Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 3. Vorlesung „Evolutionsstrategie I“ Globale und lokale Optimumsuche Vier elementare Strategien auf dem Prüfstand.

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1 Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 3. Vorlesung „Evolutionsstrategie I“ Globale und lokale Optimumsuche Vier elementare Strategien auf dem Prüfstand

2 Q x ? Strategie Versuchsobjekt Qualitätsmessung Verstellbarkeit Experimentierkreis 4 Strategien 1. Globale deterministische Suche 2. Globale stochastische Suche 3. Lokale deterministische Suche 4. Lokale stochastische Suche opt Kann ein technisches Objekt, aber auch ein Lebewesen sein

3 Suche nach dem Optimum Bei schwach kausalem Weltverhalten Bei stark kausalem Weltverhalten ?

4 1. Globale deterministische Suche Systematisches Scannen des Versuchsfeldes Beispiel: 80 Variable mit je 10 diskreten Einstellstufen G = 10 80 Zahl der Elementarteilchen im Weltall

5 2. Globale stochastische Suche Zielfindung mit 95% Wahrscheinlichkeit

6 Rechnung mit Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Versuch Ziel getroffen: 1. Versuch Ziel nicht getroffen: 1. & 2. Versuch Ziel nicht getroffen: 1. & 2. & 3. Versuch Ziel nicht getroffen:1. & 2. & 3… & G. Versuch Ziel nicht getroffen:G Versuche Ziel getroffen: Für n Variable Für W z = 0.95 Text

7 1. Globale deterministische Suche 3. Lokale deterministische Suche 2. Globale stochastische Suche 4. Lokale stochastische Suche

8 Suche nach dem Optimum Bei schwach kausalem Weltverhalten Bei stark kausalem Weltverhalten Konstruktion einer additiven Einbahnstraße zum Berggipfel ?

9 Zurückgelegter Weg bergan Zahl der Versuche    Definition der Fortschrittsgeschwindigkeit  Konstruktion einer additiven Einbahnstraße zum Berggipfel Ließe sich das Vorhandensein eines zusammengesetzten Organs nachweisen, das nicht durch zahlreiche aufeinander folgende geringe Abänderungen entstehen könnte, so müsste meine Theorie zusammenbrechen. Charles Darwin

10  Sichtbar gemachtes Normalverhalten der Welt Die Idee der Linearisierung Linearitätsradius

11  Fortschritt  3. Lokale deterministische Suche Folgen des steilsten Anstiegs Zurückgelegter Weg bergan Zahl der Versuche    Man darf nur so weit gehen, wie die Annahme „Ebene“ gilt ! Versuch in y-Richtung Versuch in x-Richtung Auflegen einer Scheibe Steilster Anstieg

12 Arbeitsschritt der Länge  in Richtung des steilsten Anstiegs am Beispiel für 3 Dimensionen: Gradientenstrategie Man bewegt sich proportional zu den jeweiligen Qualitätsänderungen in die x-, y-, und z-Richtung

13 (1 + 1)-ES Ebene symbolisiert die lineare Theorie

14 Linearitätsradius  4. Lokale stochastische Suche Zufallsdriften entlang des steilsten Anstiegs 1. Nachkomme 2. Nachkomme Elter

15 Plus-Nachkomme Minus-Nachkomme Statistisches Mittel des Fortschritts Bestimmung des linearen Fortschritts Elter Linearitätsradius Schwerpunkt + − srsr

16 Plus-Nachkomme Minus-Nachkomme Statistisches Mittel des Fortschritts Elter Linearitätsradius Schwerpunkt + − Fortschrittsgeschwindigkeit: Weil die Hälfte der Kinder Misserfolge sind ! s 2 r r  srsr ? r steht für randverteilte Zufallsschritte

17 2 Dim. 3 Dim. n Dim. srsr srsr srsr Schwerpunkt ?

18 Plus-Nachkomme Minus-Nachkomme Statistisches Mittel des Fortschritts Bestimmung des linearen Fortschritts Linearitätsradius Schwerpunkt Elter + − svsv v steht für volumenverteilte Zufallsschritte

19 Plus-Nachkomme Minus-Nachkomme Statistisches Mittel des Fortschritts Linearitätsradius Schwerpunkt Elter + − Fortschrittsgeschwindigkeit: Weil die Hälfte der Kinder Misserfolge sind ! s 2 v v  svsv ?

