Foliensatz von A. Weber zur Vorlesung Informatik I, Bonn, 2002/03

Foliensatz von A. Weber zur Vorlesung Informatik I, Bonn, 2002/03
Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte Programme und Algorithmen Foliensatz von A. Weber zur Vorlesung Informatik I, Bonn, 2002/03 Überarbeitet und ergänzt von W. Küchlin zu Informatik I, Tübingen 2003/04 W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Was ist ein Programm? Deutliche Diskrepanz zwischen beiden Begriffserklärungen im Lexikon! 'Programm': sehr allgemein (umgangssprachlich) aufgefasst 'Programmierung': spezifische Deutung des Begriffs 'Programm' 'Programm' im allgemeinen: z.B. Fernsehprogramm, Konferenzprogramm, Parteiprogramm 'Programm' im speziellen: nicht notwendig nur auf Computer bezogen Programm einer Waschmaschine, eines Videorecorders Programm einer Waschmaschine, eines Videorecorders Nach R. Manthey, Vorlesung Informatik I, Universität Bonn, WS 2001/2002 W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Was ist ein Programm? Nach R. Manthey, Vorlesung Informatik I, Universität Bonn, WS 2001/2002 W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Begriff des Algorithmus
Begriffsdefinition Ein Algorithmus (algorithm) ist die Beschreibung eines Verfahrens, um aus gewissen Eingabegrößen bestimmte Ausgabegrößen zu berechnen. Dabei müssen folgende Bedingungen erfüllt sein Spezifikation Durchführbarkeit Korrektheit W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Spezifikation Eingabespezifikation: Es muss genau spezifiziert sein, welche Eingabegrößen erforderlich sind und welchen Anforderungen diese Größen genügen müssen, damit das Verfahren funktioniert Ausgabespezifikation: Es muss genau spezifiziert sein, welche Ausgabegrößen (Resultate) mit welchen Eigenschaften berechnet werden W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Durchführbarkeit Endliche Beschreibung: das Verfahren muss in einem endlichen Text vollständig beschrieben sein Effektivität: Jeder Schritt des Verfahrens muss effektiv (d.h. tatsächlich) „mechanisch“ ausführbar sein Bem.: „Effektivität“ ist nicht zu verwechseln mit „Effizienz“ („Wirtschaftlichkeit“) Determiniertheit: Der Verfahrensablauf ist zu jedem Zeitpunkt fest vorgeschrieben W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Korrektheit partielle Korrektheit: Jedes berechnete Ergebnis genügt der Ausgabespezifikation, sofern die Eingaben der Eingabespezifikation genügt haben Terminierung: Der Algorithmus hält nach endlich vielen Schritten mit einem Ergebnis an, sofern die Eingaben der Eingabespezifikation genügt haben W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Bemerkung: Nach unserer Begriffsbestimmung gäbe es also keine nicht-deterministische, nicht-terminierende ... Algorithmen Diese Begriffe werden aber durchaus verwendet! Methode erfüllt alle Anforderungen an einen Algorithmus, bis auf die mit „nicht“ gekennzeichnete W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Ein "Algorithmus" aus dem täglichen Leben
Nach R. Manthey, Vorlesung Informatik I, Universität Bonn, WS 2001/2002 W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Eine sehr alte Beschreibung eines Algorithmus
Zitiert nach R. Manthey, Vorlesung Informatik I, WS 2001/2002 W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Herkunft des Wortes „Algorithmus“
nach R. Manthey, Vorlesung Informatik I, WS 2001/2002 W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Algorithmen und Programme
nach R. Manthey, Vorlesung Informatik I, WS 2001/2002 W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Problem – Algorithmus - Programm
Nach R. Manthey, Vorlesung Informatik I, Universität Bonn, WS 2001/2002 W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Prinzipien des Algorithmenentwurfs
