Übung 2 2.11.2006.

Übung 2

I. Der Kapitalwert - investitionstheoretische Betrachtung

Der Kapitalwert – ein Beispiel Aufgabenstellung I
Beispiel angelehnt an: Kruschwitz, L. (2004): „Finanzierung und Investition“, 4. Auflage, München u.a. 2003, Kapitel 1 Stellen Sie sich folgende Situation vor: „Sie haben in der Lotterie Euro gewonnen und überlegen sich nun, wie Sie das Geld sinnvoll verwenden können. Durch einen Bekannten erfahren Sie, dass ein Grundstück, dessen Quadratmeterpreis momentan bei 100 Euro liegt, bald als Gewerbegebiet ausgewiesen wird, so dass sein Preis bald auf 140 Euro pro Quadratmeter steigen wird.“

Der Kapitalwert – ein Beispiel Aufgabenstellung II
wichtige Annahme: Wir nehmen an, dass diese Prognose korrekt ist. Dann liegt eine Investitionsentscheidung unter Sicherheit vor. Natürlich ist dies nicht sehr realistisch: Möglich wäre der Fall, dass beispielsweise der Quadratmeterpreis sogar noch weiter steigen könnte (z.B. auf 145 Euro/Quadratmeter). Es könnte auch sein, dass der Quadratmeterpreis zwar ansteigt, aber vielleicht lediglich auf 125 Euro/Quadratmeter. Im ungünstigsten Fall könnte er vielleicht sogar fallen (auf 90 Euro/QM) Dann ist die Investition mit Risiko verbunden. Diesen Fall behandeln wir im Hauptstudium bzw. im vertiefenden Modul.

Der Kapitalwert – ein Beispiel Aufgabenstellung III
Weitere Annahmen: Sollten Sie sich für den Kauf des Grundstücks entscheiden, so fallen beim Verkauf Steuern, Transaktionskosten etc. in Höhe von 5 % des Verkaufswertes an. Sie sind an dem Grundstück nur insofern interessiert, als damit Zahlungen verbunden sind. Alternative: Sie können Ihr Geld alternativ auch zu einem Zinssatz von 5 % p.a. anlegen. (Auch hier beschränken wir uns auf eine sichere Anlage, d.h. wir betrachten nicht die Möglichkeit, in Aktien zu investieren) Frage: Ist der Vorschlag Ihres Bekannten unter diesen Annahmen sinnvoll?

Ermittlung der Zahlungsströme (1)
In t = 0 erhalten wir eine Ausgabe in Höhe von Euro, falls die Investition durchgeführt werden soll: A0 = Euro Wir können für Euro bei einem QM-Preis von 100 Euro m² Boden kaufen. In t = 1 erhalten wir dann eine Einzahlung von 140 Euro/QM * QM = Euro: E1 = Euro. In Höhe von 5 % dieses Betrages fallen Transaktionskosten an: 0,05 * Euro = Euro: A1 = Euro.

Ermittlung der Zahlungsströme (2)
Nun können wir Ein- und Auszahlungen saldieren und so das Investitionsobjekt charakterisieren: Zeitpunkt t=0 t=1 Et-At – =

Zentraler Grundgedanke: Duplikation (1)
Die sofortige Auszahlung in t = 0 läßt sich als der Preis für die Zahlung in t = 1 auffassen. Wir wollen nun bestimmen, ob dieser Preis gerechtfertigt ist. Dies geschieht am besten durch Vergleich: Was kostet das gleiche Gut woanders?

Zentraler Grundgedanke: Duplikation (2)
Antwort: eine Zahlung von Euro in t = 1 kann man auch bekommen, indem man einen passenden Geldbetrag x jetzt verzinslich anlegt: x * (1 + 0,05) = Euro x = /(1 + 0,05) = ,33 Euro Die Zahlung von Euro in t = 1 kostet also in t = ,33 Euro, wenn die verzinsliche Anlage gewählt wird. X/(1+r) wird „Barwert“ von x genannt.

Entscheidungskriterium (1)
Nun kann man drei Fälle unterscheiden: ) A0 < (E1-A1)/(1+r) : die Investition in das Grundstück ist besser als die festverzinsliche Anlage ) A0 = (E1-A1)/(1+r) : beide Anlagemöglichkeiten sind gleich gut ) A0 > (E1-A1)/(1+r) : die festverzinsliche Anlage ist relativ vorteilhafter

Der Betrag, den man spart – bzw. verliert, wenn man in das Investitionsobjekt (Grundstück) statt in die festverzinsliche Anlage investiert, lässt sich wie folgt schreiben: Preisfestv.Anlage-PreisGrundst.= (E1-A1)/(1+r)– A0 = ,33 – = ,33 Euro Dies ist der „Kapitalwert“ oder „Nettobarwert“

Fazit: Das Projekt ist hier genau dann vorteilhaft, wenn der Kapitalwert positiv ist!

Modifikation der Aufgabenstellung I (1)
Nun nehmen wir an, dass in t = 0 leider kein Lotteriegewinn vorliegt. Jedoch nehmen wir einen perfekten Kapitalmarkt an: insbesondere sollen die Soll- und Habenzinsen identisch sein, d.h. man kann zum gleichen Zinssatz Geld anlegen oder aufnehmen: rSoll = rHaben = r = 5 %

Modifikation der Aufgabenstellung I (2)
Es besteht nun die Möglichkeit, die folgenden beiden Transaktionen durchzuführen: t=0 t=1 Investition in das Grundstück Kredit aufnehmen +x Saldo: x

Zeitpunkt t = 1 Wir leihen uns in t = 0 genau so viel Geld, dass in t = = E1- A1 Euro zurückgezahlt werden müssen. Die Rückzahlung in t = 1 wird über die Einzahlungen aus dem Investitionsprojekt beglichen, so dass in t = 1 gilt: 0 =

Zeitpunkt t = 0 In t = 0 müssen Euro für das Grundstück investiert werden. Durch den aufgenommenen Kredit erhält man: /(1+0,05) = ,33 Euro Eine Differenz in Höhe von (E1-A1)/(1+r)– A0 = ,33 – = ,33 Euro bleibt in t = 0 übrig. Dies ist erneut der Kapitalwert!

Entscheidungskriterium
Ist der Kapitalwert > 0, so ist das Projekt vorteilhaft. Man erhält in t = 0 per Saldo eine positive Einzahlung, ohne in t = 1 eine Auszahlung tätigen zu müssen! Ist der Kapitalwert < 0, so erhielte man per Saldo eine Auszahlung, ohne in t = 1 dafür eine Einzahlung zu bekommen. Dies ist nicht sinnvoll. Ist der Kapitalwert = 0, so ist es gerade egal, ob das Projekt durchgeführt wird oder nicht!

Fazit Wenn Soll- und Habenzinsen identisch sind, und wenn jeder unbegrenzt Geld aufnehmen oder anlegen kann, dann ist die Vorteilhaftigkeit des Investitionsobjektes unabhängig vom persönlichen Einkommen! Das Investitionsobjekt ist immer dann vorteilhaft, wenn der KW positiv ist.

Modifikation der Aufgabenstellung II (1)
Bisher haben wir nur zwei Zeitpunkte, t = 0 und t = 1, betrachtet. Ohne Schwierigkeiten lassen sich die Überlegungen auf mehrere Zeitpunkte übertragen. Nehmen wir dazu an, dass in t = 0 die Möglichkeit besteht, eine Maschine für Euro zu erwerben. In t = 1 bis t = 5 können mit dieser Einzahlungen in Höhe von Euro erwirtschaftet werden, denen jeweils Ausgaben in Höhe von Euro entgegenstehen. In t = 5 kann die Maschine für Euro wieder verkauft werden.

Modifikation der Aufgabenstellung II (1)
Soll- und Habenzinsen (p.a.) sind abhängig von der Dauer der Kapitalbindung: Anlage von t = 0 bis… … t = 1 t=2 t=3 t=4 t=5 Zinssatz 2,5% 3% 3,5% 4% 4,5%

Ermittlung der Zahlungen
Zeit-punkt t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 Et-At

Duplikation t=1: +25.000 Euro. X1 * (1+0,025) = 25.000 Euro
 X1 = /(1+0,025) („Preis der Zahlung in t = 0, falls die festverzinsliche Anlage gewählt wird). t=2: X2 * (1+0,03) * (1+0,03) =  X2= /(1+0,03)² etc.

Vergleich: Anfangsauszahlung bei Kauf der Maschine: Euro = A0 Anfangsauszahlung, wenn der Zahlungsstrom durch festverzinsliche Anlagen dupliziert wird: A0Gesamt = A0Zahlung in t = 1+…+A0Zahlung in t = 5 = /(1,025) /(1,03)²+… /(1,045)5

Die Formel des Kapitalwerts lautet also allgemein:

Konkret erhält man: (24.390, , , , ,30) = ,12 Euro Der Kapitalwert ist also auch hier positiv, so dass sich das Projekt lohnen würde.

II. Wiederholung: Die Amortisationsdauer

Grundgedanke In t = 0 wird eine Anfangsauszahlung getätigt
Natürlich wird man nur solche Investitionen in Erwägung ziehen, bei denen das Geld wieder „reinkommt“ Dabei gilt: „je schneller, desto besser“

Beispiel Ein Investitionsprojekt sei durch folgende Zahlungsströme charakterisiert: Zeitpunkt t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 Zahlung -100 +5 +98 +50 -45

Statische Variante Frage: wie lange muss man warten, bis man die Anfangsauszahlung von 100 Geldeinheiten wieder eingenommen hat? Dabei werden Zahlungen verschiedener Zeitpunkte gleichbehandelt und einfach aufsummiert Mathematisch:

Statische Variante - Tabelle
Zeitpunkt t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 Zahlung -100 +5 +98 +50 -45 Kum. Zahlungen: (-) = 103 = 153 = 108 kum. Zahlungen - 100 -95 +3 +53 +8

Statische Variante - Prüfung der Bedingung
Die Bedingung „-A0 + (E1-A1 + …+ Et-At) ≥ 0“ ist also für die Menge der Zeitpunkte T = {2;3;4} erfüllt. Wir benötigen das Minimum dieser Menge: Min T = Min {2;3;4} = 2 = tstat Die Amortisationsdauer beträgt also 2 Perioden.

einfache Berechnungsmethode
Es ist meist nicht nötig, die Bedingung für alle Zeitpunkte von 1 bis tmax zu prüfen. Praktischer ist es, mit t = 1 zu beginnen, und dann so lange fortzufahren, bis die Bedingung erstmals erfüllt ist. Ist die Bedingung also in einem Zeitpunkt t* erstmals erfüllt, dann ist t* die Lösung, und es kann abgebrochen werden.

Dynamische Variante (1)
Das Grundprinzip ist identisch wie bei der statischen Variante. Der einzige Unterschied besteht nun darin, dass alle Zahlungen auf den betrachteten Zeitpunkt aufgezinst werden:

Ökonomischer Grund für die Berücksichtigung der Zinsen: Wird in t = 0 die Anfangsauszahlung per Kredit finanziert, dann beträgt in t = 1 der Wert dieser Verbindlichkeit bereits A0*(1+r). Wird in t = 0 die Anfangsauszahlung aus eigenen Mitteln finanziert, so verliert man bis t = 1 nicht nur –A0, sondern auch die Zinsen, -r*A0, die man bei verzinslicher Anlage des Geldes bekommen hätte („Opportunitätskosten“) Deshalb werden die aufgezinsten Werte mit den Zahlungen in t = 1 verglichen.

Rein formal könnte man auch alle Zahlungen auf t = 0 abzinsen, denn es gilt (für (1+r) >0):

Berechnung im Beispiel (1)
Wir unterstellen einen Zinssatz r = 10 % Prüfung der Bedingung in t = 1: -A0 *(1+0,1) + 5 = = -105 < 0 Somit ist in t = 1 die Bedingung nicht erfüllt, und wir müssen das Verfahren fortsetzen t=2: -100* (1+0,1)² + 5*(1+0,1) + 98 = -17,5

Berechnung im Beispiel (2)
Im Unterschied zur statischen Methode ist in t = 2 die Bedingung also noch nicht erfüllt t=3: *(1+0,1)³+5*(1+0,1)²+98*(1+0,1) +50 = (1+0,1)*[Wert(t=2)] = 1,1 * (-17,5 ) + 50 = 30,75 > 0 Somit ist die Bedingung erfüllt. Es ist tdyn = 3. t= 4 braucht für die Berechnung nicht mehr betrachtet werden.

Liegen zwei oder mehrere konkurrierende Investitionsobjekte vor, dann wird nach der Methode der Amortisationsdauer das Projekt mit der geringsten Amortisationsdauer gewählt. (Probleme: -> siehe letzte Woche)

III. Arbitragefreiheit und Diskontierungsfaktoren

III.1 Arbitragefreiheit
Definition einer (Differenz-)Arbitrage (verbal): „Eine Differenzarbitrage ist eine Portfoliostrategie, die zu irgendeinem Zeitpunkt eine Einzahlung liefert, ohne dass jemals eine Auszahlung geleistet werden muss“ Offensichtlich ist eine Arbitrage für jeden Investor ein sehr wünschenswertes Phänomen: man bekommt etwas, ohne eine Gegenleistung bieten zu müssen

Beispiele für Arbitragen (1)
Eine bestimmte Aktie kann an der Börse A zu einem Preis gekauft werden, der niedriger als an Börse B ist. Dann ist es vorteilhaft, die Aktie an Börse A zu kaufen und an Börse B wieder zu verkaufen Man erhält einen Gewinn von x*(PB – PA) > 0, ohne dass z.B. später eine Auszahlung aufgrund dieses Geschäftes nötig wäre. (x: Stückzahl der gekauften/verkauften Aktien)

Beispiele für Arbitragen (2)
Betrachten wir erneut dass Beispiel der Grundstücksinvestition, in Verbindung mit einem Bankkredit: t=0 t=1 Grundstück Kredit (5%) ,33 Saldo ,33

Beispiele für Arbitragen (3-1)
Zwei Wertpapiere mit folgenden (sicheren) Zahlungen: t=0 t=1 WP1 -100 (d.h. Preis = 100) +120 WP2 -80 +100

FS Beispiel 3: Wenn wir 5 Stück von Wertpapier 2 kaufen, und 4 Stück von Wertpapier 1 verkaufen, dann entstehen folgende Zahlungsströme: t=0 t=1 WP1 +4*100 =+400 -4*120 =-480 WP2 -5*80 =-400 +5*100 =+500 Saldo +20

FS Beispiel 3: Würde man im gleichen Verhältnis (+5/-4) das Volumen der Transaktion erhöhen, so könnte man – theoretisch - beliebig reich werden!

Konsequenzen für die Preise der Investitionsobjekte (1)
Im Beispiel 1 würden durch die Käufe an Börse A die Preise der Aktie steigen, während durch die zunehmenden Verkäufe der Aktie an Börse B ihr Kurs sinken würden. Dies würde sich so lange fortsetzen, bis PA=PB gilt und keine Arbitrage mehr möglich ist.

Konsequenzen für die Preise der Investitionsobjekte (2)
Würden weitere potentielle Investoren von unserem Grundstück erfahren, so würden sie den Preis in die Höhe bieten, bis der Kapitalwert schließlich null würde! In Beispiel 3 würde Papier 2 von allen gekauft, Papier 1 von allen verkauft. Der Preis von Papier 1 würde sinken, derjenige von Papier 2 steigen, bis keine Arbitrage mehr möglich ist.

Übung 3

Zwischenfazit Nur wenn ein Markt arbitragefrei ist, erhalten wir einigermaßen stabile Wertpapierpreise. Die theoretische Charakterisierung dieses Zustands ist somit interessant. Wenn wir die Bedingungen unter Arbitragefreiheit charakterisieren können, dann können wir umgekehrt auch Arbitragemöglichkeiten ausfindig machen und ausnutzen!

Definition - Arbitragefreiheit
„Ein Markt heißt arbitragefrei, wenn es nicht möglich ist, eine Einzahlung zu erhalten, ohne jemals eine Auszahlung zu leisten“. Bemerkung: Nach den Beispielen dürfte klar sein, dass dies für alle möglichen Kombinationen von Wertpapieren der Fall sein muss!

Problem Müssen alle denkbaren Kombinationen durchprobiert werden, um feststellen zu können, dass ein Markt tatsächlich arbitragefrei ist? Glücklicherweise ist dies nicht der Fall!