20 2 Dim. 3 Dim. n Dim. svsv svsv Schwerpunkt r ? svsv r

21 Aufgabe: 1. Berechnung des Schwerpunkts einer n -dimensionalen Halbkugelschale 2. Berechnung des Schwerpunkts einer n -dimensionalen Vollhalbkugel Was ist eine n -dimensionale Kugel ― Hyperkugel ? Was ist ein n -dimensionaler Würfel ― Hyperwürfel ?

22 Hyperraum aus der Sicht eines Künstlers Der n-dimensionale Raum der Mathematiker ist eine abstrakte Idee, eine Extrapolation !

23 Strecke – Quadrat – Würfel– Tesserakt Der Weg zum n-dimensionalen Würfel

24 Wenn Sie diese Figur räumlich sehen, dann sehen Sie die Projektion eines 4-dimensionalen Würfels in 3 Dimensionen

25

26 Die Fortentwicklung einer konstruktiven mathematischen Idee Hyperwürfel ∂a Was ist eine n-dimensionale Kugel ? Genannt: Stecken- element Flächen- element Volumen- element Hypervolumen- element Beispiel: Strecken-Flächen- Volumen-Element

27 Entfernung D zweier Punkte Analoge Extrapolationsidee für die Die konstruktive Idee einer n -dimensionalen Kugeloberfläche: Alle Punkte P 2, die von dem Punkt P 1 die gleiche Entfernung R haben. D

28 Zurück zur Aufgabe: 1. Berechnung des Schwerpunkts einer n -dimensionalen Halbkugelschale 2. Berechnung des Schwerpunkts einer n -dimensionalen Vollhalbkugel

29 Paul Guldin (1577 – 1643) Die 1. Guldinsche Regel Eine Kurve erzeugt durch Rotation um 360 Grad eine Rotationsfläche. Dann ist die Oberfläche der Rotationsfläche gleich der Länge der erzeugenden Kurve mal dem Weg des Schwerpunktes dieser Kurve.

30 Paul Guldin (1577 – 1643) Die 1. Guldinsche Regel Eine Kurve erzeugt durch Rotation um 360 Grad eine Rotationsfläche. Dann ist die Oberfläche der Rotationsfläche gleich der Länge der erzeugenden Kurve mal dem Weg des Schwerpunktes dieser Kurve. Ein Halbkreis erzeugt durch Rotation um 360° eine Kugel. Dann ist die Oberfläche der Kugel gleich der Länge des Halbkreislinie (  r ) mal dem Rotationsweg des Schwerpunkts des Halbkreislinie. Beispiel: Halbkreislinienschwerpunkt Halbkreis mit dem Radius r Schwerpunktsweg s KreisKugel 2 1 2 UsO 

31 Paul Guldin (1577 – 1643) Die 2. Guldinsche Regel Eine Fläche erzeugt durch Rotation um 360 Grad einen Rotationskörper. Dann ist das Volumen des Rotationskörpers gleich dem Inhalt der erzeugenden Fläche mal dem Weg des Schwerpunktes dieser Fläche.

32 Paul Guldin (1577 – 1643) Die 2. Guldinsche Regel Eine Fläche erzeugt durch Rotation um 360 Grad einen Rotationskörper. Dann ist das Volumen des Rotationskörpers gleich dem Inhalt der erzeugenden Fläche mal dem Weg des Schwerpunktes dieser Fläche. Halbkreisflächenschwerpunkt Halbkreis mit dem Radius r Schwerpunktsweg s Ein Halbkreis erzeugt durch Rotation um 360° eine Kugel. Dann ist das Volumen der Kugel gleich dem Inhalt des Halbkreisfläche ( 1/2  r 2 ) mal dem Rotati- onsweg des Schwerpunkts der Halbkreisfläche. Beispiel: KreisKugel 2 1 2 FsV 

33 gedeutet als 1 Dimension 2 Dimensionen 3 Dimensionen 4 Dimensionen Guldin

34 Oberfläche einer n -dimensionalen Kugel Volumen einer n -dimensionalen Kugel  ( m ) = ( m – 1) ! für ganzzahlige m  ( x +1) = x  ( x ),  (1) =   (2) = 1,  (1/2) = Zur Gammafunktion (verallgemeinerte Fakultät)

35 Es gilt die asymptotische Formel: für n >> 1 für große n Randverteilte Zufallszahlen Volumenverteilte Zufallszahlen Text

36 Zur Geometrie der n-dimensionalen Kugel Text

37 Gradienten Strategie kontra Evolutionsstrategie Für n >> 1 Evolutionsstrategie Gradientenstrategie Text

38 Der Dumme, der einfach losgeht, kommt weiter als der Schlaue, der sitzen bleibt und sich vor lauter Nachdenken nicht entscheiden kann. Motto des Evolutionsstrategen

39 Der Streit um Darwin und um den Zufall in der Evolution ist eher ein Streit, ob die Welt sich schwach kausal oder stark kausal verhält. ? ! Pessimist Optimist Ließe sich das Vorhandensein eines zusammengesetzten Or- gans nachweisen, das nicht durch zahlreiche aufeinan- derfolgende geringe Abän- derungen entstehen könnte, so müsste meine Theorie zusammenbrechen.