Neben den Bedingungen, die schon in die Begriffsdefinition eingegangen sind, gibt es weitere wichtige Prinzipien, die beim Entwurf zu beachten sind Effizienz Der Algorithmus soll möglichst wenig Aufwand verursachen Das Ergebnis mit möglichst wenig Rechenschritten (oder mit möglichst wenig Speicherbedarf) erzielen Frage der Komplexität von Algorithmen wichtiges Thema in der Informatik III und Informatik IV Korrektheit beweisbar? Ein nicht-korrekter Algorithmus ist nach unserer Definition kein Algorithmus! Trotzdem sind nicht-korrekte Verfahren eher die Regel als die Ausnahme W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Beschreibung von Algorithmen
Für die Beschreibung von Algorithmen gibt es viele Möglichkeiten Alltagssprache Konkrete Programmiersprache Dazwischen gibt es eine Vielzahl von Notationen, die den Übergang zwischen Problembeschreibung und Programm erleichtern sollen Flussdiagramme Pseudocode W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Beschreibung von Algorithmen
Wir stellen Algorithmen als Folge einzelner Bearbeitungsschritte dar Diese können ggf. wiederholt werden, bis das gewünschte Ergebnis erzielt ist Wiederholungen geschehen entweder innerhalb der Schrittfolge durch Anweisungen wie: weiter mit Schritt (2) („Iteration“), oder durch erneutes Aufrufen des Algorithmus mit einer einfacheren Problemstellung („Rekursion“) Jeder Schritt sollte wie ein Buchkapitel einem Thema folgen W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Grundschema des Algorithmenaufbaus
Folgendes Grundschema wird uns bei vielen Algorithmen begegnen W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Grundschema des Algorithmenaufbaus: Beispiel
Beispiel: Man finde ein Verfahren zur Berechnung des Rests r der Ganzzahldivision a/b, also für cb+r=a und r<b, wobei 0≤a und 0≤b Diese Funktion wird meist „Modulus-Funktion“ genannt, da ra mod b W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Steuerungsverlauf Die Anordnung der Anweisungen eines Algorithmus, die bestimmt, in welcher Reihenfolge Dinge geschehen, heißt Steuerungsverlauf (control flow) des Algorithmus Wird auch Kontrollfluss (flow of control) genannt Manchmal wird auch der Programmablauf oder Kontrollfaden (thread of control), also die tatsächlich abgespulten Schritte und Anweisungen so bezeichnet W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Steuerungsverlauf Die Konstruktion „fahre fort mit Schritt 2“ stellt einen Sprung (jump) im Steuerungsverlauf dar Dies ist die elementarste Form, eine Wiederholung oder sonstige Verzweigung im Ablauf auszudrücken Dadurch erhalten wir die elementar-iterative Beschreibungsform von Algorithmen W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Elementar-iterative Beschreibungsform
Die elementar-iterative Beschreibungsform hat die nützliche und angenehme Eigenschaft: Wir können über einzelne Schritte des Verfahrens sprechen Die „fahre fort“-Konstruktion entspricht unmittelbar der goto-Anweisung im Programmieren Zur Anwendung von goto werden Schritte mit einer Marke (Label) versehen, um das Ziel des Sprunges zu kennzeichnen Anwendung von goto ist aber sehr gefährlich! Strukturiert komplexe Programm nicht ausreichend Steuerungsverlauf kann verworren und unübersichtlich sein W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Flussdiagramme Der Steuerungsverlauf kann mit der Notation der Flussdiagramme (flow chart) graphisch dargestellt werden Die Sprache der Flussdiagramme benutzt folgende Symbole Werden mit Pfeilen verbunden Die Ausführung solcher Ablaufpläne folgt den Pfeilen zwischen den Kästchen W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Beispiel: Grundschema des Algorithmenaufbaus als Flussdiagramm
Flussdiagramme Beispiel: Grundschema des Algorithmenaufbaus als Flussdiagramm W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Modulus-Funktion als Flussdiagramm
Beispiel: Flussdiagramm für iterative Beschreibung der Modulus-Funktion W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Strukturiert-iterative Beschreibungsform