Äquivalenz Es läßt sich zeigen, dass folgende Äquivalenz besteht:
Arbitragefreiheit  Existenz sog. „Diskontierungsfaktoren“ mit gewissen Eigenschaften

III.2 Diskontierungsfaktoren
Interpretation: Der Diskontierungsfaktor QT gibt an, wie viele Geldeinheiten im Zeitpunkt t=0 eine Geldeinheit in t=T wert ist. Beispiel: Q3=0,8 . Dann ist ein Euro in t=3 jetzt 0,8 Euro wert. Für jeden Zeitpunkt muss es genau einen Diskontierungsfaktor geben. Der „Diskontierungsfaktor“ für t=0 beträgt natürlich immer eins: Q0=1

Eigenschaften der Diskontierungsfaktoren bei Arbitragefreiheit (1)
Arbitragefreiheit liegt dann – und nur dann – vor, wenn die Diskontierungsfaktoren (zusätzlich zu ihrer Eindeutigkeit) folgende Bedingungen erfüllen: Nichtnegativität: QT ≥ 0 für alle T. Interpretation: eine positive Zahlung kann keinen negativen Wert haben.

Weiter muss gelten: Qt ≥ QT für t < T. Interpretation: Die Diskontierungsfaktoren späterer Zeitpunkte sind also nie größer als die Faktoren der früheren Zeitpunkte. Eine Zahlung in T+1 kann also in t=0 nicht mehr wert sein, als eine Zahlung in T. Grund: über Kassenhaltung wäre es möglich, Geldeinheiten in T in Geldeinheiten in T+1 zu transformieren und so einen Wertgewinn zu erreichen.

Ein Spezialfall dieser Bedingung ist, dass QT ≤ 1 gelten muss für jedes T. Der Grund liegt darin, dass 1 der Diskontierungsfaktor für t=0 ist. Bei Verletzung dieser Bedingung ist Kassenhaltung von t=0 bis T vorteilhaft.

Eigenschaften der Diskontierungsfaktoren bei Arbitragefreiheit - Fazit
Es muss also gelten: 1≥ Q1≥ Q2 ≥…≥ QT-1 ≥ QT>0

Berechnung der Diskontierungsfaktoren (1)
Die Zahlung in t = 0 muss dem Wert aller späteren Zahlungen, jeweils mit Hilfe der Diskontierungsfaktoren in Geldeinheiten in t = 0 umgerechnet, entsprechen: P0= Z1*Q1+ Z2*Q2+…+ ZT*QT Somit benötigt man bei T Zeitpunkten auch T Wertpapiere zur Berechnung, wobei die Gleichungen jeweils linear unabhängig sein müssen. Man muss also ein lineares Gleichungssystem mit T Unbekannten und T Gleichungen lösen.

Berechnung der Diskontierungsfaktoren (2)
Wichtig: Wenn mehr als T Wertpapiere vorliegen, dann muss bei Arbitragefreiheit trotzdem die Gleichung Pi0= Zi1*Q1+ Zi2*Q2+…+ ZiT*QT für alle Wertpapiere (i =1;2;…;T;T+1;… ) gelten. Zur Berechnung empfiehlt es sich, mit nur T Wertpapieren ein Gleichungssystem aufzustellen und die Qs zu berechnen. Danach prüft man, ob die so berechneten Qs bei den anderen Wertpapieren auch passen.

Berechnung der Diskontierungsfaktoren – Beispiel (1)
Betrachten wir nochmals die beiden Wertpapiere aus Beispiel 3: t=0 t=1 WP1 -100 +120 WP2 -80 +100

T=1, d.h. wir müssen nur den Diskontierungsfaktor Q1 berechnen. Hierzu genügt eine Gleichung (z.B. WP1): 100 = Q1 *120  Q1 = 100/120 =0,8333 Bei Arbitragefreiheit müsste dieses Q1 auch bei WP2 passen, aber Q1 *100 = 83,33 ≠ 80 = PWP2 WP2 ist offensichtlich zu billig bzw. WP1 zu teuer!

Zur Verdeutlichung des Verfahrens bei mehreren Zeitpunkten: Aufgabe 2.3

Übung 4

Wiederholung: Diskontierungsfaktoren (1)
Man stelle sich folgenden Kapitalmarkt vor: Es werden bei T Zeitpunkten folgende (insgesamt T) Wertpapiere gehandelt: Wertpapier t, t=1,…,T liefert im Zeitpunkt t eine Zahlung von einer Geldeinheit, in allen anderen Zeitpunkten θ (θ=1,…,t-1,t+1,…,T) jedoch keine Zahlung. Beispiel: T=3 t=1 t=2 t=3 WP1 1 WP2 WP3

Einige weitere Annahmen: Es gibt keine Transaktionskosten oder Teilbarkeitsprobleme, es gibt keine Beschränkungen der Handelsmengen, insb. sind Leerverkäufe zugelassen (Reibungslosigkeit) Die Preise der Wertpapiere sind für die Marktteilnehmer gegeben und nicht beeinflussbar (atomistische Struktur des Marktes) Die Zahlungsströme sind sicher (Sicherheit) und allen bekannt (vollst. Information)

Auf einem Wettbewerbsmarkt werden sich dann Preise für diese Papiere bilden. Die Preise (für diese speziellen Papiere) sind die Diskontierungsfaktoren (vgl. letzte Stunde): Qt ist der Preis von Wertpapier t. Diese Preise müssen kleiner oder gleich eins sein, da ansonsten über die Kassenhaltung eine Arbitrage möglich ist:

Wir nehmen an, Q2 =1,2 ist der Preis von WP2 Verkauft man dieses Papier in t=0, so erhält man in t=0 eine Einzahlung von 1,2 Euro und muss in t = 2 eine Geldeinheit auszahlen. Es ist möglich, von den 1,2 Euro in t=0 einen Euro auf die Seite zu legen, diesen bis t=2 aufzubewahren und damit die dann fällig werdende Zahlung von einem Euro zu bedienen. Es bleiben 20 Cent an Gewinn Wenn keine Mengenbeschränkungen und Preisreaktionen einsetzen, dann kann man beliebig reich werden!

Wenn x die Verkaufsmenge von WP2 ist, dann ergibt sich: t=0 t=1 t=2 Verkauf WP2 +x* Q2 x*(-1) Kassen-haltung -x +x Saldo x*(Q2 -1)

Nehmen wir an, dass Q2 =0,9 und Q1 =0,8 gilt Arbitragemöglichkeit: Verkaufe x Stück von WP2 , kaufe von WP1 x Stück. In t=1 erhält man dann x Euro. Bewahre diese bis in t=2 auf und finanziere damit die eigene Auszahlungsverpflichtung in Höhe von x Geldeinheiten in t=3!

Nehmen wir an, dass Q2 =0,9 und Q1 =0,8 gilt t=0 t=1 t=2 Verkauf WP2 +x* Q2 -x Kauf WP1 -x* Q1 +x Kasse Saldo +x*(Q2-Q1)

Was wäre, wenn eines dieser Papiere einen negativen Preis hätte? Antwort: Beim „Kauf“ in θ= 0 muss man keine Auszahlung leisten, sondern bekommt sogar eine Einzahlung! Im Zeitpunkt t bekommt man noch eine Einzahlung von einem Euro In θ=0 bekommt man eine Einzahlung, in θ = t bekommt man eine Einzahlung von einem Euro Da keine Auszahlung erfolgt, liegt offensichtlich eine Arbitrage vor!

Nun fügen wir zu diesen t Papieren ein weiteres Papier WPT+1 mit Einzahlungen von Z1 und Z2 in t=1 und t=2 hinzu. Bei Arbitragefreiheit ist der Preis dieses Papiers nun bereits festgelegt: Kaufe Z1 Einheiten von WP1 und Z2 Einheiten von WP2 Da beide Papiere im entspr. Zeitpunkt pro Stück eine Zahlung von einem Euro liefern, kann man so den Zahlungsstrom von WPT+1 duplizieren! Folge: Bei Arbitragefreiheit muss der Preis PT+1 mit dem Preis dieser kombinierten Position übereinstimmen! PT+1= Q1* Z1+ Q2* Z2+…+ QT* ZT

Beispiel: (Kaufe WP4, verkaufe WP1 und WP2) t=0 t=1 t=2 t=3 WP4 -P4 +80 +100 WP1 +80*Q1 -80*1 WP2 +100*Q2 -100*1 Saldo -P4 +80*Q1 +100*Q1

Zwischenfazit /Schlussbemerkungen
Wenn diese Papiere mit einer Zahlung von einem Euro in t am Markt vorhanden sind, so kann man alle anderen Wertpapiere daraus zusammensetzen und somit ihren Wert bestimmen: PT+1= Q1* Z1+ Q2* Z2+…+ QT* ZT Liegen diese Papiere nicht explizit vor, so kann man sie aus T linear unabhängigen Wertpapieren konstruieren.

Lösung von Aufgaben vom Typ Aufgabe 2.3 (1)
1.) Prüfe, ob der Markt arbitragefrei ist! Stelle ein Gleichungssystem auf: P = Z*Q, dabei sind P und Q Spaltenvektoren, Z ist die Matrix mit den Zahlungen (siehe letzte Woche, Lösung Aufgabe 2.3!) Berechne Q: Q = Z-1 *P Prüfe, ob 1≥Q1≥Q2≥…≥QT≥0 erfüllt ist!

2.) Konstruiere eine Differenzarbitrage! Falls die Qs die Arbitragefreiheitsbedingung erfüllen, ist dies nicht möglich! -> fertig! Ansonsten: Gleichungssystem aufstellen: Wenn Qt‘ > Qt, aber t<t‘:

θ=0: -P1*x1+…+(-Pn*xn) = 0 θ=1: Z1,1*x1+…+ Z1,n*xn = 0 … θ=t: Zt,1*x1+…+ Zt,n*xn-xKasse = 0 θ=t‘: Zt‘,1*x1+…+ Zt‘,n*xn+xKasse = ε>0 θ=T: ZT,1*x1+…+ ZT,n*xn = 0 Die rechte Seite stellt die Arbitrage dar!

3.) Gegeben sind für einige Wertpapiere konkrete Preise. Bestimme für die anderen Papiere Preisintervalle, so dass Arbitragefreiheit vorliegt! Meistens: zwei Wertpapiere, zwei Zeitpunkte, ein Preis gegeben. Gleichungssystem (Matrixschreibweise): P=Z*Q Auflösen: Q = Z-1 *P Zahlungen einsetzen, bekannte Preise einsetzen. Q ist dann eine (lineare) Funktion der noch unbekannten Preise

Für zwei Zeitpunkte, zwei Papiere und einen bekannten Preis: 1.) 1 ≥ Q1 = f1(Punbekannt) (lineare Funktion), nach dem unbekannten Preis auflösen -> erste Bedingung 2.) Q1 ≥ Q2, Qi = fi(Punbekannt) für i=1;2 erneut einsetzen und nach dem unbekannten Preis auflösen 3.) Q2 ≥ 0, Q2 = f2(Punbekannt), analog

Bestimme die zulässigen Werte für Punbekannt, die alle Bedingungen erfüllen! Diese Menge ist die Lösung dieser Teilaufgabe. Unter Umständen sind einige Bedingungen nicht bindend. Beispiel: P≤95, P≥92, P≥0. Lösung: 92≤P≤95, P≥0 ist durch P≥92 bereits sichergestellt

Diskontierungsfaktoren und Kassazinssätze (1)
Bei diskreter Verzinsung gilt folgender Zusammenhang: QT = 1/(1+r0,T)T Dabei ist r0,T der Zinssatz pro Periode, zu dem man in t = 0 Geld T Perioden lang anlegen oder aufnehmen kann. Bei stetiger Verzinsung gilt folgender Zusammenhang: QT = exp(-T*ρ0,T) Dabei ist ρ0,T der Zinssatz pro Zeiteinheit, zu dem man in t = 0 Geld bis zum Zeitpunkt T anlegen oder aufnehmen kann.

Grund: bei diskreter Verzinsung und Anlage von 1 Euro von θ=0 bis θ=t zum Zinssatz von r0,t erhält man in t 1*(1+r0,t)t Euro. Um in θ=t einen Euro zu erhalten, müssen in θ=0 1/(1+r0,t)t Euro angelegt werden. Dieser Betrag ist der heutige (θ=0) „Preis“ des einen Euros in θ=t. Wenn Qt ≠ 1/(1+r0,t)t dann existiert also eine Arbitragemöglichkeit.

Es besteht ein enger Zusammenhang zum Kapitalwert Dies erkennt man, wenn man folgende beiden Bedingungen vergleicht: P0= Z1*Q1+ Z2*Q2+…+ ZT*QT Die zweite Formel besagt, dass der Kapitalwert gleich null sein muss (bei Arbitragefreiheit)

Die Gleichung QT = 1/(1+r0,T)T läßt sich ohne Probleme nach dem Zinssatz auflösen: Man erkennt nun, wieso die Diskontierungsfaktoren immer ≤ 1 sein müssen: Sonst wird der Zinssatz negativ! 1/Q < 1 für Q > 1 Die T-te Wurzel aus 1/Q ist ebenfalls kleiner als eins, wenn 1/Q kleiner als ein ist!

Niemand würde aber sein Geld beispielsweise zu einem Zinssatz von -5% anlegen: Angelegter Betrag: 100 Euro Rückzahlung: 100*(1+-0,05) = 95 Euro Zum Vergleich: Kassenhaltung „Angelegter“ Betrag: 100 Euro „Rückzahlung“: 100 Euro

Beispiel zu Kassazinssätzen und Arbitragefreiheit
Aufgabe 2.2

Übung 5

Terminzinssätze und Diskontierungsfaktoren (1)
Es ist auch möglich, per Termin Geld aufzunehmen oder anzulegen. Dabei einigt man sich bereits heute (t=0) darauf, zu welchen Konditionen in einem späteren Zeitpunkt (z.B. t=3) bis zu einem noch späteren Zeitpunkt (z.B. t =4) Geld angelegt oder aufgenommen wird. In t = 0 ist dabei keine Zahlung fällig, d.h. das Termingeschäft hat einen „Preis“ von null.

Der Zahlungsstrom sieht dann so aus: Bereits in t = 0 wird ausgemacht, wie viele Geldeinheiten B in t = 3 ausgegeben werden müssen, um in t=4 eine Geldeinheit zu erhalten t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 -B +1

Wie immer muss bei Arbitragefreiheit gelten: P0= Z1*Q1+ Z2*Q2+…+ ZT*QT Konkret: (P =) 0 = 0*Q1+ 0*Q2+ (-B)*Q3+ 1*Q4  B = Q4/ Q3 Wenn Q3 ≥ Q4 ist, dann ist B ≤ 1 Natürlich würde niemand per Termin in t = 3 mehr als einen Euro anlegen (B>1), um dann in t = 4 nur noch einen Euro zurückzubekommen!

Wir können für gegebenes B auch den Terminzinssatz berechnen: Allgemein: B = 1 * 1/(1+0rt,T)T-t Konkret (im Beispiel): B = 1 * 1/(1+0r3,4) Somit erhält man einen Zusammenhang zwischen Diskontierungsfaktoren und Terminzinssätzen: Allgemein: QT/Qt = B = 1/(1+0rt,T)T-t Konkret (Beispiel): Q4/ Q3 = 1/(1+0r3,4)

Die Formel QT/Qt = B = 1/(1+0rt,T)T-t lässt sich nach dem Terminzinssatz auflösen: Auch hier sieht man, dass für QT> Qt ein negativer Terminzinssatz resultieren würde.

Terminzinssätze und Diskontierungsfaktoren - Beispiel
Aufgabe 2.6, Aufgabe 2.7 Begriffsklärungen (Aufgabe 2.7): Zero-Bond: ein Wertpapier, das in genau einem Zeitpunkt T > 0 eine Zahlung liefert. Annuität: Zahlungsstrom, der in allen Zeitpunkten t=1,…,T aus identischen Zahlungen besteht. Zinsstruktur-Kurve: der Zusammenhang zwischen Kapitalbindungsdauer und (Kassa-)Zinssatz (pro Verzinsungsperiode, meist p.a.)

Übung 6

IV. Investitionsdauer-Entscheidungen: Nutzungsdauer und Ersatzprobleme
Bisher haben wir Kapitalwerte für ein oder mehrere Investitionsobjekte berechnet, bei denen die Verwendungsdauer jeweils feststand. Nun wird die Frage der optimalen Investitionsdauer mit einbezogen.

