = 56 x = 4 4 13 13 13 13 56 gleich RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Gleichung: x = x + 15 x = 1 3 9 1 15 ungleich RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Gleichung: x = x + 15 x = 2 9 3 3 2 15 ungleich RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Gleichung: x = x + 15 x = 4 9 4 15 3 3 3 3 ungleich RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Gleichung: x = x + 15 x = 3 3 9 15 gleich RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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Wir vereinfachen die Gleichungen so, dass „x“ allein steht. Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn man auf beiden Seiten 3 wegnimmt: 4 hinzufügt: 3 + x = 11 x - 4 = 9 +4 +4 -3 -3 x = 13 x = 8 den 3. Teil bildet: verdoppelt: x = 6 2 3 x = 12 :3 :3 2 2 x = 4 x = 12 RS „Oswin Weiser“ Pößneck
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