Um den Steuerungsverlauf auch bei komplexen Algorithmen übersichtlich zu halten, schränkt man die Sprünge ein: Schleifen der Flussdiagramme sind höchstens ineinander geschachtelt Schleifen überkreuzen sich nicht! Im Arbeitsschritt des Grundschemas würde man z. B. nur wieder eine geschlossene Schleife oder einen (vorzeitigen) Sprung zurück zum Test des Trivialfalls erlauben Wir sprechen in diesem Fall von strukturierten Sprüngen im Gegensatz zu freien Sprüngen, die prinzipiell beliebige Ziele haben können W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Strukturiert-iterative versus elemantar-iterative Beschreibungsform
Beispiel: Schemata einiger Kontrollflüsse Strukturiert-iterativ Elementar-iterativ Spaghetti-Code W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Strukturiert-iterative Beschreibungsform
Sprünge kommen zunächst nur noch implizit bei der Ausführung höherer Iterationsstrukturen vor Dieses sind Fallunterscheidungen wie if-then-else Oder insbesondere bei Schleifenkonstrukten (loop), wie etwa while Diese bewirken, dass der Programmfluss in einer Schleife von einem Test zu einem Bearbeitungsschritt und wieder zurück zum Test geht W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Strukturiert-iterative Beschreibungsform: while
Schleifenkonstrukte: while Die klassische while-Schleife lautet wie folgt: Bei Eintritt in die while-Schleife wird zunächst die Bedingung (ein Boolescher Ausdruck) ausgewertet Beim Wert true wird die Anweisungssequenz einmal ausgeführt und danach erneut zur Bedingung verzweigt Beim Wert false wird die Schleife (ohne Ausführung der Anweisungssequenz) beendet W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Strukturiert-iterative Beschreibungsform: while
Die while-Schleife entspricht also der Konstruktion . W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Rekursive Beschreibungsform
Im rekursiven Ansatz versucht man, ein vorgelegtes Problem P(X) nach folgendem Schema in zwei Teilen zu lösen: Bem.: Rekursive und iterative Beschreibungsformen sind gleich mächtig Nach einer Formalisierung des Algorithmenbegriffs kann dies auch bewiesen werden! Etwa in der Vorlesung Informatik IV W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Rekursive Beschreibungsform: Beispiel
Beispiel: In gängiger mathematischer Notation könnte ein Verfahren zur Berechnung der Modulus-Funktion a mod b wie folgt aussehen: W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Rekursive Beschreibungsform: Beispiel
Beispiel (Forts.): Um festzustellen, ob diese Berechnungsvorschrift einen Algorithmus darstellt, müssen wir folgende Fragen beantworten: Spezifikation Eingabe Ausgabe Durchführbarkeit Endliche Beschreibung Effektivität Determiniertheit Korrektheit Partielle Korrektheit Terminierung W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Rekursive Beschreibungsform: Korrektheitsbeweis des Beispiels
Beispiel (Forts.): Spezifikation W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Beispiel (Forts.): W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Beispiel (Forts.): Korrektheit Bemerkungen: Diese Überlegungen stellen einen Korrektheitsbeweis dar Die Termination konnte bei diesem Algorithmus also bewiesen werden; es gibt aber kein mechanisches Verfahren das bei einem beliebigen Algorithmus entscheiden kann, ob dieser terminiert oder nicht („Halte-Problem“) W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Rekursive Beschreibungsform: Beispiel in Java
Das rekursive Verfahren in mathematischer Notation können wir mit minimalen Änderungen nach Java umsetzen Wir definieren dazu eine Java-Funktion mod, die zwei ganze Zahlen a und b als Parameter hat und eine ganze Zahl als Ergebnis liefert W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Rekursive Beschreibungsform: Beispiel in Java
Zur Illustration stellen wir nun noch eine etwas ausführlichere (aber gleichwertige) Version dieser Funktion vor Kommentarzeilen Zum Vergleich: Rekursionsgleichung W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Euklidischer Algorithmus zur ggT-Berechung