Nutzungsdauerprobleme
Fragestellung: soll eine noch nicht vorhandene Investition 0,1,2,3,… oder T Perioden lang durchgeführt werden? (0 soll dabei bedeuten, dass die Investition gar nicht durchgeführt wird).

Ersatzprobleme Fragestellung: soll eine bereits vorhandene Investition in 0,1,2,3,… oder T Perioden durch eine Alternativinvestition ersetzt werden? (0 soll dabei bedeuten, dass die Investition sofort ersetzt wird).

Literatur – Kapitel IV Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung, 10. Auflage, München;Wien: Oldenbourg, 2005 Kapitel 3 (Investitionsdauerentscheidungen)

Nachtrag: Literatur – Kapitel III
Kruschwitz, L. (2004): „Finanzierung und Investition“, 4. Auflage, München; Wien: Oldenbourg, 2003 Kapitel 1.5 und Kapitel

Nutzungsdauerprobleme – Aufgabenstellung (1)
Zur Verdeutlichung nehmen wir nochmals das Beispiel der Maschine, die folgende Zahlungsströme liefert: Zeit-punkt t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 Et-At

Nutzungsdauerprobleme – Aufgabenstellung (2)
Oben wurde bereits angenommen, dass in t = 5 ein Liquidationserlös erzielt werden kann. Nun wird zusätzlich die Möglichkeit eingeführt, dass die Maschine in allen Zeitpunkten t=0,1,…,5 wieder verkauft wird und einen Liquidationserlös bringt. Es wird wieder ein vollkommener Kapitalmarkt unterstellt, allerdings mit flacher Zinsstrukturkurve: r = 10%

Schritt 1: Ermittlung der Zahlungen und Liquidationserlöse
Spezifikation der Zahlungsströme (ohne Liquidationserlöse) und Liquidationserlöse: Zeit-punkt t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 Et-At Lt 90.000 70.000 40.000 +0

Schritt 2: Definition der Nutzungsdaueralternativen
Wir besitzen die Möglichkeit, die Investition bis zu den Zeitpunkten t=0,1,…, 5 durchzuführen. Allgemein: n = 0,1,…,T bezeichne also die gewählte Nutzungsdaueralternative.

Schritt 3: Ermittlung der Zahlungsreihen für alle Alternativen (1)
Allgemein lassen sich die gesamten Zahlungen in einem Zeitpunkt t wie folgt charakterisieren: Zt = Et- At für t < n Zt = Et- At + Lt für t = n Zt = 0 für t > n

Konkret können in einer Tabelle die Zahlungen in allen Zeitpunkten (Spalten) für alle Nutzungsdaueralternativen n = 0,…,5 (Zeilen) dargestellt werden:

n=1 = n=2 n=3 n=4 n=5

Schritt 4: Berechnung der Kapitalwerte für alle Nutzungsdaueralternativen (1)
Ökonomische Logik: wählt man einen frühen Zeitpunkt, so ist der Liquidationserlös noch relativ hoch dem steht entgegen, dass man sich Zahlungen in späteren Zeitpunkten entgehen lässt Berechnung der Kapitalwerte für alle NDA n:

Vorschlag zur Berechnung: Berechne für t = 0,…, T jeweils den Kapitalwert ohne Liquidationserlös: KW0(r,t) = -A0 +(E1–A1)/(1+r) +…+(Et–At)/(1+r)t Beachte, dass KW0(r,t+1) = KW0(r,t) + (Et+1–At+1)/(1+r)t+1 Man braucht also bei der Berechnung nicht immer wieder ganz von vorne zu beginnen Berechne für t = 0,…, T den eigentlich gesuchten Kapitalwert als KW(r,t) = KW0(r,t) + Lt/(1+r)t

Konkret (r=10%): t= 0: KW0(r,0) = t=1: KW0(r,1) = /(1,1) = ,73 t=2: KW0(r,2) = /1, /1,1² = , /1,1² = ,57 t=3: KW0(r,3) = , /1,1³ = ,7 t=4: KW0(r,4) = , /1,14 = ,36 t=5: KW0(r,5) = , /1,15 = ,33

Konkret (r=10%): t= 0: L0 = t=1: L1/(1,1) = /(1,1) = ,18 t=2: L2/(1,1)² = /(1,1)² = ,24 t=3: L3/(1,1)³ = /(1,1)³ = ,59 t=4: L4/(1,1)4 = /(1,1)4 = ,269 t=5: L5/(1,1)5 = 0/(1,1)5 = 0

Insgesamt: (r=10%) KW(r,t) = KW0(r,t) + Lt/(1+r)t t= 0: KW(0,r) = = 0 t=1: KW(1,r) = , ,18 = ,45 t=2: KW(2,r) = , ,24 = ,67 t=3: KW(3,r) = , ,59 = ,11 t=4: KW(4,r) = , ,269 = ,09 t=5: KW(5,r) = , = ,33

Schritt 5: Entscheidung
Es wird diejenige Nutzungsdaueralternative gewählt, die den höchsten Kapitalwert hat! Hier: n = 1

Beurteilung des Verfahrens (1)
Wo nimmt man den Liquidationserlös her? Plausibel ist, dass der Liquidationserlös sich am Barwert der in t noch ausstehenden Zahlungen orientiert. Für den Liquidationserlös gilt dann: Einsetzen in KW(r,t) ergibt dann:

Interpretation: unter dieser Bedingung resultiert also für alle Nutzungsdauern der Kapitalwert K(r,T), der bei Zugrundelegung aller Zahlungen resultiert. Die Nutzungsdauer wird somit also irrelevant!

Nutzungsdauerprobleme bei mehrmaligen Investitionen
Bisher hatten wir lediglich ein Projekt betrachtet und dessen optimale Nutzungsdauer bestimmt. Realistischer ist der Fall, dass nach Abschluss des Projektes ein zweites begonnen wird, danach ein drittes, etc. Nun muss nicht nur für ein Projekt, sondern für alle Projekte eine optimale Nutzungsdauer bestimmt werden Insgesamt wird man die Nutzungsdauern so wählen, dass der Kapitalwert der Projektfolge maximal wird

Spezifikation der Projekte (1)
Wir betrachten nur den Fall des unendlichen Planungszeitraums Die Zahlungen der Projekte sollen dabei identisch sein. Beispiel für eine Nutzungsdauer n = 3: t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6 t=7 t=8 t=9 Pr1 -100 +60 +50 +40 Pr2 Pr3 … Gesamt -60

Spezifikation der Projekte (2)
Es soll eine Nutzungsdauer n =0,…,6 möglich sein für jedes Kettenglied der Projektfolge. n=0 bedeutet, dass gar keine Projekte durchgeführt werden Der Zinssatz (bei flacher Zinsstruktur) betrage 5% Der Zahlungsstrom eines Kettengliedes laute in Abhängigkeit von n wie folgt: Zt = Et – At für 0 ≤ t ≤ n Zt = 0 t>n Auf Liquidationserlöse soll zur Vereinfachung verzichtet werden Dabei soll Et – At wie folgt aussehen: t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6 Et- At -100 +60 +50 +40 +30 +20 +10

Berechnung des Kapitalwertes einer unendlichen identischen Investitionskette (1)
Prinzipiell berechnet man den Kapitalwert wie immer Man erhält lediglich unendlich viele Summanden. Diese Summe lässt sich aber über eine unendliche Reihe leicht berechnen!

Für ein gegebenes n (≥1) berechnet sich der Kapitalwert des ersten Projektgliedes wie üblich: KW1(5%,n) = -A0 + (E1 – A1 )/(1+0,05)+… +(En – An )/(1+0,05)n Die erste Zahlung des zweiten Projektgliedes erfolgt in t=n. Deshalb ist: KW2(5%,n)= -A0/(1+0,05)n + (E1 – A1) /(1+0,05)n+1 +… +(En – An )/(1+0,05)n+n = (1+0,05)-n * KW1(5%,n)

Analog erhält man für den Kapitalwert des k-ten Gliedes: KWk(5%,n)= -A0/(1+0,05)n*k + (E1 – A1) /(1+0,05)n+1 +… +(En – An )/(1+0,05)n*n* = (1+0,05)-n*k *KW1(5%,n) Der Kapitalwert der gesamten Kette ergibt sich dann als die Summe der Kapitalwerte der Einzelglieder

KW(5%,n) = KW1(5%,n) + KW2(5%,n)+ KW3(5%,n)+… Nun setzt man KWk(5%,n) = (1+0,05)n*k * KW1(5%,n) ein und erhält: KW(5%,n) = KW1(5%,n) KW1(5%,n)/(1+0,05)n + KW1(5%,n)/(1+0,05)n* KW1(5%,0,05)/(1+0,05)n*3 +…

Offensichtlich kann man KW1(r,n) ausklammern und erhält:

Dabei wurde verwendet, das für |q| < 1 gilt: 1+q+q²+q³+…=1/(1-q) Konkret ist hier q= 1/(1+r)n (<1 für r>0) Somit müssen wir zur Lösung der Aufgabe für alle Nutzungsdaueralternativen n (hier n=0,…,6) KW1(n,5%) und den Faktor f(n):=(1+r)n / [(1+r)n -1] berechnen. Anschließend berechnen wir das Produkt

KW1(0;5%) := 0 KW1(1;5%) = /(1,05) = -42,8571 KW1(2;5%) = KW1(1;5%)+50/(1,05)²=2,4943 KW1(3;5%) = KW1(2;5%) + 40/(1,05)³ = 37,0478 KW1(4;5%) = KW1(3;5%)+30/(1,05)4 = 61,7289 KW1(5;5%) = KW1(4;5%)+20/(1,05)5= 77,3994 KW1(6;5%) = KW1(5;5%)+10/(1,05)6= 84,8616

KW1(n,5%) f(n) f(n)*KW1(n,5%) - 1 -42,8571 21 -900,00 2 2,4943 10,7561 26,83 3 37,0478 7,3442 272,09 4 61,7289 5,6402 348,16 5 77,3994 4,6195 357,55 6 84,8616 3,9403 334,38

Entscheidungskriterium: wähle n so, dass KW(n,r) maximal wird! Hier konkret: n = 5

7.12.2006 (keine neuen PowerPoint-Folien)
Übung 7 (keine neuen PowerPoint-Folien)

Übung 8

Ersatzprobleme –Fragestellung (1)
Fragestellung: wann soll eine bereits vorhandene Investition durch eine andere Investition ersetzt werden? Wir nehmen also an, dass die beiden Investitionen miteinander konkurrieren und nicht komplementär durchgeführt werden können. Dass man darüber nachdenken muss, ob eine vorhandene Investition ersetzt werden soll, setzt einen Irrtum bei der Planung voraus – ansonsten hätte man dies bei der Tätigung der Anfangsinvestition bereits bedacht! So gesehen haben wir es nicht mit einer Investitionsentscheidung unter Sicherheit zu tun!

Die potentielle Ersatzinvestition soll wieder eine unendliche Kette (wie oben) sein. Zu wählen ist der optimale Ersatzzeitpunkt n=0,…,Talt,max n=0 soll bedeuten, dass die alte Investition sofort durch die neue Investition ersetzt werden soll Talt,max soll den letzten Zeitpunkt bezeichnen, in dem die alte Investition eine (positive oder negative) Zahlung liefert

Bei der neuen Investitionskette müssen wir erneut die optimale Nutzungsdauer m bestimmen!

Ersatzprobleme –Ansatz (1)
Erneut werden n und m so gewählt, dass der Kapitalwert der Kombination aus alter und neuer Investition maximal wird Dieser Kapitalwert wiederum setzt sich zusammen aus dem Kapitalwert der alten Investition und dem der neuen Investition (jeweils bei Ersatzzeitpunkt n): KWGesamt(n,m,r) = KWalt(n,r)+KWneu(n,m,r)

KWalt(n,r) = (E0 –A0)+(E1 –A1)/(1+r)+…+(En –An)/(1+r)n + Ln/(1+r)n Dabei soll Ln den Liquidationserlös bezeichnen, der bei Ersatzzeitpunkt n erzielt werden kann Wichtig: E0 –A0 braucht nicht unbedingt eine negative Anfangsauszahlung zu sein, da diese meist schon früher getätigt wurde (z.B. vor zwei Perioden).

KWneu(n,m,r) = KW(m,r)/(1+r)n Dabei ist KW(m,r) der Kapitalwert der Ketteninvestition im Zeitpunkt n (Berechnung siehe oben). Somit erhält man insgesamt: KWGesamt(n,m,r)=(E0 –A0)+(E1 –A1)/(1+r)+…+(En –An)/(1+r)n + Ln/(1+r)n + KW(m,r)/(1+r)n

Ersatzprobleme –Beispiel (1)
Wir nehmen wieder einen Zinssatz von r=5% an Die Ersatzinvestition soll die bereits aus dem vorherigen Unterabschnitt bekannte Investitionskette sein Es soll noch eine alte Investition vorhanden sein, die von t=0 bis t=7 folgende Einzahlungen und Liquidationserlöse aufweist:

Ersatzprobleme –Beispiel (2)
Et -At +15 Lt 65 55 45 35 25 15 10

Einschub: Berechnung des Barwertes einer Annuität (1)
Eine Annuität ist dadurch charakterisiert, dass von t=1 bis Tmax jeweils alle Zahlen identisch sind Für den Barwert gilt also: BW=Z/(1+r)+Z/(1+r)²+…+Z/(1+r)Tmax = Z*(q+q²+…qTmax) mit q = 1/(1+r) Es gilt: x(q,T):= q+q²+…qT = (q- qT+1)/(1-q) = [(1+r)T-1]/[(1+r)T*r] BW(r,T,Z) = Z*[(1+r)T-1]/[(1+r)T*r] Formel würde in einer Klausur angegeben werden!

Einschub: Berechnung des Barwertes einer Annuität (2)
Herleitung der Formel q+q²+…qT = (q- qT+1)/(1-q) : x(q,T):= q+q²+…+qT  x(q,T) –q = q²+q³+…+ qT = q*[q+q²+…+qT-1] = q*[x(q,T)- qT]  x(q,T)*(1-q) = q-qT+1  x(q,T)= (q-qT+1)/(1-q)

Berechnung der optimalen Nutzungsdauer für die Kette identischer Investitionen
Siehe oben, Lösung hier: m=5!

Berechnung der Kapitalwerte für alle Ersatzzeitpunkte n (1)
Berechne für n =0,…,7 jeweils den Kapitalwert der alten Investition: Zunächst für alle n ohne Liquidationserlöse rekursiv Danach die abgezinsten Liquidationserlöse hinzurechnen

Berechnung der Kapitalwerte der alten Investition für alle Ersatzzeitpunkte n
BW(5%,n,15) Ln/(1+r)n Gesamt n=0 +15 +65 80 n=1 +29,29 +52,38 81,67 n=2 +42,89 +40,82 83,71 n=3 +55,85 +30,23 86,08 n=4 +68,19 +20,57 88,76 n=5 +79,94 +11,75 91,69 n=6 +91,14 +7,46 98,6 n=7 +101,80 101,80

Berechnung der Kapitalwerte der neuen Investition für alle Ersatzzeitpunkte n (1)
Bereits oben hatten wir als optimale Nutzungsdauer m = 5 bestimmt und den dazugehörigen Kapitalwert von 357,55 berechnet. Im Zeitpunkt n erhalten wir erneut diesen Kapitalwert Wir interessieren uns aber für den Kapitalwert im Zeitpunkt t=0 und müssen entsprechend abzinsen.

Berechnung der Kapitalwerte der neuen Investition für alle Ersatzzeitpunkte n (2)
abgezinster KW 357,55 1 340,52 2 324,31 3 308,87 4 294,16 5 280,15 6 266,81 7 254,10

Berechnung des gesamten Kapitalwertes (2)
KWalt KWneu KW n=0 80 357,55 437,55 n=1 81,67 340,52 422,19 n=2 83,71 324,31 408,02 n=3 86,08 308,87 394,95 n=4 88,76 294,16 382,92 n=5 91,69 280,15 371,84 n=6 98,6 266,81 365,41 n=7 101,80 254,10 355,90

Entscheidung Für n=0 resultiert der höchste Kapitalwert. Deshalb sollte die alte Maschine sofort verkauft werden und durch die neue Maschine (mit optimaler Nutzungsdauer m=5) ersetzt werden!

