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Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation II 6. Sem. Vorlesung 5 18. Mai 2000 Konstruktion des Voronoi-Diagramms.

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2 Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation II 6. Sem. Vorlesung Mai 2000 Konstruktion des Voronoi-Diagramms II

3 2 Divide and Conquer: Merge

4 3 Konstruktion des Voronoi-Diagramms Divide and Conquer Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten Split: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P 1 und P 2 Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von VD(P 1 ) und VD(P 2 ) Merge: Verknüpfe VD(P 1 ) und VD(P 2 )

5 4 Merge Die Voronoi-Diagramme VD(P 1 ) und VD(P 2 ) sind bereits berechnet. Die konvexen Hüllen CH(P 1 ) und CH(P 2 ) seien ebenfalls an dieser Stelle bekannt. 1.Bestimme die oberen und unteren Extrempunkte und die beiden oberen und unteren Tangenten von CH(P 1 ) CH(P 2 ) 2. Konstruiere CH(P 1 P 2 ) 3. Bilde die Mittelsenkrechten zu den beiden neu eingeführten Kanten 4.Konstruiere den trennenden Kantenzug als Verbindung der beiden Mittelsenkrechten 5. Entferne die überstehenden Kanten 6.Bilde die neu entstandenen Voronoi-Regionen (Maschen)

6 5 max y min y max y Extrempunkte von CH(P 1 ) CH(P 2 )

7 6 Tangente von CH(P 1 ) CH(P 2 )

8 7 Nochmals zur konvexen Hülle CH Was wissen wir über die konvexe Hülle CH(P) einer Punktmenge P? Die Extrempunkte sind die Knoten auf der Grenze von CH. Zu je zwei Punkten P 1 und P 2 ist die verbindende Kante ganz in CH enthalten. Der obere und der untere Extrempunkt zerlegen die Grenze von CH in zwei vertikal monotone Kantenzüge. Die Verbindungskante k zweier Punkte P 1 und P 2 aus P definiert eine Randkante von CH genau dann, wenn alle übrigen Punkte von P auf der gleichen Seite von k liegen. P 2 ist genau dann Nachfolger von P 1 auf dem Rand von CH, wenn der zugehörige polare Winkel von P 2 minimal ist.

9 8 Tangente

10 9 Nachfolger - Bestimmung Winkel minimal P1P1 P2P2

11 10 Nachfolger Winkel minimal P2P2 P1P1

12 11 Bestimmung der (oberen) Tangenten der konvexen Hüllen Bestimme die oberen und unteren Extrempunkte von CH(P 1 ), CH(P 2 ) und CH(P 1 ) CH(P 2 ) Betrachte die oberen Extrempunkte P 1 und Q 1 und die Nachfolger P 2 und Q 2 im Uhrzeigersinn, und sei P 1 höher als Q 1 Bestimme das Minimum der mit P 1 P 2, P 1 Q 1 und P 1 Q 2 assoziierten Winkel Fälle: –P 1 Q 1 ist minimal: Tangente gefunden, fertig –P 1 P 2 minimal: ersetze P 1 durch P 2 und P 2 durch P 3 (wandere auf der linken konvexen Hülle im Uhrzeigersinn) –P 1 Q 2 minimal: ersetze Q 1 durch Q 2 und Q 2 durch Q 3 (wandere auf der rechten konvexen Hülle im Uhrzeigersinn) Der Fall der unteren Tangente ist symmetrisch

13 12 Extrempunkte

14 13 2 vertikal monotone Kantenzüge

15 14 Tangente

16 15 Bestimmung des Nachfolgers Winkel nicht minimal

17 16 Bestimmung des Nachfolgers Winkel minimal

18 17 Bestimmung des Nachfolgers

19 18 Bestimmung des Nachfolgers

20 19 Konvexe Hülle

21 20 Bestimmung des Nachfolgers

22 21 Konvexe Hülle

23 22 Konstruiere den trennenden Kantenzug als Verbindung der beiden Mittelsenkrechten

24 23 Vereinigung Mittelsenkrechte bilden

25 24 Vereinigung

26 25 Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg- menten suchen

27 26 Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Neues aktives VD

28 27 Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Neues aktives VD Mittelsenkrechte zuwischen den aktiven VD

29 28 Vereinigung Schnittpunkte suchen

30 29 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

31 30 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

32 31 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

33 32 Vereinigung Schnittpunkte suchen

34 33 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

35 34 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

36 35 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

37 36 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

38 37 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

39 38 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

40 39 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

41 40 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

42 41 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

43 42 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD

44 43 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

45 44 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Verknüpfung mit der Mittel- senkrechten vom Anfang

46 45 Konstruiere den trennenden Kantenzug als Verbindung der beiden Mittelsenkrechten gegeben: die beiden oberen und unteren Mittelsenkrechten g und g* die zugehörigen oberen Voronoi-Regionen seien P und Q Solange die untere Mittelsenkrechte noch nicht erreicht ist –Bestimme für die aktuelle Mittelsenkrechte die Austrittspunkte p und q aus den aktuellen Voronoi-Regionen, die zugehörigen Kanten die zugehörigen Nachbarn P und Q – wenn p höher ist als q ersetze P durch P und schneide g an der Stelle p ab –wenn q höher als p ersetze Q durch Q und schneide g an der Stelle q ab –bestimme die aktuelle Mittelsenkrechte g des neuen Paares P, Q

47 46 Länge des Kantenzuges im Worst Case O(n)

48 47 Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case O(n)

49 48 O(n) * O(n) = O(n 2 ) ? Voronoi- Regionen sind konvex Kantenzug ist monoton war jetzt alles umsonst?

50 49 O(n) * O(n) = O(n 2 ) ? Voronoi- Regionen sind konvex Kantenzug ist monoton Keine Kante öfter als zwei mal anfassen!

51 50 Investitionen müssen sich amortisieren Ziel: keine Kante mehr als zwei mal anfassen Es gibt insgesamt höchstens 3* n – 6 Kanten O(n) Konvexität der Voronoi-Regionen höchstens zwei Schnittpunkte mit der aktiven Halbgeraden Es genügt, die linken (grünen) Kantenumringe im Uhrzeigersinn und die rechten (roten) Kantenumringe gegen den Uhrzeigersinn zu durchlaufen und den zuletzt gefundenen und verworfenen Schnittpunkt als Haltepunkt zu merken!


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