40 Ende www.bionik.tu-berlin.de

41 Wahrscheinlichkeitsrechnung, ganz einfach: Gesucht ist eine Gesamtwahrscheinlichkeit, die sich aus einzelnen bekannten Wahrscheinlichkeiten zusammensetzt. Werden bei der verbalen Formulierung der Aufgabe die einzelnen Wahrscheinlichkeiten durch „und“ verbunden, müssen rechnerisch die Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden. Also die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel eine 6 zu würfeln und dann nochmals eine 6 zu würfeln ist 1/6 mal 1/6 = 1/36. Die Wahrscheinlichkeit 3 Mal hintereinander eine 6 zu würfeln ist 1/6 mal 1/6 mal 1/6 = 1/216. Werden bei der verbalen Formulierung der Aufgabe die einzelnen Wahrscheinlichkeiten durch „oder“ verbunden, müssen rechnerisch die Wahrscheinlichkeiten addiert werden. Also die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel 6 Augen oder 5 Augen zu würfeln ist dann 1/6 plus 1/6 = 2/6 = 1/3. Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 oder ein 5 oder eine 4 oder eine 3 oder ein 2 oder eine1 zu würfeln ist dann 1/6 +1/6 +1/6 +1/6 +1/6 +1/6 = 1. Die Wahrscheinlichkeit, keine 4 zu würfeln, ist gleich der Wahrscheinlichkeit eine 1 oder eine 2 oder eine 3 oder eine 5 oder eine 6 zu würfeln, und das ist 1/6 +1/6 +1/6 +1/6 +1/6 = 5/6 = 1 -1/6. Die Wahrscheinlichkeit, keine 2 oder keine 3 zu würfeln, ist gleich der Wahrscheinlichkeit eine 1 oder eine 4 oder eine 5 oder eine 6 zu würfeln, und das ist 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 4/6 = 1 – (eine 2 oder eine 3 zu würfeln) = 1 – (1/6 +1/6) = 1 – 2/6.

42 Eine sehr wichtige Aussage der Theorie: Zwei völlig verschiedene Verteilungen der Mutationen (gleichmäßig am Kugelrand und gleichmäßig im Kugelvolumen) ergeben für viele Variable n das gleiche Ergebnis. Das heißt, es lohnt sich nicht, über Vor- und Nachteile verschiedener Mutationsverteilungen zu sinnieren.

43 Das Diagramm zeigt, dass in einer hochdimensionalen Hyperkugel sich das Volumen fast ausschließlich an der Oberfläche der Kugel konzentriert. Das Innere einer Hyperkugel hat nur sehr wenig Volumen. Ein gleichverteilter Zufalls- punkt wird sich deshalb mit großer Wahrscheinlichkeit immer am äußeren Rand der Hyperkugel befinden.

44 Die Theorie zeigt: Eine planvoll durchdachte Handlungsweise zum Folgen des Gra- dientenweges (Gradientenstrategie) muss nicht notwendigerweise effektiver sein als die Diffusion bergauf durch eine Reihe spontan ausgeführter kleiner Zufalls- schritte. Man muss den Gesamtaufwand sehen. Die Gradientenstrategie benötigt n Vorversuche (genau n +1), die zunächst noch keinen Fortschritt erbringen. Erst nachdem die Informationen gesammelt wurden folgt der eigentliche Arbeitsschritt, der nun allerdings den größtmöglichen Gewinn erbringt. Bei der Evolutionsstrategie ist es umgekehrt. Die Chance für eine großen Gewinn ist bei einem Zufallsschritt gering. Ein kleiner Gewinn tritt aber im Mittel jedes 2. Mal auf. Fazit: Die vielen Hilfsoperationen bei einen ausgeklügelten Strategie können zu einer größeren Verlangsamung des Fortschritts führen als die unvermeidlichen Abweichungen eines Zufallsschrittes (im linearen Fall ist ja jeder 2. Schritt im Mittel erfolgreich) von der optimalen Fortschrittsrichtung