V. Die Einbeziehung von Realinvestitionen

V.1 Effizienz und Dominanz von Vektoren –Motivation (1)
Wenn man nur ein Ziel verfolgt, dann kann man verschiedene Handlungsalternativen nach dem Zielerreichungsgrad anordnen und dann die beste auswählen. Beispiel: einziges Ziel: möglichst gute Klausurnote! Die Erreichung setzt den Einsatz von Zeit voraus, z.B. für den Besuch von Vorlesung und Übung, einschließlich Vor- und Nachbereitung

Effizienz und Dominanz von Vektoren –Motivation (2)
Beispiel: (sicherer) Zusammenhang zwischen Arbeitszeit pro Tag und Klausurnote (Achtung: Zahlen sind ziemlich willkürlich und nicht als Richtschnur etc. gedacht!) Stunden 0 – 1/4 1/4 – 1/2 1/2 - 1 1 - 2 3 - 12 >12 Note 5 4 3 2 1

Wir würden also irgendeinen Wert zwischen 3 und 12 Stunden pro Tag wählen. Diese Werte sind alle gleich gut. Realistischer wäre allerdings die Annahme, dass wir Freizeit als weiteres Ziel verfolgen, noch andere Klausuren bestehen müssen, etc. Wir haben es dann mit einem Entscheidungsproblem bei mehreren Zielen zu tun.

Der Zusammenhang zwischen der täglichen Arbeitszeit und der Erreichung der beiden Ziele sieht dann so aus: Stunden 1/4 1/2 1 3 >12 Ziel 1: Freizeit (h) 24 23 3/4 23 1/2 23 21 <12 Ziel 2: Note 5 4 2

Problem Selbst wenn zwei Personen die gleichen Ziele: „gute Klausurnote“ und „viel Freizeit“ verfolgen, dann ist die Entscheidung trotzdem noch subjektiv: Während eine Person vielleicht eher Freizeit präferiert und mit der Note 4,0 zufrieden ist, könnte eine andere Person die Kombination aus der Note 2,0 und dem entsprechenden Freizeitverzicht für optimal einschätzen.

Teillösung (1) Wir können aber immerhin festhalten:
Für beide Personen ist eine Kombination suboptimal, die in Bezug auf beide Ziele schlechter ist als mindestens eine andere Kombination. Beispiele: 14 Stunden Arbeit, Note 5,0 wegen Übermüdung.

Teillösung (2) Eine Alternative A1 , die im Vergleich zu einer Alternative A2 den gleichen Zielerreichungsgrad bei einem Ziel erreicht, aber bei allen anderen schlechter ist, kann ebenfalls aussortiert werden. Beispiel: A1: Note 2,0 bei 1,5 Stunden Arbeit pro Tag A2 : Note 2,0 bei 1 Stunde Arbeit pro Tag

Dominanz - Definition (1)
Allgemeiner und formaler können wir dies wie folgt ausdrücken: Sei A eine Menge von Alternativen, A = {a1,a2…}. Der Entscheider verfolge n Ziele, z1,z2,…,zn. zk(al) bezeichne den Zielerreichungsgrad von Ziel k (1≤k≤n) bei Wahl von Alternative al Ein höherer Zielerreichungsgrad soll dabei für alle Ziele stets besser sein

Dominanz – Definition (2)
Es gelte für ai und ak aus A: 1.) zθ(ai) ≤ zθ(ak) für alle θ =1,…,n 2.) zξ(ai) < zξ(ak) für mindestens ein ξ =1,…,n Dann sagt man, dass ai durch ak dominiert wird. Verbal: die Alternative ai ist in keinem einzigen Ziel besser als ak , aber mindestens bei einem Ziel schlechter.

Dominanz – Anmerkungen
Der letzte Zusatz – „mindestens in einem Ziel schlechter“ – ist notwendig, weil die erste Bedingung – „in keinem einzigen Ziel besser“ – auch dann erfüllt wäre, wenn für beide Alternativen alle Ziele in gleichem Maße erreicht werden. „Dominanz“ ist immer eine Beziehung zwischen zwei Alternativen. Die Frage, ob eine Alternative a dominiert, lässt sich also nur in Bezug auf eine Alternative b sinnvoll formulieren und beantworten.

Effizienz – verbale Definition
Ist A die Menge aller Alternativen, dann nennen wir diejenigen Alternativen, die durch keine andere Alternative aus A dominiert werden, „effizient“. Die Eigenschaft der Effizienz einer Alternative ist immer abhängig von der Bezugsmenge A! Eine Alternative a ist in Bezug auf die Menge A entweder effizient oder nicht effizient – der Ausdruck „effizienter“ ist in diesem Zusammenhang sinnlos!

Effizienz – formale Definition
Sei a aus A eine Alternative. Gilt für alle Alternativen a‘ aus A und für alle Ziele k (=1,…,n) stets: zk(a‘) ≥ zk(a) → zk(a‘) = zk(a) dann ist a bzgl. A effizient.

Vektorschreibweise

Problem Für eine kleine Menge von Handlungsalternativen und eine geringe Anzahl von Zielen kann man durch einfaches Ausprobieren herausfinden, welche Alternativen effizient bzw. ineffizient sind. Bei komplexeren Entscheidungsproblemen wird die Situation aber schnell unübersichtlich!

Das Maximumprinzip der Effizienz (1)
Es gibt eine äquivalente Darstellung der Effizienz, die oft hilfreich ist: Idee: gegeben ist ein Vektor z aus Z. Wir betrachten zunächst das Ziel 1, indem wir den Zielwert von z mit allen anderen Vektoren aus Z vergleichen, die bei den Zielen 2 bis n mindestens genau so gut wie z sind.

Beispiel: Die Tabelle stellt eine Menge Z von Vektoren dar, z ist in der ersten Spalte. z u v w x Ziel 1 5 6 4,5 3 Ziel 2 7 4 8 Ziel 3 8,5 9 2

Beispiel: Wir vergleichen den Zielwert von z in Bezug auf Ziel 1 (d.h. 5) mit den Werten der Vektoren, die bei den anderen Zielen (Ziel 2 und Ziel 3) besser oder gleich sind (konkret: v und w). z u v w x Ziel 1 5 6 4,5 3 Ziel 2 7 4 8 Ziel 3 8,5 9 2

Wenn bei den anderen Ziele einige Vektoren mindestens genau so gut sind, wie der Vektor z, dann darf der Vektor z bei Ziel 1 nicht schlechter als einer dieser Vektoren sein. Sonst würde z offensichtlich dominiert. z muss also in Bezug auf Ziel 1 den maximalen Wert von diesen Vektoren besitzen!

Im Beispiel: v und w waren bei Ziel 2 und 3 mindestens genauso gut. z1 = 5, v1 = 4,5, w1 = 5 z besitzt also tatsächlich (zusammen mit w) den maximalen Wert für Ziel 1 in der Gruppe der Vektoren, die bei den Zielen 2 und 3 mindestens genauso gut wie z sind. z ist dann – und nur dann – effizient, wenn diese Bedingung auch bei Betrachtung der Ziele 2 und 3 erfüllt ist.

Zur Überprüfung führen wir den Test für Ziel 2 nochmals durch: z u v w x Ziel 1 5 6 4,5 3 Ziel 2 7 4 8 Ziel 3 8,5 9 2

Bei den Zielen 1 und 3 ist nur der Vektor w mindestens genauso gut wie z. Aber nun ist z2 = 7 < w2 = 8! w dominiert also offensichtlich z! Dies führt uns nun zu folgendem Satz:

Sei z aus Z. z ist in Bezug auf Z genau dann effizient , wenn gilt: Für alle i = 1,…, n gilt:

Relevanz des Maximumprinzips der Effizienz: Charakterisierung effizienter Konsumpläne (vgl. Vorlesungsskriptum!).

Beispiel (1) Aufgabe: Bestimmen Sie die Menge der effizienten Vektoren! z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 5 8 6 5,5 3 7,5 6,5 7 1 2 13 9 14 4

Beispiel (2) Theoretisch könnte man die Aufgabe mit Hilfe des Maximumprinzips lösen. Man müsste aber für die jeweils drei Komponenten der acht Vektoren, also insgesamt 24 mal die oben genannte Bedingung prüfen. Dies wäre zu aufwendig!

Beispiel (3) Eine mögliche Vorgehensweise: bestimme zunächst für alle Ziele die maximalen Zielwerte! z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 5 8 6 5,5 3 7,5 6,5 7 1 2 13 9 14 4

Beispiel (4) Wenn ein Vektor als einziger den maximalen Zielwert für mindestens ein Ziel enthält, dann muss er notwendig effizient sein, da dann kein anderer Vektor bei allen Zielen besser oder gleich gut sein kann. Im Beispiel ist dies bei z2 und z5 der Fall. Es empfiehlt sich, solche Vektoren einzurahmen, da sie auf jeden Fall Teil der Lösung sind.

Beispiel (5) Wenn ein Vektor mit einem oder mehreren anderen Vektoren bei einem Ziel den maximalen Wert hat, dann prüft man für die Teilmenge Z‘ dieser Vektoren, ob sie bzgl. Z‘ effizient sind. Ist dies der Fall, dann sind sie offensichtlich auch bzgl. Z effizient. Wird ein Vektor aus Z‘ von einem anderen Vektor aus Z‘ dominiert, so ist er insgesamt ineffizient und kann gestrichen werden.

Beispiel (6) Hier haben die Vektoren z4, z6 , z8 jeweils den Wert 14.
z4 wird von z6 dominiert und kann entfernt werden. Da z6 nicht z8 dominiert (und umgekehrt), müssen beide Vektoren effizient sein.

Zwischenergebnis (1) z1 z2 (e) z3 z4 (d) z5 (e) z6 (e) z7 z8 (e) 5 8 6
5,5 3 7,5 6,5 7 1 2 13 9 14 4

Beispiel (7) Fortsetzungsmöglichkeit: bei den Vektoren, die jetzt noch nicht als effizient oder ineffizient markiert sind, prüfen, ob sie auf mindestens einem der Ziele den zweithöchsten Wert besitzen. Ist dies bei einem Vektor der Fall, dann vergleicht man ihn nur mit den Werten, die bei diesem Wert einen mindestens genau so guten Wert haben.

Beispiel (8) z1 z2 (e) z3 z4 (d) z5 (e) z6 (e) z7 z8 (e) 5 8 6 5,5 3
7,5 6,5 7 1 2 13 9 14 4

Beispiel (9) Vektor z7 hat mit 7,5 den zweithöchsten Wert bei Ziel 1.
Lediglich z2 ist bei Ziel 1 mit einem Wert von 8 besser und kann z7 evtl. dominieren. Man sieht hier sehr leicht, dass z7 bei den Zielen 2 und 3 tatsächlich schlechter als z2 ist. Somit kann z2 entfernt werden! Es verbleiben noch die Vektoren z1 und z3.

Zwischenergebnis (2) z1 z2 (e) z3 z4 (d) z5 (e) z6 (e) Z7 (d) z8 (e) 5
5,5 3 7,5 6,5 7 1 2 13 9 14 4

Beispiel (10) Vektor z1 weist bei den Zielen 2 und 3 jeweils den zweithöchsten Wert auf. Er kann nur von einem Vektor dominiert werden, der bei beiden Zielen mindestens genau so gut ist. Wir nehmen Ziel 2, da dort nur zwei der verbleibenden Vektoren betrachtet werden müssen (z5 und z6). z5 und z1 sind bei jeweils einer Komponente besser, so dass keiner dieser beiden Vektoren den anderen dominiert. Allerdings ist z1 offensichtlich schlechter als z6.

Zwischenergebnis (3) Z1(d) z2 (e) z3 z4 (d) z5 (e) z6 (e) Z7 (d)
8 6 5,5 3 7,5 6,5 7 1 2 13 9 14 4

Beispiel (11) Beim verbleibenden Vektor z3 kann das Maximumprinzip angewendet werden. Generelle Anmerkung: oft sieht man sofort, dass ein Vektor von einem anderen dominiert wird. Dann kann man den dominierten Vektor gleich streichen und so den Arbeitsaufwand reduzieren! Zur Übung wird nochmals das Maximumprinzip angewendet:

Beispiel (12) Ziel 1: wir wählen alle verbliebenen Vektoren aus, die bei den anderen Zielen (Ziel 2 und 3) mindestens gleich gut wie z3 sind: Z1(d) z2 (e) z3 z4 (d) z5 (e) z6 (e) Z7 (d) z8 (e) 5 8 6 5,5 3 7,5 6,5 7 1 2 13 9 14 4

Beispiel (13) Bei den Zielen 2 und 3 ist von den noch nicht gestrichenen Vektoren nur Vektor z6 überall mindestens gleich gut wie z3. Die Bedingung für Ziel 1 ist erfüllt: 6 ist der Maximalwert bei Ziel 1 für die Vektoren, die bei den Zielen 2 und 3 mindestens so gut wie z3 sind (also z3 und z6).

Beispiel (14) Ziel 2: wir wählen alle verbliebenen Vektoren aus, die bei den anderen Zielen (Ziel 1 und 3) mindestens gleich gut wie z3 sind: Z1(d) z2 (e) z3 z4 (d) z5 (e) z6 (e) Z7 (d) z8 (e) 5 8 6 5,5 3 7,5 6,5 7 1 2 13 9 14 4

Beispiel (15) Die passenden Vektoren sind z6, z8 und natürlich z3.
Die Menge der Ziel-2-Werte dieser Vektoren ist {5;6;2}. Der Wert des Vektors z3 , also 5, ist nicht das Maximum dieser Menge. Vektor z6 dominiert z3.

Endergebnis Z1(d) z2 (e) z3 (d) z4 (d) z5 (e) z6 (e) Z7 (d) z8 (e) 5 8
5,5 3 7,5 6,5 7 1 2 13 9 14 4

V.2 Charakterisierung und Bewertung von Realinvestitionsobjekten
Bisher (Kapitel III dieser Übung) wurden Wertpapiere betrachtet, die auf einem Markt gehandelt werden. Dabei wurde ein vollkommener Kapitalmarkt unterstellt. Wir haben gesehen, warum Arbitragefreiheit ein sinnvolles Konzept ist, wie man A‘freiheit überprüft und eventuelle Arbitragemöglichkeiten ausnutzt.

Grundsätzliches (2) Nun wollen wir „Realinvestitionsobjekte“ (RIO) einführen. Diese unterscheiden sich von Wertpapieren durch folgende Punkte: RIOs können nicht leer verkauft werden, d.h. es sind keine negativen Stückzahlen möglich Eventuell bestehen Obergrenzen für das Investitionsvolumen

Bewertungsprinzip (1) Erinnern Sie sich nochmals an die Übung 2:
Wir hatten dort die Vorteilhaftigkeit einer (fiktiven) Investition in ein Grundstück geprüft. Dies geschah durch „Duplikation“: mit Hilfe einer festverzinslichen Anlage konnte für die Zeitpunkte t > 0 ein Zahlungsstrom konstruiert werden, der mit demjenigen des IO übereinstimmte. Dann wurde ein Preisvergleich vorgenommen: Der „Preis“ für den Zahlungsstrom des IOs ist dessen Anfangsauszahlung Das Geld, das angelegt werden muss, um den Zahlungsstrom über eine festverzinsliche Anlage zu duplizieren, ist der „Preis“ der Alternativanlage.

Bewertungsprinzip (2) Ist die Differenz zwischen dem Preis der konstruierten Position und der Anfangsauszahlung des IO (d.h. der Kapitalwert) positiv, dann ist die Durchführung des IO sinnvoll. Bei identischen Soll- und Habenzinsen ist diese Entscheidung unabhängig vom Einkommen des Entscheiders.

Bewertungsprinzip (3) Den gleichen Grundgedanken können wir allgemein für Realinvestitionsobjekte anwenden: Wir duplizieren zunächst die Zahlungsströme Dazu verwenden wir Wertpapiere des Kapitalmarktes Dann vergleichen wir den Preis des Duplikationsportfolios mit der Anfangsauszahlung des IOs. Ist die Differenz, d.h. der Kapitalwert positiv, dann führen wir das Projekt im größtmöglichen Umfang durch. Bei konkurrierenden Projekten mit positiven Kapitalwerten wählen wir das Projekt, das den höchsten Kapitalwert besitzt.