Als weiteres Beispiel für die rekursive Beschreibungsform nehmen wir den Euklidischen Algorithmus zu Berechnung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) zweier ganzer Zahlen W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Beschreibung in einem Pseudo-Code Zum Vergleich: Rekursionsgleichung W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Beschreibung in Java Andere Art eines Kommentars, ein „Dokumentationskommentar“ Modulus-Funktion ist in Java eingebaut; wird durch das Symbol % beschrieben; könnten auch die selbst definierte Funktion mod aufrufen W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Rekursion und funktionale Programmierung
Der rekursive Ansatz zur Problemlösung ist die Hauptdenkweise, die die funktionalen Programmiersprachen unterstützen Etwa LISP, Scheme, ML, Haskell Vorzug liegt in der großen Eleganz und Kompaktheit gerade bei kleinen Lehrbuchbeispielen Dieser Ansatz erfordert nur sehr wenige syntaktische Konstrukte der Programmiersprache (kein while, for, repeat, ...) W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Rekursion und funktionale Programmierung
Funktionale Denkweise: kein Begriff des Zustands (state) einer Berechnung. manchmal beträchtliche Eleganz, erleichtert auch Korrektheitsbeweise Alle Daten sind global, alle Funktionen können auf allen Daten operieren Objektorientierte Denkweise: Funktionen sind mit ihren Daten zu Objekten gekapselt Objekte interagieren durch Fenster mit anderen Objekten Objekte haben Zustände (gegeben durch die Daten) Zustände werden durch Berechnung weiterentwickelt In der objektorientierten Welt ist daher das (ebenfalls klassische) zustandsorientierte iterative Konzept zur Konstruktion von algorithmischen Problemlösungen am weitesten verbreitet Wie wir gesehen haben, kann auch in einer objektorientierten Sprache wie Java rekursiv programmiert werden! W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Konstruktion und Verifikation iterativer Algorithmen
Bei der Verwendung von imperativen (Anweisungs orientiert) Programmiersprachen wie Java stellt die Konstruktion korrekter iterativer Algorithmen den Kern des Programmierens dar Hat man diese nicht verstanden, kann man auch nicht programmieren Wir betrachten deshalb den Grundaufbau iterativer Algorithmen nochmals in vertiefter Form Besonders auch unter dem Aspekt, dass wir strukturiert-iterative Algorithmen entwickeln und als korrekt beweisen wollen W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Betrachten Grundschema des Algorithmenaufbaus in einer Variante, die einem strukturiert-iterativen Ansatz entspricht Der Algorithmus operiert dabei auf einer Menge V von Variablen (Name mit wechselndem Wert) Diese Zustandsvariablen haben veränderliche Werte und können somit bearbeitet werden, und unter ihnen befindet sich schlußendlich das Resultat Nach einem Vorbereitungsschritt wird so lange die Arbeit f(V) verrichtet, wie die Schleifenbedingung C(V) wahr ist Danach wird ein Nachbearbeitungsschritt ausgeführt und der Algorithmus beendet W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Zur Verifikation werden Zustandsvariablen partitioniert in V=EHA E ist Menge der Eingabevariablen Eingabeparameter der Berechnung A ist Menge der Ausgabevariablen Werte zum Schluss zeigen Ergebnis der Berechnung an H ist Menge der Hilfsvariablen Die Werte der Variablen spiegeln zu jedem Zeitpunkt den Zustand (state) der Berechnung wider W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Problemlösung durch den Algorithmus findet also dadurch statt, dass der Anfangszustand V0, in dem nur die Variablen in E relevante Werte haben, durch eine Berechnungssequenz Schritt für Schritt („iterativ“) in einen Endzustand transformiert wird In dem die Werte der Variablen in A das gewünschte Gesamtresultat