vollkommene Zahlen Definition:

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1 vollkommene Zahlen Definition:
Eine Zahl n heißt vollkommen, wenn sie die Summe ihrer echten Teiler ist (ohne n, mit 1). Beispiel: 6=1+2+3.

2 Beispiele = = 496 = 8128 =

3 Die ersten 10 vollkommenen Zahlen
6 28 496 8.128

4 palindromerzeugende Zahlen
Definition: Eine Zahl n heißt palindromerzeugend, wenn das folgende Verfahren abbricht: 1. a(0) = n, k = 0. 2. a(k+1) = a(k) + sp(a(k)). (Spiegelbild) 3. Wenn a(k+1) ein Palindrom ist, dann stopp, 4. sonst k um 1 erhöhen und weiter bei 2.

5 palindromerzeugende Zahlen
sp(z) ist die Zahl z rückwärts gelesen, also ihr Spiegelbild: sp(417) = 714, sp(5296) = 6925. Ein Palindrom ist eine Zahl p, die rückwärts wie vorwärts gelesen gleich ist, d.h. es gilt p=sp(p): 727, 3, 4774

6 Beispiele 59: 59+95=154, =605, =1111. 67: 67+76=143, =484. 89: 89+98=187, =968, =1837, =9218, =17347, ...

7 Beispiele 89, 187, 968, 1837, 9218, 17347, 91718, , , , , , , , , , , , , , , , , ,

8 Beispiele 196, 887, 1675, 7436, 13783, 52514, 94039, , , , , , , , , , , , , , , , , … nach Schritten noch kein Palindrom!

9 Eine nicht berechenbare Funktion
f(n) sei maximale Anzahl |, die eine Turingmaschine mit n Zuständen und A={b,|} (Busy Beaver) schreiben kann. Satz von Rado: Die Funktion f ist nicht berechenbar.

10 berechenbare Funktionen
Definition: Eine Funktion f(n) heißt berechenbar, wenn es eine Turingmaschine gibt, die bei Eingabe von n die Ausgabe f(n) auf das Band schreibt.

11 Busy Beaver mit n Zuständen
1. TM: BBn Busy Beaver mit n Zuständen | BBn

12 berechnet die Funktion f
2. TM: F berechnet die Funktion f 4 1 3 F dezimal

13 3. TM: WRITEn schreibt die Zahl n 4 WRITEn dezimal

14 konvertiert von dezimal nach unär
4. TM: CONVERT konvertiert von dezimal nach unär 1 3 | CONVERT

15 Was macht WRITEn  F  CONVERT ?
Frage: Was macht WRITEn  F  CONVERT ?

16 4 Turingmaschinen Nr. Name Eingabe Ausgabe Zustände 1 BBn -
f(n) (unär) n 2 F f(n) (dez.) p 3 WRITEn n (dez.) log10 n 4 CONVERT dezimal unär q

17 Wähle n derart, dass n > log10 n + p + q gilt.
… und nun? Wähle n derart, dass n > log10 n + p + q gilt.