Bewertungsprinzip (4) Die Berechnung eines Duplikationsportfolios kann etwas mühsam sein. Hat man die Diskontierungsfaktoren bereits berechnet, dann genügt es bei arbitragefreien Märkten, die Zahlungen des IOs mit Hilfe der Diskontierungsfaktoren in den Zeitpunkt t = 0 umzurechnen. Den Kapitalwert erhält man, indem man davon dann die Anfangsauszahlung abzieht.

Problem – fehlende Duplizierbarkeit
Bei der praktischen Umsetzung des Verfahrens können einige Probleme auftreten. Problem 1: Das RIO liefert eine Zahlung in einem Zeitpunkt, in dem kein Wertpapier eine Zahlung liefert. Dann ist das RIO nicht duplizierbar. Bei sicheren Zahlungen ist dieses Problem vergleichsweise „harmlos“, es tritt aber häufig in den folgenden Fällen auf: ) lange Laufzeit des RIO, z.B. > 10 Jahre ) fehlende Zwischenzeitpunkte

Definition – „Spanning“
Sei Z = (Z1, Z2,…, ZT) ein Zahlungstrom. Wir sagen, ein Kapitalmarkt besitzt die „Spanning“-Eigenschaft in Bezug auf Z, wenn: die Zahlungen des RIOs durch ein Duplikationsportfolio exakt nachgebildet werden können. Das RIO liefert dann also keine prinzipiell neuen Zahlungen und kann durch Duplikation bewertet werden.

Definition – unvollständiger Kapitalmarkt
Ein Kapitalmarkt ist vollständig, wenn für alle Zeitpunkte, in denen mindestens ein Papier eine Zahlung liefert, ein entsprechender Zero-Bond konstruiert werden kann (sofern nicht bereits einer vorhanden ist). Ansonsten nennt man den Kapitalmarkt unvollständig. Diskontierungsfaktoren können für diese Zeitpunkte dann – und nur dann – eindeutig berechnet werden, wenn der Kapitalmarkt vollständig ist.

Unvollständiger Kapitalmarkt - Beispiel
In den Zeitpunkten t=1, 2, 3 erfolgen Zahlungen, jedoch kann lediglich für t=3 ein Zero-Bond berechnet werden! Preis t=1 t=2 t=3 WP1 100 5 105 WP2 90 50

Vollständigkeit und Spanning (1)
Wichtig: es ist möglich, dass der Kapitalmarkt für den Zahlungsstrom ZRIO eines RIO die Spanning-Eigenschaft besitzt, aber trotzdem unvollständig ist! Wir fügen folgendes RIO zum obigen Kapitalmarkt hinzu: Preis t=1 t=2 t=3 185 35 126

Vollständigkeit und Spanning (1)
Duplikationsportfolio: x1 = 1,2 x2 = 0,88 Für unsere Zwecke (Bewertung der Vorteilhaftigkeit von Investitionsobjekten) reicht die Spanning-Eigenschaft aus.

Problem – das RIO beeinflusst die Diskontierungsfaktoren (1)
Ein positiver Kapitalwert bedeutet per definitionem, dass eine Differenzarbitrage möglich ist. Das IO wird nachgefragt, dass Duplikationsportfolio dagegen verkauft. Dadurch müssten sich die Preise und die Diskontierungsfaktoren anpassen, bis die Arbitragemöglichkeit verschwunden ist.

Definition – „Competitivity“
Wir sagen, der Kapitalmarkt besitze die „Competitivity“-Eigenschaft, wenn die Wahl der Investitionsstrategie nicht die Diskontierungsfaktoren Q beeinflusst. Beurteilung: RIO sind oft klein im Vergleich zum Kapitalmarkt RIO können nicht einfach schnell gekauft und dann wieder verkauft werden, sondern werden zu Produktionszwecken gekauft.

Beispiel Aufgaben 2.8, 2.9, 2.10

V.3 Einbeziehung von Steuern
Steuern wurden bisher nicht berücksichtigt. Dies ist nicht unbedingt realistisch. Hier: Betrachtung einfachster Verhältnisse zur Demonstration der grundsätzlichen Vorgehensweise

Vorgehensweise 1.) Übergang von Vor-Steuer-Zahlungen zu Nach-Steuer-Zahlungen, d.h. Modifikation der Zahlungsströme 2.) Prinzipiell gleiche Vorgehensweise wie bisher: Arbitragefreiheit liegt dann – und nur dann – vor, wenn sich Diskontierungsfaktoren (mit den bekannten Eigenschaften) berechnen lassen.

Steuersystem (1) Wir gehen vom folgendem (stark vereinfachten) Steuersystem aus: Ein konstanter Steuersatz s wird auf Zinserträge aus Anleihen und auf Gewinne aus Realinvestitionsobjekten angewendet Die Zahlungen aus Wertpapieren müssen in Tilgung und Zinszahlung zerlegt werden: Zi,t = Zi,t,Zins + Zi,t,Tilgung

Steuersystem (2) Die Steuer fällt nur auf den Zinsteil an:
Steuer = s*Zi,t,Zins Somit lautet die Zahlung nach Steuern: Znach Steuer = Zi,t,Zins + Zi,t,Tilgung - s*Zi,t,Zins = Zi,t,Zins*(1-s) + Zi,t,Tilgung

Steuersystem (3) Auch bei Realinvestitionsobjekten fällt die Steuer nur für einen Teil der Einzahlungen an: Vom steuerlichen Ertrag werden die steuerlichen Abschreibungen abgezogen. Die Abschreibungsmethode kann eventuell gewählt werden. Schließlich wird der Steuersatz auf den steuerlichen Gewinn angewendet:

Steuersystem (4) Steuerlicher Gewinn: eIO,t – AfAIO,t
Steuer: s*(eIO,t – AfAIO,t) Zahlungen nach Steuern: eIO,t - s*(eIO,t – AfAIO,t)

Berechnung von Diskontierungsfaktoren
Für alle Wertpapiere muss nun gelten: Pi = Q1,nachSt*[Zi,1,Zins*(1-s) + Zi,1,Tilgung] + Q2,nach St*[Zi,2,Zins*(1-s) + Zi,2,Tilgung] + … + QT,nach St*[Zi,T,Zins*(1-s) + Zi,T,Tilgung]

Vergleich der Diskontierungsfaktoren vor und nach Steuern (1)
Wir betrachten folgendes Geschäft: In τ = 0 wird ein Euro bis zum Zeitpunkt τ=t angelegt und mit dem Zinssatz r0,t verzinst: Dann entsteht (vor Steuern) folgender Zahlungsstrom: τ = 0 … τ = t -1 +(1+r0,t)t

Steuern fallen lediglich auf den Zinsertrag an: S*[(1+r0,t)t – 1] Nach Steuern erhält man dann folgende Zahlungen: τ = 0 … τ = t -1 1+ (1-s)[(1+r0,t)t – 1]

Somit muss für den Diskontierungsfaktor Qtnach St gelten: 1 = Qtnach St *[1+ (1-s)[(1+r0,t)t – 1]]  Qtnach St = 1/ [1+ (1-s)[(1+r0,t)t – 1] Setzt man s = 0 (d.h. keine Steuern), dann erhält man wieder den bereits bekannten Diskontierungsfaktor Qt = 1/(1+r0,t)t

Da immer 1+ (1-s)[(1+r0,t)t – 1] ≤ 1+ 1*[(1+r0,t)t – 1] = (1+r0,t)t gilt, muss gelten dass 1/[1+ (1-s)[(1+r0,t)t – 1]] ≥ 1/(1+r0,t)t gelten. Somit ist Qtnach St ≥ Qt

Investitionsentscheidung bei Realinvestitionsobjekten
Anwendung der Diskontierungsfaktoren nach Steuern auf die Zahlungen nach Steuern BW(RIO) = Q1,nach St* [e1 – s*[e1 – AfA1]] + …+ QT,nach St* [eT – s*[eT – AfAT]] Entscheidung (wie üblich) anhand des Kapitalwertes: KW(RIO) = BW(RIO) – a0

Bedeutung investorspezifischer Steuersätze
Der Markt kann für einen Steuersatz (z.B. s = 40%) arbitragefrei sein, für einen anderen jedoch nicht (z.B. s = 30%). Einmütigkeit bezüglich der Investitionsentscheidung liegt nur noch bei Investoren mit gleichem Steuersatz vor. Investoren mit verschiedenen Steuersätzen kommen dagegen u.U. zu unterschiedlichen Entscheidungen

Abschreibungsverfahren
Es gibt verschiedene Methoden, die Abschreibung A über T Perioden zu verteilen: Lineare Abschreibung: at = A/T. Gleichmäßige Verteilung über alle Perioden Degressive Abschreibung: at sinkt im Zeitablauf Spezialfall: arithmetisch degressive Abschreibung at = at-1 – d Spezialfall: digitale Abschreibung: aT = d

Herleitung Formel digitale Abschreibung (1)
Es muss gelten: A = aT+aT-1+…+a1 aT= d, at = at-1 –d aT-1 = d + d, aT-2 = d+d+d, etc… Somit gilt: A = d + (d+d) + (d+d+d)+…+T*d = d*[1+2+…+T] = d*T*(T+1)/2 d = A*2/[T*(T+1)]

Herleitung Formel digitale Abschreibung (2)
Abschreibung im Zeitpunkt T: aT=d = A*2/[T*(T+1)] Abschreibung im Zeitpunkt T-1: aT-1= 2*d Abschreibung im Zeitpunkt T-t, 0≤ t ≤T-1: aT-t = (t+1)*d aτ= (T-τ+1)*d , 1≤τ≤T

Beispiele Aufgaben 2.11 und 2.12

VI. Einführung in die Grundprobleme der Finanzierung - Finanzpläne
Grundprinzip: Gegenüberstellung von Ein- und Auszahlungen im Zeitablauf Charakteristika: Brutto-Prinzip: keine Saldierung von Ein- und Auszahlungen Vollständigkeit: alle Ein- und Auszahlungen müssen erfasst werden Zeitliche Präzision: alle Zahlungen müssen zeitlich exakt erfasst werden

Bestandteile – Finanzvorplan (1), Beispiel
Erfassung aller leistungswirtschaftlichen Zahlungen aus Produktion und Absatz Falls die Summe der Auszahlungen größer als die der Einzahlungen ist:  leistungswirtschaftlicher Kapitalbedarf Beispiel: Aufgabe 3.1

Bestandteile – Finanzvorplan (2)
Gegeben ist folgende Gegenüberstellung von Ein- und Auszahlungen: Einzahlungen Auszahlungen Vorplan: Einzahlungs-überschuss Quartal I 200 340 -140 Quartal II 270 210 +60 Quartal III 480 180 +300 Quartal IV 420 320 +100

Bestandteile – Finanzvorplan (3)
Entsteht ein leistungswirtschaftlicher Kapitalbedarf, so muss dieser durch finanzielle Transaktionen gedeckt werden Hierdurch kann wiederum ein finanzwirtschaftlicher Kapitalbedarf entstehen: Die aufgenommenen Mittel ziehen später Tilgungs- und Zinszahlungen nach sich

Beispiel – Fortsetzung (1)
„Das Management entscheidet, genau einmal einen Kapitalbetrag in Höhe von 140 Geldeinheiten aufzunehmen, den aufgenommenen Betrag einschließlich der Zinsen auf einmal möglichst schnell zurückzubezahlen und sonst keine weiteren Kapitalmarkttransaktionen durchzuführen“

Anmerkung – stetige Verzinsung (1)
„ρ = 5 % pro Jahr, stetige Verzinsung“ Verzinsung von einem Euro von t bis T zum Zinssatz ρt,T Endwert: 1*exp([T-t]* ρt,T) Hier: flache Zinsstruktur  ρt,T = ρ = 5% (konstant)

Anmerkung – stetige Verzinsung (2)
Verzinsung von einem Euro über ein Jahr: Endwert: 1*exp(1*0,05) ≈ 1,0513 Verzinsung von einem Euro über ein halbes Jahr Endwert: 1*exp(0,5*0,05) ≈ 1,0253 … über ein dreiviertel Jahr Endwert: 1*exp(0,75*0,05) ≈ 1,0382

Vorplan Finanzmarkt Verbindlichkeiten Quartal EÜ FM-zufluss FM-Abfluss FM-Zufluss (netto) ZM-Bestand Vor Rück-zahlung Nach Rück-zahlung I -140 +140 140 II 60 +60 141,76 III 300 143,54 -143,54 ,54 = 216,46 IV 100 316,46

Teilaufgabe b): „Das Management entscheidet sich nun, den Kapitalmarkt derart zu nutzen, dass während des Jahres ein Zahlungsmittelbestand in Höhe von null vorliegt. Zum Ende des Jahres wird die Kapitalmarktposition liquidiert. Ermitteln Sie den Zahlungsmittelbestand am Ende des Jahres mit Hilfe eines Finanzplans!“

Vorplan Finanzmarkt Verbindlichkeiten Quartal EÜ FM-zufluss FM-Abfluss FM-Zufluss (netto) ZM-Bestand Vor Rück-zahlung Nach Rück-zahlung I -140 +140 140 II 60 +0 -60 +141,76 +81,76 III 300 -300 +82,79 -217,21 IV 100 +100 -100 -219,94 -319,94

Anmerkung - Zeitpunkte
Die Einträge in den Spalten entsprechen jeweils den Werten des Quartalsbeginns Erste Zeile: 1. Januar Zweite Zeile: 1. April Dritte Zeile: 1. Juli Vierte Zeile: 1. Oktober

Kapitalmarktposition zu Beginn des 4. Quartals: Forderungen in Höhe von 319,94 Geldeinheiten Am Ende des 4. Quartals beträgt der Wert der Forderungen (wegen der Verzinsung): 319,94*exp(0,25*0,05)≈323,96 Nach Liquidation der Kapitalmarktposition erhält man dann einen Zahlungsmittelbestand in gleicher Höhe.

Bei Teilaufgabe b) resultiert am Ende ein höherer Zahlungsmittelbestand als in Teilaufgabe a), obwohl der Vorplan identisch ist Grund: Wird ein positiver Kassenbestand gehalten, dann entstehen Zinskosten Der Betrag hätte zur Tilgung von Verbindlichkeiten verwendet oder angelegt werden können

VII. Simultane Investitions- und Finanzplanung
Simultane Bestimmung der durchzuführenden Investitionsobjekte (IO) der Finanzierungsobjekte (FO) Problem: Maximiere das Endvermögen des Unternehmens …durch Wahl von geeigneten Investitions- und Finanzierungsobjekten … unter der Nebenbedingung, dass jederzeit die Zahlungsfähigkeit aufrecht erhalten wird

Dean-Modell (1) Lösungsvorschlag von Dean:
Berechne für alle IO und FO die internen Zinsfüße Ordne die IO absteigend nach ihrem internen Zinsfuß Ordne die FO aufsteigend nach ihrem internen Zinsfuß Graphische Darstellung: X-Achse: Volumen Y-Achse: interner Zinsfuß

Einschub: interne Zinsfüße und Kapitalwert im Ein-Perioden-Modell (1)
Wir betrachten nur eine Periode. r soll den Zinssatz bezeichnen. Gegeben sei weiter ein einfaches IO mit einer Auszahlung in Höhe von a0 in t=0 und einer Einzahlung in Höhe von e1 in t=1. Der Kapitalwert beträgt dann: KW(IO) = -a0 + e1/(1+r)

Unterstellen wir weiter, dass das IO beliebig teilbar ist, dann können wir den Kapitalwert des IO berechnen, wenn wir in t=0 genau einen Euro investieren (â0 = 1, ê1=e1/a0): Der Kapitalwert beträgt dann: KW(IO)1€ = -1 + (e1/a0)*1/(1+r)

Betrachtet man den internen Zinsfuss des IOs, dann muss gelten: 0=-a0 +e1/(1+rint)  a0/e1= 1/(1+rint)  e1/a0 = (1+rint)  e1/a0 -1 = rint Anmerkung: der interne Zinsfuss ist unabhängig davon, in welchem Umfang das IO durchgeführt wird

Betrachtet man erneut den Kapitalwert des Projektes (mit Anfangszahlung â0=1), so kann man diesen unter Verwendung des internen Zinsfusses schreiben: KW(IO)1€ = -1 + (e1/a0)*1/(1+r) = -(1+r)/(1+r) + (e1/a0)*1/(1+r) = (e1/a0-1)*1/(1+r) – r/(1+r) = rint*/(1+r) –r/(1+r) =(rint-r)/(1+r)

Vergleicht man nun die Kapitalwerte zweier IOs, die jeweils eine Anfangsauszahlung von 1 € erfordern, so sieht man: KW(IO1)1€ > KW(IO2)1€  (rint,IO1-r)/(1+r) >(rint,IO2-r)/(1+r)  (rint,IO1-r) > (rint,IO2-r)  rint,IO1 > rint,IO2

Normiert man in einem Ein-Perioden-Modell zwei IOs, so dass sie eine Anfangsauszahlung von einem Euro erfordern, so ist also die Entscheidung anhand des Kapitalwertkriteriums äquivalent zur Entscheidung anhand des internen Zinsfusses. Anmerkung: im Mehr-Perioden-Fall gilt diese Aussage nicht!