darstellen Oft gibt es nur ein einziges Resultat, das wir üblicherweise mit r oder res bezeichnen W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Ein elementarer Berechnungsschritt eines Algorithmus ändert im Allgemeinen den Wert von Variablen Variablen können Werte zugewiesen werden Zuweisungsoperator in imperativen Sprachen von fundamentaler Bedeutung In Pascal heißt Zuweisungsoperator := Benutzen := für Zuweisungsoperator in Pseudocode In C, C++, Java heißt Zuweisungsoperator = W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Erfolgt Reduktion mithilfe strukturierter Iteration, so kann i.A. Korrektheit durch Finden einer geeigneten Schleifeninvariante bewiesen werden Schleifeninvariante: Prädikatenlogische Formel INV(V), die an bestimmter Stelle einer Schleife bei allen Schleifendurchgängen stets gilt F(V) ist Schleifeninvariante falls F(V) gilt vor dem ersten Durchgang F(V) => F(V ´); F gilt nachher, falls F vorher gegolten hat W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Grundschema der strukturierten Iteration mit Schleifeninvariante als UML activity chart Schleifeninvariante INV(V) geeignete Formel, die bei allen Schleifendurchgängen gilt W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Grundschema der strukturierten Iteration mit Schleifeninvariante Schleifeninvariante INV(V) geeignete Formel, die bei allen Schleifendurchgängen gilt Verifikation nach Floyd: INV(V) ʌ C(V) => nach Arbeit f(V) gilt INV(V) Anforderung => nach Vorbereitung gilt INV(V) INV(V) ʌ ¬C(V) => nach Nachbereitung gilt Zusicherung W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Verifikationsmethode von Floyd
Die Verifikationsmethode von Floyd für das Grundschema iterativer Algorithmen ist Finde eine geeignete Formel F(V) und zeige, dass sie eine Schleifen-Invariante an der im Flußdiagramm auf voriger Seite angegebenen Stelle ist; bezeichne F(V) nachfolgend mit INV(V) Zeige, dass aus der Eingabespezifikation folgt, dass INV(V) vor dem ersten Schleifendurchgang gültig ist Zeige, dass nach dem letzten Schleifendurchgang aus INV(V) und aus der Negation der Schleifenbedingung C(V), also aus INV(V)   C(V) die Gültigkeit der Ausgabespezifikation folgt Zeige, dass die Schleife terminiert W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Verifikationsmethode von Floyd
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Algorithmus für die Fakultätsfunktion mit Schleifeninvariante Schleifeninvariante F(n,r,i)= [n! = r*i!] W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Fakultätsfunktion als UML activity chart W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Beispiel: Modulus-Funktion (iterativ) W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Beispiel: Modulus-Funktion (iterativ) als UML activity chart W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Beispiel: Verifikation der Modulus-Funktion (iterativ) nach Floyd Verifikation nach Floyd: Aus [a-(a/b)*b = r-(r/b)*b] und (r>=b) und {r := r-b;} folgt [a-(a/b)*b = r-(r/b)*b] Aus (a >= 0, b > 0) und {r := a;} Aus [a-(a/b)*b = r-(r/b)*b] und (r < b) und {return( r );} folgt (r = a – (a/b)*b) W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Verifikations-Beispiel: Modulus-Funktion (iterativ) W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

Finden von Schleifen-Invarianten Invariante für fac(n) : [n! = r * i!] Invariante für mod(a,b): [(a mod b) = r – (r/b)*b] Gemeinsame Struktur Links von = steht die Aufgabe Rechts steht getane Arbeit und noch zu tuende Arbeit r steht für getane Arbeit (akkumuliertes Ergebnis) Schleifen-Index i repräsentiert noch zu tuende Arbeit Bei fac ist i! der Wert, den man noch zu r multiplizieren muß, bis r = n! Bei mod ist (r/b)*b der Wert, den man noch von r abziehen muß, bis r = (a mod b). W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java Springer-Verlag, ISBN

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