Finanzierungsobjekte und interner Zinsfuß im Einperiodenmodell (1)
Finanzierungsobjekte liefern in t=0 eine Einzahlung e0 und erfordern in t=1 eine Auszahlung a1 Der Kapitalwert beträgt dann: KWFO= +e0-a1/(1+r) Der interne Zinsfuß lautet: 0 = +e0 - a1/(1+rint)  a1/e0 – 1 = rint

Der Kapitalwert unter Verwendung des internen Zinsfußes: KWFO= +e0-a1/(1+r) = e0*(1+r)/(1+r) –a1/(1+r) = e0*r/(1+r) –[a1-e0]/(1+r) = e0*r/(1+r) –e0*[a1-e0]/e0(1+r) =e0*r/(1+r) –e0*rint/(1+r) =e0/(1+r)*[r - rint]

Normiert man die Anfangsauszahlung auf einen Euro, so ist: KWFO,1€ =1/(1+r)*[r - rint] Noch einmal der Kapitalwert des normierten IOs zum Vergleich: KWIO,1€= 1/(1+r)*(rint-r)

Während also (bei normierten Zahlungen in t=0 und im Ein-Perioden-Modell) der Kapitalwert eines IO um so größer ist, je größer der interne Zinsfuß ist,… …gilt für Finanzierungsobjekte, dass der Kapitalwert umso größer ist, je kleiner der interne Zinsfuß ist.

Grundidee Kombination:
Beste Investitionsobjekte (möglichst großer interner Zinsfuß) + beste Finanzierungsobjekte (möglichst geringer interner Zinsfuß)

Beispiel Zur Verdeutlichung: Aufgabe 4.2

Beispiel - Investitionsobjekte
Gegeben sind folgende Investitionsobjekte: Einzahlungsüberschuss t=0 t=1 IO1 -50 52 IO2 -200 220 IO3 -100 135 Kapitalanlage -x, x beliebig x*(1+0,05)

Beispiel – Renditeberechnung Investitionsobjekte
Die Renditen der Investitionsobjekte betragen: IO1: rIO1= (52-50)/50 = 0,04 = 4% IO2: rIO2 = ( )/200 = 0,1 = 10% IO3: rIO3 = ( )/100 = 0,35 = 35% Kapitalanlage: rAnlage = rHaben = 5%

Beispiel – Anordnung der Investitionsobjekte nach fallender Rendite
Die Renditen und Volumen der Investitionsobjekte (IO1 ist irrelevant, da rIO1 < rHaben): Volumen Rendite IO3 100 35% IO2 200 10% Anlage beliebig 5%

Graphische Darstellung von Renditen und Volumen der IO
35% IO2 10% Anlage 5% Volumen 100 300

Beispiel – Finanzierungsobjekte (1)
Gegebene Informationen: Einkommen: t=0: y0 = 400 t=1: y1 = 100 Konsum in t=0: c0 = 200 In t=0 frei verfügbares Einkommen: y0 – c0 = 400 – 200 = 200 Soll-Zinssatz: iS= 25%

Beispiel – Finanzierungsobjekte (1)
Somit ergeben sich folgende Finanzierungsobjekte: Zahlungen t=0 t=1 Eigenkapital +200 Fremdkapital +x, x beliebig -x*(1+0,25)

Beispiel - Renditeberechnung Finanzierungsobjekte
Eigenkapital: rEK = (0 – 200)/200 = -1 = -100% Fremdkapital: rFK = (x*1,25 – x)/x = (1,25-1)/1 = 25%= rSoll

Beispiel – Anordnung der Finanzierungsobjekte nach steigender Rendite
Volumen Rendite Eigenkapital 200 -100% Fremdkapital beliebig +25%

Graphische Darstellung: Renditen und Volumen der IO und FO
35% Aufnahme (FK) 25% Optimales Investitionsbudget IO2 10% Anlage 5% Volumen 100 200 300 EK -100%

Sicherstellung der Zahlungsfähigkeit im Einperiodenmodell
In t=0: Per Konstruktion entspricht das Investitionsvolumen dem Finanzierungsvolumen In t=1: Maximierung des Endwertes der Unternehmung Nullalternative: nichts tun  keine Zahlungsströme, Endwert = 0

Probleme bei der Übertragung auf mehrere Perioden
Es gibt keinen entsprechenden Zusammenhang zwischen internem Zinssatz und dem Kapitalwert mehr Dies ist schon alleine deshalb nicht mehr der Fall, weil es nun zwei interne Zinssätze geben kann Sicherstellung der Zahlungsfähigkeit ist nicht mehr gewährleistet!

Probleme bei der Übertragung auf mehrere Perioden - Beispiele
Aufgabe 4.1

VIII. Die Fisher-Separation
Unter den Bedingungen eines perfekten Kapitalmarktes… iHaben = iSoll = i Keine Transaktionskosten, Steuern Keine Mengenbeschränkungen, insbesondere keine Leerverkaufsrestriktionen Preise und Zahlungen sind für alle identisch und gegeben …haben persönliche Parameter Persönliches Einkommen Konsumpräferenzen im Zeitablauf …keinen Einfluss auf die optimale Investitionsentscheidung

Für alle Investoren ist der Kapitalwert das relevante Entscheidungskriterium Da die Zinsen für alle übereinstimmen und keine Steuern oder Transaktionskosten anfallen, sind die Diskontierungsfaktoren identisch Somit ist auch der Kapitalwert für alle Investoren identisch  identische Investitionsentscheidung

Einkommen Gegeben seien die Zeitpunkte t =0,…,T…
mit einem exogen gegebenen Arbeitseinkommen yt für jedes t …sowie jeweils ein Zinssatz r0,t, zu dem beliebig viel Geld angelegt werden kann, und zu dem so viel Geld aufgenommen werden kann, wie man später (mit Zinsen) wieder zurückzahlen kann Zusätzlich sollen Realinvestitionsobjekte in t=0 getätigt werden können, die dann später Zahlungen liefern

Konsum (1) Im allgemeinen wird die Verteilung des Konsums im Zeitablauf nicht mit dem Einkommen übereinstimmen In einigen Zeitpunkten wird man nicht das gesamte Einkommen konsumieren wollen, so dass ein Rest verbleibt, den man sparen kann bzw. zur Tilgung von Schulden verwenden kann. In anderen Zeitpunkten dagegen möchte man mehr konsumieren, als man in diesem Zeitpunkt durch eigenes Einkommen zur Verfügung hat. Dann wird man Ersparnisse auflösen oder Schulden aufnehmen

Konsum (2) Beispiel: Im Arbeitsleben hat man ein eigenes Arbeitseinkommen Im Alter hat man dagegen kein eigenes Einkommen Deshalb macht es Sinn, während der Zeit der Erwerbstätigkeit Ersparnisse zu bilden und diese dann später aufzulösen

Zwei Schritte (1) Stimmen Haben- und Sollzinsen überein, und gibt es keine Transaktionskosten, Steuern etc., dann herrscht in einem gewissen Sinne „Reibungslosigkeit“ Dann lässt sich die Gesamtentscheidung – gedanklich - in eine „Volumen“-Komponente und in eine „Struktur“-Komponente zerlegen

Zwei Schritte (2) „Volumen“-Komponente: „Struktur“-Komponente:
Maximiere den in t=0 zur Verfügung stehenden Betrag. Natürlich könnte man auch jeden anderen Zeitpunkt verwenden „Struktur“-Komponente: Verteile anschließend diese zur Verfügung stehende „Masse“ gemäß den eigenen Konsumpräferenzen auf die verschiedenen Zeitpunkte Natürlich macht diese Trennung gedanklich nur dann Sinn, wenn keine Reibungsverluste entstehen

Beispiel (1) Gegeben seien die Zeitpunkte t=0,…,4
Realinvestitionsobjekte sollen nicht zur Verfügung stehen Der Zinssatz betrage 5% (flache Zinsstruktur) Der Entscheider verfüge über das folgendes Arbeitseinkommen (nicht beeinflussbar): t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 yt 50 100 120 130

Beispiel (2) In t=0 maximal zur Verfügung stehender Betrag:
C0,max = /1, /1,05² /1,05³ + 0/1,054 ≈ 366,38 Interpretation: wir nehmen für jede Laufzeit einen Kredit auf, dessen Rückzahlungsbetrag (einschließlich Zinsen) gerade dem Arbeitseinkommen yt entspricht. Beispiel: nimmt man in t=0 einen Kredit mit Laufzeit bis t=2 in Höhe von 108,84 ≈ 120/1,052 Geldeinheiten auf, dann müssen in t=2 108,84*1,052 ≈ (120/1,052)*1,052 = 120 Geldeinheiten zurückgezahlt werden. Per Saldo bliebe in t=2 also nichts übrig: 120 Geldeinheiten Arbeitseinkommen würden zur Tilgung des Kredits verwendet.

Beispiel (3) Im zweiten (gedanklichen) Schritt wird das „Budget“ in t=0 gemäß den eigenen Vorstellungen auf die 5 Zeitpunkte verteilt. Welche Verteilung bevorzugt wird ist natürlich subjektiv! Der Entscheider in unserem Beispiel soll es als optimal erachten, in allen Zeitpunkten gleich viel zu konsumieren.

Beispiel (4) Der Barwert des Zahlungsstroms Zt = c, c konstant für t=0,…4, muss also gleich 366,38 Geldeinheiten sein. Definiert man q := 1/(1+r) = 1/1,05, dann muss gelten: BW = 366,38 = c + c*q + c*q2 + c*q3 + c*q4 = c*[1+q+q2+q3+q4] = c*[q5-1]/[q-1]  c = BW*[q-1]/[q5-1] ≈ 80,59

Realinvestitionsobjekte (1)
Jetzt fügen wir Realinvestitionsobjekte hinzu Dabei ist jeweils zu überlegen, ob die Durchführung sinnvoll ist Gegeben sei ein Realinvestitionsobjekt mit Anfangsauszahlung a0 und Nettoeinzahlungen et-at in den Zeitpunkten t=1,…,4

Realinvestitionsobjekte (2)
Auch hier können wir wieder durch geeignete Kreditaufnahme die zukünftigen Zahlungsströme et-at in den Zeitpunkt t=0 befördern. Man erhält dann als Auszahlungsbetrag: AB0 = (e1-a1)/(1+r0,1)+(e2-a2)/(1+r0,2)2 +…+(eT-aT)/(1+r0,T)T Offensichtlich macht das RIO dann – und nur dann – Sinn, wenn dieser Betrag größer ist, als die Anfangsauszahlungen des RIO, a0. Dies ist nichts anderes, als das bereits bekannte Kapitalwertkriterium

Separation Die Höhe des Arbeitseinkommens yt hat zwar einen Einfluss auf die gesamte zu verteilende „Masse“, nicht aber auf die Vorteilhaftigkeit eines RIOs Die Konsumpräferenzen im Zeitablauf legen lediglich fest, wie eine gegebene „Masse“ zu verteilen ist, beeinflussen jedoch nicht deren Größe in t=0.

VIII. Fragen/Wiederholungen

VIII.1 Approximation der Zinsstrukturkurve – Motivation (1)
Problemstellung: Auf einem arbitragefreien Kapitalmarkt müsste für alle Wertpapiere i, i=1,…,n, gelten: Pi = Q1Z1i + …+QTZt,i Für eine eindeutige Berechnung aller Diskontierungsfaktoren Qt sind mindestens T Wertpapiere notwendig.

Motivation (2) Sind mehr als T Papiere vorhanden, ist also n > T, dann können aus T beliebigen (linear unabhängigen) Papieren die Diskontierungsfaktoren berechnet werden. Für die verbleibenden n-T Papiere muss der oben beschriebene theoretische Zusammenhang zwischen Preisen, Zahlungen und Diskontierungsfaktoren exakt erfüllt sein.

Situation in der Praxis (1)
Oft hat man n> T Papiere… … kann aus T Papieren Diskontierungsfaktoren errechnen (mit 1≥Q1≥...≥QT>0),… … die aber auf die restlichen n-T Papiere nicht genau passen

In der Theorie könnte man dann eine Differenzarbitrage konstruieren und beliebig reich werden In der Praxis kann jedoch aufgrund von Transaktionskosten, Rundungsfehlern etc. de facto aus dieser Differenz kein Gewinn gezogen werden, so lange sie nicht zu groß ist.

Zur Bewertung von Realinvestitionsobjekten (oder z.B. für wirtschaftspolitische Zwecke) ist die Zinsstrukturkurve dennoch von Interesse Auf Basis welcher Diskontierungsfaktoren soll die Zinsstruktur nun berechnet werden?

Beispiel (1) – Skriptum, S. 53
Preis t=1 t=2 WP1 90 100 WP2 110 10 WP3 190

Beispiel (2) Offensichtlich gibt es keine Diskontierungsfaktoren, die zu allen Papieren passen: Basierend auf WP1,WP2: Q1=1,1 Q2 = 0,9, P3,theor= 200 Basierend auf WP1,WP3: Q1= Q2 = 0,9 P2,theor= 109 Basierend auf WP2,WP3: Q1=0,99 Q2 = 0,91, P1,theor = 91.

Beispiel (3) Es gibt also kein Paar von Diskontierungsfaktoren (Q1,Q2), für das der theoretische Preis Pi,theor. mit dem empirisch beobachtbaren Preis Pi,empir. übereinstimmt. Es ergibt sich somit für jeden Vektor Q=(Q1,Q2) ein Vektor mit Differenzen: Diff(i) = Pi,empir. – Pi,theor.

Beispiel (4) Zur Verdeutlichung: Q1=1,1 Q2=0,9 Q1=1 Q2=0,9
Diff(1) 90 – 91 = -1 Diff(2) 110 – 109 = +1 Diff(3) = -10

Ansatz: „Minimierung“ der Differenzen (1)
Es soll Diff(Q) den Vektor der Differenzen in Abhängigkeit des Vektors der Diskontierungsfaktoren Q bezeichnen Für verschiedene Vektoren Q sind die Komponenten von Diff(Q) unterschiedlich groß Wir wollen jetzt den Vektor Diff(Q) durch geeignete Wahl von Q minimieren

Ansatz: „Minimierung“ der Differenzen (2)
Hier taucht wieder das Problem der Vektoreffizienz auf: Ist der Vektor DiffA=(0;0;10) „größer“ als DiffB = (0;1;0)? Die Beantwortung setzt eine Gewichtung der Differenzen voraus!

Beispiel (4) Hier wählen wir die Summe der quadrierten Differenzen als Maß für den Fehler aus: Q1=1,1 Q2=0,9 Q1=1 Q2=0,9 Q1=0,99 Q2=0,91 Diff(1) 90 – 91 = -1 Diff(2) 110 – 109 = +1 Diff(3) = -10 Summe der quadrierten Differenzen 0² + 0² + (-10)² = 100 0² + 1² + 0² = 1 (-1)² + 0² + 0² = 1

Beispiel (5) In diesem Sinne wäre also die Differenz zwischen theoretischem und empirisch beobachtetem Preis für QA = (1,1; 0,9) am größten, während für QB=(1;0,9) und QC=(0,99;0,91) der Abstand genau gleich groß wäre.

Minimierungsansatz (1)
Wir können jetzt folgendes Minimierungsproblem formulieren: MinQ=(Q1,…,QT) (P1empir-P1theor)² +…+ (Pnempir-Pntheor)² ! Nebenbedingung: Pitheor = Q1Z1i + …+QTZt,i für i=1,…,n

Minimierungsansatz (2)
In die Zielfunktion, (P1empir-P1theor)² +…+ (Pnempir-Pntheor)² , lassen sich die Nebenbedingungen gleich einsetzen. Man erhält dann: (P1empir-[Q1Z11 + …+QTZt,1 ])² +…+ (Pnempir-[Q1Z1n + …+QTZT,n ])²

Lösung (1) Technisch stellt diese Aufgabe kein großes Problem dar:
Die Zielfunktion muss nach allen Faktoren Qt abgeleitet werden. Alle Ableitungen müssen dann = 0 gesetzt werden. Dies sind notwendige (und hier hinreichende) Bedingungen für ein Minimum

Lösung (2) Dann erhält man ein lineares Gleichungssystem mit T Gleichungen und T Unbekannten. Dieses lässt sich nach den optimalen Diskontierungsfaktoren auflösen

Beispiel (6) Im Beispiel lautet die Zielfunktion:
(90 –[Q1*0 + Q2*100])² + (110 –[Q1*10 + Q2*110])² + (190 –[Q1*100 + Q2*100])² Ableitung nach Q1: 2*(90 –[Q1*0 + Q2*100])*0 + 2*(110 –[Q1*10 + Q2*110])*(-10) +2*(190 –[Q1*100 + Q2*100])*(-100) = 0 (notw. Bedingung für ein Minimum)

Beispiel (7) Als nächstes müssen alle Terme mit Q1 und Q2 sowie die Terme ohne Variablen zusammengefasst werden: + 110*(-10) –Q1*10*(-10) - Q2*110*(-10) +190*(-100) –Q1*100*(-100) - Q2*100*(-100) = 110*(-10) + 190*(-100) + Q1*[10* *100] + Q2*[110* *100]

Beispiel (8) = -20.100 + Q1*10.100 + Q2* 11.100 = 0 Ableitung nach Q2:
=0

Beispiel (9) Zusammenfassen (nach Division durch 2) ergibt:
90*(-100) *(-110) + 190*(-100) +Q1*[0 + 10* *100] +Q2*[100* * *100] = Q1* Q2*32.100 = 0

Beispiel (10) Somit ergeben sich zwei lineare Gleichungen:
Q1* Q2* = 0 (I) Q1* Q2* = 0 (II)

Beispiel (11) Auflösen ergibt: Q1 = 0,9955223 ≈ 0,9955
Berechnung der Spotzinssätze: r0,t = (1/Qt)1/t -1 r0,1= 1/0,9955 – 1 ≈ 4,52 % r0,2 = (1/0,9050)0,5 – 1 ≈ 5,12%

VIII.2 Überprüfung auf Arbitragefreiheit bei n > T Wertpapieren
Beispiel: Aufgabe 3.2 (Aufgabensammlung zur Vorlesung). Gegeben ist erneut folgender Wertpapiermarkt: Preis t=1 t=2 WP1 90 100 WP2 110 10 WP3 190

Aufgabenstellung/Problem (1)
Konstruieren sie Arbitragen! Problem: wir haben „zu viele“ Wertpapiere – was soll man machen? Bisher hatten wir immer folgende Situation: T Zeitpunkte (z.B. T=2) T Wertpapiere Daraus lassen sich T Gleichungen mit T Diskontierungsfaktoren aufstellen

Problem (2) Ansatz: Bei Arbitragefreiheit muss Pi = Q1Z1i + …+QTZt,i für alle Wertpapiere gelten! Lösungsvorschlag: Wähle T Wertpapiere (beliebig) aus und berechne die Diskontierungsfaktoren QT Fallunterscheidung

Fallunterscheidung (1)
2.a) Die berechneten Diskontierungsfaktoren verletzen die Bedingung 1≥Q1≥...≥QT>0 an mindestens einer Stelle. Dann kann mit Hilfe dieser zufällig gewählten T Wertpapiere bereits eine Arbitrage konstruiert werden. Da wir dann bereits beliebig reich werden können, brauchen wir uns um die n-T anderen Wertpapiere nicht mehr zu kümmern!

Beispiel (1) In der Aufgabe aus dem Skript tritt dieser Fall ein, wenn wir zur Berechnung der Diskontierungsfaktoren die ersten beiden Papiere verwenden: Preis t=1 t=2 WP1 90 100 WP2 110 10

Beispiel (2) Q2 = 0,9 Q1 = 1/10*[110 – 110*Q2] = 1/10*[110 – 110*0,9] = 1,1 Somit ist also Q1 > 1, und wir können eine Arbitrage unter Verwendung der Kassenhaltung konstruieren. Vgl. u.a. Aufgabe 2.3 !

Einschub – Diskontierungsfaktoren und Arbitragen (1)
Wichtig: Woran erkennt man, wie man die Kassenhaltung zur Konstruktion einer Arbitrage korrekt verwendet?

Es gibt zwei wesentliche Verletzungen der Bedingung 1≥Q1≥...≥QT>0: 1.) Es gibt einen Diskontierungsfaktor Qt , der größer als 1 ist. Dann läßt sich mit einer Kassenhaltung von 0 bis t eine Arbitrage konstruieren! Ökon. Begründung: der Spotzinssatz r0,t = (1/Qt)1/t -1 ist in diesem Falle negativ, so dass die Kassenhaltung in diesem Fall besser ist!

2.) Es gibt zwei Diskontierungsfaktoren Qt1 und Qt2, wobei t1 < t2 ist, für die jedoch Qt2 > Qt1 ist. Beispiel: Q4 > Q3 Dann wird Kassenhaltung von t1 bis t2 betrieben! Ökon. Begründung: der Terminzinssatz 0rt1,t2 ist negativ. (Zur Herleitung vgl. Aufgabe 2.6!) Auch in diesem Fall ist die Kassenhaltung eine bessere Strategie als die Anlage (per Termin) zu einem negativen Zinssatz!

2b) Die aus den T Papieren berechneten Diskontierungsfaktoren erfüllen die Bedingung 1≥Q1≥...≥QT>0 Dann kann, im Unterschied zu Fall 2a), definitiv keine Arbitrage konstruiert werden, wenn man nur diese T Wertpapiere verwendet!

Dann ist eine zweite Fallunterscheidung notwendig. Dazu berechnen wir, ausgehend von den bereits berechneten Diskontierungsfaktoren, für die restlichen n-T Papiere die theoretischen Preise a) Für alle n-T verbleibenden Papiere stimmt der theoretisch Preis mit dem tatsächlichen Preis überein. Dann ist der Markt arbitragefrei, und die korrekte Antwort auf die Aufgabe ist, dass eine Konstruktion von Arbitragen nicht möglich ist!

b) Es gibt mindestens ein Papier, für das Ptheor ≠ Pempir. Wähle von den Papieren, bei denen der tatsächliche Preis nicht mit dem theoretischen übereinstimmt, ein beliebiges aus. Dupliziere den Zahlungsstrom dieses Papiers durch die ersten T Wertpapiere.

Berechne den Preis des Duplikationsportfolios A) PDupl < PPapier . Kaufe das Duplikationsportfolio, verkaufe das Papier. Es resultiert eine Arbitrage in Höhe von PPapier - PDupl >0. B) PDupl > PPapier . Umgekehrte Vorgehensweise: verkaufe das Duplikationsportfolio, kaufe das Papier.

Beispiel (1) Zur Verdeutlichung modifizieren wir die Preise des obigen Beispiels, und berechnen aus WP1 und WP2 die Diskontierungsfaktoren: Preis t=1 t=2 WP1 90 100 WP2 108,5 10 110 WP3 186

Beispiel (2) Als Diskontierungsfaktoren erhält man Q1 = 0,95 und Q2 = 0,9 Mit den Papieren 1 und 2 kann somit noch keine Arbitrage konstruiert werden! Dupliziere Papier 3 durch die Papiere 1 und 2!

Beispiel (3) t=1: x1*0 + x2*10 = 100 (d.h. Zahlung von WP3 in t=1) t=2: x1*100 + x2*110 = 100 (d.h. Zahlung von WP3 in t=2) Aus der ersten Bedingung sieht man, dass x2 = 10 gelten muss. x1 = 1/100*[100 - x2*110] = 1/100*[ *110] = -1000/100 = -10

Beispiel (4) Lösung: kaufe 10 Stück von WP2, verkaufe 10 Stück von WP1! Preis des Duplikationsportfolios: x1*P1 + x2*P2 = -10* *108,5 = 185 Somit ist der Preis von WP3, P3 = 186, zu hoch und der Markt nicht arbitragefrei! Verkaufe WP3, kaufe das Duplikationsportfolio!

Beispiel (5) Zahlungsströme: t=0 t=1 t=2 Verkaufe WP1 +186 -100
Kaufe Dupl.Pf -185 +100 Saldo (Diff.arbitrage) +1

VIII.3 Beispiel zur Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer bei unendlichen Investitionsketten
Gegeben sei eine flache Zinsstrukturkurve mit r=5% und folgendes Investitionsobjekt: t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 et-at -350 +100 +90 +80 +70 +60

Aufgabenstellung Ein Liquidationserlös kann nicht erzielt werden.
Bestimmen Sie die optimale Nutzungsdauer für eine unendliche Investitionskette, deren Kettenglieder alle aus dem obigen IO bestehen sollen! Mögliche Nutzungsdauern sind n=0 (Projekt wird nicht durchgeführt), n=1,…, n=5

Ansatz (1) Kriterium: wähle n so, dass der Kapitalwert maximal wird!
Problem: Der Kapitalwert weist jetzt nicht mehr nur endlich viele Summanden auf, sondern unendlich viele! Lösung: über die geometrische Reihe lässt sich bei flacher ZS ein geschlossener Ausdruck für den Kapitalwert berechnen

Ansatz (2) Diese Berechnung wird für alle n durchgeführt.
Wähle dann dasjenige n, das den Kapitalwert der gesamten Kette maximiert!

Kapitalwertberechnung (1)
Beispielhaft verwenden wir n=3 und leiten die Formel für den Kapitalwert her. Dazu muss, wie bei jeder Kapitalwertberechnung, zunächst der Zahlungsstrom des (gesamten) IOs bestimmt werden

Zahlungsstrom Für n=3 resultieren folgende Zahlungen: t=0 t=1 t=2 t=3
Glied t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6 t=7 t=8 t=9 1 -350 +100 +90 +80 2 3 4 Ges. -270

Diskontierung des Zahlungsstromes (1)
Wie üblich werden alle Zahlungen abgezinst. Dabei ist es hilfreich, die Kettenglieder zunächst alle einzeln abzuzinsen, und danach die Ergebnisse aufzuaddieren!

Kettenglied Erste Zahlung Letzte Zahlung Kapitalwert 1 t=0 t=3 /1, /1,052+80/1,053 2 t=6 -350/1, /1, /1,055+80/1,056 3 t=9 -350/1, /1, /1,058+80/1,059 4 t=12 -350/1, /1, /1, /1,0512 5 t=15 -350/1, /1, /1, /1,0515

Betrachtet man die letzte Spalte mit den Kapitalwerten in der obigen Tabelle, dann erkennt man, dass sich der Kapitalwert des k-ten Kettengliedes als Produkt schreiben lässt: KWk(r,n) = KW0(r,n)*Faktor Dabei ist KW0(r,n) der Kapitalwert des ersten Kettengliedes

Kettenglied Kapitalwert 1 /1, /1,052+80/1,053 2 -350/1, /1, /1,055+80/1,056 =1/1,053*[ /1, /1,052+80/1,053] 3 -350/1, /1, /1,058+80/1,059 =1/1,056*[ /1, /1,052+80/1,053] 4 -350/1, /1, /1, /1,0512 =1/1,059*[ /1, /1,052+80/1,053] 5 -350/1, /1, /1, /1,0515 =1/1,0512*[ /1, /1,052+80/1,053]

Kettenglied Kapitalwert 1 KW0 2 1/1,053* KW0 3 1/1,056* KW0 4 1/1,059* KW0 5 1/1,0512* KW0

Der Faktor ist also (1/(1+r))l(k), und es muss noch l(k) bestimmt werden. Hier erhält man 3*(k-1), wobei k das k-te Kettenglied ist. k=1: (1/(1+r))3*(1-1) = 1 k=2: (1/(1+r))3*(2-1) = 1/(1+r)3 k=3: (1/(1+r))3*(3-1) = 1/(1+r)6 etc. Für allgemeines n: 1/(1+r)n*(k-1)

Schließlich muss der gesamte Kapitalwert berechnet werden, in dem die Einzelkapitalwerte aufsummiert werden: KWGesamt(r,n) = KW0 * 1/(1+r)n*(1-1) + KW0 * 1/(1+r)n*(2-1) + KW0 * 1/(1+r)n*(3-1) + KW0 * 1/(1+r)n*(4-1) +… =KW0*[1 + 1/(1+r)n*1+ 1/(1+r)n*2+ 1/(1+r)n*3 + 1/(1+r)n*4 +…] = KW0*[1 + [1/(1+r)n]1+ [1/(1+r)n]2+ [1/(1+r)n]3 +…]

Definiert man zur Abkürzung q(n):= 1/(1+r)n, so gilt: KWGesamt(n,r) = KW0*[1+q(n) + q(n)2+ q(n)3 + q(n)4 +…] = 1/(1-q(n))*KW0 Im letzten Schritt wurde die übliche Formel für die Berechnung einer unendlichen geometrischen Reihe verwendet.

Schreibt man statt q(n) wieder 1/(1+r)n , so erhält man: KWgesamt(n,r) = 1/[1- 1/(1+r)n]* KW0 = (1+r)n/[(1+r)n-1]*KW0

Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer
Berechne für alle n den Kapitalwert KW0(n) Berechne für alle n den Faktor (1+r)n/[(1+r)n-1]* Multipliziere jeweils die Ergebnisse Wähle dasjenige n, welches das Produkt maximiert!

Konkrete Berechnung (1)
Berechnet werden müssen für n=0,…,5 alle Kapitalwerte KW0(n,r=5%): n KW0(n,r=5%) 1 /(1,05) ≈ -254,76 2 /(1,05)+90/(1,05)2≈ -173,13 3 /(1,05)+90/(1,05)2+ 80/(1,05)3≈ -104,02 4 /(1,05)+90/(1,05)2+ 80/(1,05)3+ 70/(1,05)4≈-46,43 5 /(1,05)+90/(1,05)2+ 80/(1,05)3+ 70/(1,05)4 +60/1,055≈+0,58

Konkrete Berechnung (2)
Anmerkung: Ein positiver Kapitalwert resultiert nur für n=5. Da KWGesamt(n,r)=(1+r)n/[(1+r)n-1]*KW0(n,r) für r >0 genau dann positiv ist, wenn KW0(n,r) positiv ist, ist n=5 hier die optimale Nutzungsdauer.

VIII.4 Klassische Investitionsrechnung - Annuitätenmethode
Aufgabe 2.2 (Aufgabensammlung von Prof. Nietert): Gegeben: r=10%, folgende Zahlungsströme t=0 t=1 t=2 t=3 IO1 -100 70 40 IO2 20 90 50

Aufgabenstellung Vergleichen Sie beide Investitionsobjekte anhand der Annuitätenmethode!

Vorgehensweise (1) Grundidee:
Entnehme bei beiden IO einen konstanten Betrag von t=1 bis t=T Dabei soll nach Beendigung des Projektes weder eine Forderung, noch eine Verbindlichkeit übrig bleiben. Vorzuziehen ist das Projekt, bei dem dieser Betrag höher ist Vorsicht: Vergleichbarkeit ist nur bei gleicher Laufzeit gegeben!

Vorgehensweise (2) Berechne für beide IOs den Kapitalwert
Berechne jeweils die Annuität für die IO Wähle dasjenige Projekt, das die höhere Annuität aufweist!

Berechnung der Kapitalwerte
IO1: KWIO1= /1,1 + 40/1,1² + 40/1,1³ ≈26,76 IO2: KWIO2 = /1,1 + 90/1,1² + 50/1,1³ ≈ 30,13

Berechnung der Annuitäten (1)
Gesucht wird ein konstanter Zahlungsstrom A von t=1 bis t=T, dessen Barwert dem Kapitalwert des jeweiligen IOs entspricht Formal: KWIO= A*1/(1+r) +…+A*1/(1+r)T = A*[1/(1+r) +…+1/(1+r)T]  A = KWIO/[1/(1+r) +…+1/(1+r)T]

Berechnung des Faktors [1/(1+r)+…+1/(1+r)T]: Bei wenigen Summanden (z.B. T=3 wie im Beispiel): einfach einsetzen Bei vielen Summanden (z.B. T=20): Verwendung des Rentenbarwertfaktors: RBWF(r,T) = [(1+r)T -1]/[(1+r)T*r]

Konkret erhält man: AIO1 = KWIO1/RBWF(T=3,r=10%) = 26,76/[1/1,1 + 1/1,1² + 1/1,1³] = 26,76/ [(1,1)3 -1]/[(1,1)3*0,1] = 26,76/2,486852 ≈ 10,76 AIO2 = KWIO2/RBWF(T=3,r=10%) = 30,13/2,486852 ≈ 12,12

Probe (1) Für jedes IO sollte folgender (aus dem IO zu finanzierende) Zahlungsstrom resultieren (A = 10,76 bzw. A = 12,12): t=0 t=1 +A t=2 t=3

Probe – IO1 EÜ Kreditauf-nahme Kredit-rückzahlung t=0 -100 +100 100
Vorplan Finanzmarkt Verbindlichkeiten Zeitpunkt EÜ Kreditauf-nahme Kredit-rückzahlung Entnahme Vor Rück-zahlung Nach Rück-zahlung t=0 -100 +100 100 t=1 70 59,24 +10,76 110 50,76 t=2 40 29,24 55,836 26,596 t=3 29,2556 ≈ 0

Probe – IO2 EÜ Kreditauf-nahme Kredit-rückzahlung t=0 -100 +100 100
Vorplan Finanzmarkt Verbindlichkeiten Zeitpunkt EÜ Kreditauf-nahme Kredit-rückzahlung Entnahme Vor Rück-zahlung Nach Rück-zahlung t=0 -100 +100 100 t=1 20 7,88 +12,12 110 102,12 t=2 90 77,88 + 12,12 112,332 34,452 t=3 50 37,88 37,8972 ≈ 0

Entscheidung nach der Annuitätenmethode
IO2 weist eine höhere Annuität (12,12 GE) als IO1 (10,76 GE) auf und ist deshalb vorzuziehen.

Annuitätenmethode und Kapitalwert
Es gilt AIO = KWIO/RBWF(r,T) Da der Rentenbarwertfaktor für IOs gleicher Laufzeit identisch ist, sind Entscheidungen anhand von Kapitalwertmethode und Annuitätenmethode äquivalent: IOA besitzt genau dann eine höhere Annuität als IOB, wenn der Kapitalwert ebenfalls größer ist.

VIII.5 Stückzinsen Stückzinsen sind eine institutionelle Besonderheit bei Anleihen Anleihen werden immer ohne die aktuelle Couponzahlung notiert Möchte man eine Anleihe kaufen, muss man deshalb nicht nur den Kurs bezahlen, sondern zusätzlich noch so genannte „Stückzinsen“.

Beispiel (1) Bei jährlicher Verzinsung und flacher Zinsstruktur betrage der Zinssatz p.a. 3%. Wir betrachten eine Anleihe mit folgendem Zahlungsstrom: 01.04. 2007 2008 2009 2010 2011 2012 +5 +105

Beispiel (2) Der Preis eines Wertpapiers muss auf arbitragefreien Märkten den diskontierten zukünftigen Zahlungen entsprechen. Somit muss am gelten: P = 5 + 5/1,03 + 5/1,03² + 5/1,03³ + 5/1, /1,035 = 5 + 5*RBWF(3%,T=5) + 100/1,035 = 5 + 5*(1,035 -1)/[1,035*0,03] + 100/1,035 ≈ ,16 = 114,16

Beispiel (3) Am – nach Zahlung des Coupons – sieht der verbleibende Zahlungsstrom wie folgt aus: 01.04. 2008 2009 2010 2011 2012 +5 +105

Beispiel (4) Der Preis lautet dann: P01.04.2007, nach Coupon
= 5/1,03 + 5/1,03² + 5/1,03³ + 5/1, /1,035 = 109,16

Interpretation Vergleicht man den Preis eine logische Sekunde vor der Couponzahlung mit demjenigen eine Sekunde danach, dann gilt: Pvor Coupon = Coupon + P nach Coupon Der Preis macht also einen Sprung in Höhe des Coupons

„Lösung“ Dieser „Sprung“ wird als unerwünscht angesehen.
Deshalb wir der jeweils aktuelle Coupon nicht in den Kurs mit einbezogen. Der Kurs am umfasst deshalb nicht den Coupon vom ! Kurs =5/1,03 + 5/1,03² + 5/1,03³ + 5/1, /1,035 = 109,16

Kurs, Preis und Stückzinsen (1)
Folgeproblem: wir eine Anleihe z.B. 3 Monate vor der Couponzahlung verkauft, dann wird sich der Verkäufer nicht damit zufrieden geben, dass der Käufer ihm einen Geldbetrag in Höhe des Kurses bezahlt. Grund: dann würde er dem Käufer nämlich die nächste Couponzahlung schenken!

Der Käufer muss den Verkäufer somit auch für den Verlust der Couponzahlung kompensieren! Es gilt somit: Preis = Kurs + Kompensation

Wie berechnet sich die Kompensation? Regelung in der Praxis: Verkauft der Besitzer einer Anleihe diese m ≤ 365 Tage vor Fälligkeit der nächsten Couponzahlung, dann steht ihm der Anteil (365-m)/365 der nächsten Couponzahlung zu. Dem Käufer steht dagegen ein Anteil von m/365 der nächsten Couponzahlung zu

Wenn C die Couponzahlung ist, dann nennt man den Betrag C*(365-m)/365, der an den Verkäufer zu entrichten ist, „Stückzinsen“ Somit gilt: Preis = Kurs + C*(365-m)/365

Problem (1) Problem: ein Kurssprung lässt sich so nicht vermeiden!
Grund: am muss dann nämlich sofort der nächste Coupon (fällig am ) aus der Kursberechnung herausgenommen werden! Sonst würde sich nämlich am ebenfalls ein Kurssprung in Höhe der Coupon-Zahlung ergeben!

Problem (2) Zur Verdeutlichung: berechnet man am den Kurs ohne die nächste Coupon-Zahlung (vom ), dann erhält man: Kurs = 5/1,03 + 5/1,03² + 5/1,03³ + 5/1, /1,035 = 109,16

Problem (3) Berechnet man z.B. am nach Zahlung des Coupons den Kurs ohne die nächste Coupon-Zahlung (dann vom ), dann erhält man: Kurs = 5/1,03² + 5/1,03³ + 5/1, /1,035 = 104,31 Lässt sich so ein Kurssprung vermeiden?

Problem (4) Nein! Kurs Kurs = 104,31 – 109,16 = -4,85 = -5/1,03 Es kommt lediglich zu einer geringfügigen Reduktion des Kurssprungs durch den Abzinsungseffekt ( -5/1,03 statt -5) Besonders logisch ist die Argumentation also nicht…

VIII.6 Das Steuerparadoxon
Zu erklären ist folgender scheinbar paradoxe Sachverhalt: Gegeben sei ein Realinvestitionsobjekt das in einer Situation ohne Steuern einen negativen Kapitalwert hat… … aber nach Steuern plötzlich einen positiven Kapitalwert aufweist. Dabei sollen im Fall unter Steuern Zinserträge und steuerpflichtige Gewinne aus RIOs mit dem gleichen, konstanten Steuersatz s besteuert werden.

„Paradoxon“ Offensichtlich reduzieren Steuern die Zahlungen, die dem Investor nach Steuern zur Verfügung stehen. Deshalb wird doch das RIO unattraktiver! Wieso erhält man aber anhand des Kapitalwertkriteriums ein gegenteiliges Ergebnis: nach Einführung von Steuern wird das RIO plötzlich vorteilhaft?

Beispiel Ein Rechenbeispiel stellt Aufgabe 2.11 dar
KW des RIO vor Steuern: -106 Euro (nicht vorteilhaft) KW des RIO unter Steuern: 20,9 Euro (vorteilhaft) Nochmals: Wieso kann ein RIO vorteilhaft werden, obwohl es doch nun plötzlich geringere Zahlungen liefert?

Reduktion der Zahlungsströme
Richtig ist natürlich, dass die Zahlungsströme durch die Steuern reduziert werden. Zahlungsströme aus Aufgabe 2.11: t=0 t=1 t=2 Vor Steuern -1000 +600 +1200 Nach Steuern +570 +990

Erklärung (1) Die Antwort liegt in der Logik des Kapitalwertes:
Der Kapitalwert vergleicht die Preise des Zahlungsstromes des RIOs bei physischer Durchführung des RIOs  Anfangsauszahlung als „Preis“ bei Duplikation anhand von Wertpapieren  Preis des Duplikationsportfolios Das RIO wird also mit dem Kapitalmarkt verglichen! Nach Einführung von Steuern reduzieren sich aber auch die Zahlungen der Wertpapiere (da Zinsbestandteile zu versteuern sind)

Erklärung (2) KW = PreisDupl.Pf – AnfangsauszahlungRIO <0
Im Beispiel war also der Zahlungsstrom des RIOs im Fall ohne Steuern billiger zu bekommen, wenn man ihn „synthetisch“ mit Hilfe der Wertpapiere zusammenstellt. Der Zahlungsstrom, der nach Steuern übrig bleibt, ist dagegen billiger zu erhalten, wenn man das RIO physisch durchführt, statt ihn durch Wertpapiere zu duplizieren.

Erklärung (3) Fall vor Steuern: Fall nach Steuern: Insgesamt:
PreisDup.Pf.ohne Steuern < AnfangsauszahlungRIO Fall nach Steuern: PreisDup.Pf.mit Steuern > AnfangsauszahlungRIO Insgesamt: PreisDup.Pf.o. St. < Anfangsausz.RIO < PreisDup.Pf.mit St.

Erklärung (4) Durch die Einführung von Steuern wird das RIO in dem Sinne weniger attraktiv, dass sich die Zahlungen reduzieren… … jedoch reduziert sich die Attraktivität der Vergleichsanlage (Wertpapiere) noch stärker!

VIII.7 Fisher-Separation und Shareholder-Value (Kurzversion)

Problemstellung Frage: Unter welchen Bedingungen werden verschiedene Entscheider zu einer einmütigen Entscheidung bezüglich der Vorteilhaftigkeit von Investitionsentscheidungen kommen? Relevanz der Frage: nur dann gibt es ein einheitliches Aktionärsinteresse!

Shareholder Value Shareholder-Value ist die von allen Aktionären einmütig unterstützte Zielfunktion für ein Unternehmen Unter welchen Bedingungen existiert eine solche Zielfunktion?

Unabhängigkeit von Einkommen und Zeitpräferenzen (1)
Empirisch unterscheiden sich Menschen In ihrem Einkommen Bezüglich der durchschnittlichen Höhe des Einkommens im Zeitablauf Bezüglich der zeitlichen Verteilung des Einkommens In ihren Zeitpräferenzen Manche Personen sind „ungeduldiger“ als andere: Während Person A es vorzieht, heute einen Euro zu besitzen, statt in einem Jahr einen Euro und zwanzig Cent, sind für Person B vielleicht die zusätzlichen zwanzig Cent eine ausreichende Kompensation für das Warten!

Unabhängigkeit von Einkommen und Zeitpräferenzen (2)
Hängt die Investitionsentscheidung sehr stark von diesen persönlichen Parametern (Einkommen und Zeitpräferenzen) ab, so ist eine Einmütigkeit nicht mehr zu erwarten! Somit können wir die Frage nach der Einmütigkeit von Investitionsentscheidungen präzisieren, indem wir untersuchen, unter welchen Bedingungen diese persönlichen Parameter keinen Einfluss haben!

Bedingungen „Spanning“ für alle Investoren
Einheitlicher Preis des/der Duplikationsportfolios für alle Investoren

Annahme: Arbitragefreiheit auf dem Wertpapiermarkt
Können auf dem Wertpapiermarkt Arbitragen in unbegrenzter Höhe erzielt werden, so wird die Investitionsentscheidung irrelevant, da man beliebig hohe Gewinne erzielen kann Wir nehmen deshalb (realistischerweise) an, dass Märkte arbitragefrei sind.

Bedingung 1 – „Spanning“ für alle Investoren (1)
Spanning bedeutet, dass mit Hilfe der Wertpapiere ein Duplikationsportfolio konstruiert werden kann. Dann ist ein „Preisvergleich“ für den Zahlungsstrom des RIOs möglich Bei physischer Durchführung („Preis“ = Anfangsauszahlung) Bei synthetischer Reproduktion des Zahlungsstromes durch ein Duplikationsportfolio („Preis“ = Preis des Duplikationsportfolios)

Bedeutung des Fehlens von „Spanning“: Für mindestens einen Zeitpunkt t gibt es keinen objektiven Marktpreis für einen Euro, der in diesem Zeitpunkt gezahlt wird. Die Umrechnung des Euros in t in Geldeinheiten im Zeitpunkt 0 wird somit subjektiv, d.h. präferenzabhängig! Dann ist aber keine einmütige Entscheidung mehr zu erwarten.

Anmerkung: Gilt bei n Papieren und T Zeitpunkten, dass n > T ist, so ist das Duplikationsportfolio nicht mehr eindeutig, sondern kann unter Verwendung verschiedener Wertpapiere konstruiert werden! Bei unterschiedlichen Steuersätzen unterscheiden sich die Zahlungen nach Steuern aus RIO und Wertpapieren. Dann unterscheiden sich auch die Duplikationsportfolios. Insgesamt: es gibt unter Umständen mehrere Duplikationsportfolios. Zudem brauchen diese für verschiedene Investoren nicht identisch zu sein.

Bedingung 1 – Spanning in Bezug auf diesen Zahlungsstrom für alle Investoren (4)
Verletzungen der Bedingung: Bedingt durch den Wertpapiermarkt: Beispiel: es gibt kein Papier, das in einem Zeitpunkt eine Zahlung liefert, in dem dies beim RIO der Fall ist. Beschränkungen bei Kauf oder Verkauf von Papieren, insbes. Unzulässigkeit von Leerverkäufen Nehmen wir an, es existiert ein eindeutiges Duplikationsportfolio, und es muss ein Papier verkauft werden Bei Leerverkaufsbeschränkungen kann es sein, dass Person A das entsprechende Papier besitzt und physisch verkaufen kann. Person B besitzt das Papier jedoch nicht und kann somit kein Duplikationsportfolio konstruieren Bei Beschränkung der Käufe gilt Analoges.

Einheitlicher Preis des/der Duplikationsportfolios für alle Investoren (1)
Selbst wenn der Zahlungsstrom des RIOs für alle Investoren identisch und duplizierbar ist, kann es sein, dass der Preis des bzw. der Duplikationsportfolios – selbst bei Arbitragefreiheit - nicht für alle Investoren identisch ist. Bedeutung verschiedener Preise: der Preisvergleich fällt nicht mehr für alle Investoren identisch aus!

Einheitlicher Preis des/der Duplikationsportfolios für alle Investoren (1)
Verletzungen der Bedingung: Die Soll-Zinsstruktur stimmt nicht mit der Haben-Zinsstruktur überein Selbst bei identischem Duplikationsportfolio stimmt dann der Preis nicht mehr für alle Investoren überein. Das Steuersystem ist nicht entscheidungsneutral: Es gibt mindestens zwei Investoren A und B mit Steuersätzen sA und sB , so dass gilt: KWRIO(sA) >0 und KWRIO(sB) <0.

Beispiel (1) Stellen Sie sich eine Unternehmung vor, die vor folgender Entscheidung steht: Ein RIO kann aus eigenen Mitteln finanziert werden. Die Rückströme werden später an die Aktionäre ausgeschüttet Alternativ können die zur Verfügung stehenden Mittel gleich ausgeschüttet werden

Beispiel (2) Unter den oben angeführten Bedingungen kann der Kapitalwert als Entscheidungskriterium herangezogen werden. Zudem fällt die Entscheidung für alle Aktionäre identisch aus Es herrscht also Einmütigkeit in Bezug auf die zu maximierende Zielfunktion und gibt ein einheitliches „Aktionärsinteresse“

Beispiel (3) Stellen Sie sich dagegen vor, dass eine Hälfte der Aktionäre einen Steuersatz von 40%, die andere einen Steuersatz von 25% hat. Dann ist es möglich, dass für eine Gruppe die Durchführung des RIOs vorteilhaft ist, während die andere Gruppe die sofortige Ausschüttung der Mittel bevorzugen würde!

Fazit „Shareholder-Value“ ist die von allen Aktionären einmütig unterstützte Zielfunktion für ein Unternehmen Nur unter eher restriktiven Bedingungen kann von der Existenz eines „Shareholder-Values“ ausgegangen werden!

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