Präsentation der Diplomarbeit Large margin Kernel Machines for binary Classification Michael Brückner brum@hrz.tu-chemnitz.de www.tu-chemnitz.de/~brum.

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1 Präsentation der Diplomarbeit Large margin Kernel Machines for binary Classification
Michael Brückner Chemnitz, den 24. Juni 2005

2 Überblick über die Arbeit
Einleitung Grundlagen der Kernel-Verfahren Kernel-Perceptron Support-Vektor-Verfahren Analytic Center Machine Bayes-Point-Klassifikatoren p-Center Machine Experimenteller Vergleich der Verfahren

3 Einleitung Klassifikation ist die Zuordnung von Daten zu einer begrenzte Anzahl von Klassen mit Hilfe eines Klassifikators, z.B. → {Spam, Ham} Zwei Klassen → Binäre Klassifikation Finden eines Klassifikators durch überwachtes Lernen empirisch & simulativ (Neuronales Netz) induktiv (Regelsystem/Entscheidungsbaum) analytisch (Kernel Machine) Einleitung

4 Grundlagen der Kernel-Verfahren
Feature Mapping  Funktion welche Eingabedaten aus dem Eingaberaum X in einen (höher-dimensionalen) Raum abbildet. Feature Space F Raum in den die Eingabedaten abgebildet werden. Kernel-Funktion k(x1,x2) Entfernung zweier Punkte x1 und x2 im Feature Space. Kernel-Matrix G Entfernungsmatrix mit den Abständen aller Eingabe-datenpunkte im Feature Space. Grundlagen der Kernel-Verfahren

5 Grundlagen der Kernel-Verfahren
Exemplarische Darstellung des Feature Mapping , Feature Space F, und der Kernel-Funktion k Grundlagen der Kernel-Verfahren

6 Grundlagen der Kernel-Verfahren
Binärer Klassifikator h Berechnet für einen Eingabedatenpunkt x mit Hilfe einer Klassifikationsfunktion den Klassifikationswert. Das Vorzeichen dieses Wertes entspricht der zu x zugeordneten Klasse y. Lineare Klassifikationsfunktion Lineare Funktion welche durch einen Gewichtsvektor w und einen Bias b gegeben ist: f(x) = <x,w> + b. Kernel-Klassifikationsfunktion Im Feature Space lineare Funktion welche durch ein Feature Mapping , einen Gewichtsvektor w und einen Bias b gegeben ist: f(x) = <(x),w> + b. Grundlagen der Kernel-Verfahren

7 Grundlagen der Kernel-Verfahren
Kernel-Funktion enthält alle notwendigen Informationen über Feature Mapping  Feature Mapping muss nicht explizit gegeben sein. Eigenschaften allgemeiner Kernel-Funktionen durch Mercer-Bedingungen festgelegt. Lernverfahren welche Kernel-Funktionen nutzen werden als Kernel Machines bezeichnet. Large margin Kernel Machines sind Verfahren, welche unter Verwendung nicht-statistischer Ansätze eine (möglichst) optimale Kernel-Klassifikationsfunktion suchen. Grundlagen der Kernel-Verfahren

8 Grundlagen der Kernel-Verfahren
Kernel-Klassifikationsfunktion kann als Trenn-gerade bzw. Trennebene im Feature Space aufgefasst werden. Abbildung zeigt nahezu optimale Trenngerade (links) und beliebige Trenngerade (rechts). Grundlagen der Kernel-Verfahren

9 Grundlagen der Kernel-Verfahren
Version Space V Menge aller möglichen Gewichtsvektoren. Curved Version Space und Bounded Version Space sind Teilmengen von V. Grundlagen der Kernel-Verfahren

10 Grundlagen der Kernel-Verfahren
Gewichtsvektor der optimalen Trenngerade/ Trennebene ist Schwerpunkt des Version Space = Bayes-Klassifikator. Schwerpunkt schlecht berechenbar. Jedoch, Vektoren nahe des Schwerpunktes (z.B. Inkreismittelpunkt, Analytic Center, p-Center) bilden ebenfalls sehr gute Klassifikatoren  zahlreiche Large margin Kernel Machines. „Aufweichen“ der Version Space-Bedingungen mittels Verlust-Funktionen wirkt verrauschten Daten entgegen  verbesserter Klassifikator. Grundlagen der Kernel-Verfahren

11 Kernel-Perceptron Idee: Verwende Perceptron-Lernen im Feature Space.
Beginne mit beliebigen Startvektor w und prüfe sukzessive ob alle Eingabedatenpunkte xi richtig klassifiziert werden, d.h. sign(<xi,w>) = yi. Wird Vektor xi falsch klassifiziert addiere xi für yi = +1 bzw. subtrahiere xi für yi = -1. Wird Vektor xi richtig klassifiziert belasse w. Wiederhole diese Schritte bis w alle xi korrekt klassifiziert. Kernel-Perceptron

12 Kernelization des Perceptron-Algorithmus (1)
Satt Gewichtsvektor w wird dualer Gewichtsvektor  verwendet welcher wie folgt definiert ist Die Überprüfung sign(<xi,w>) = yi wird ersetzt durch wobei der (i,j)-te Eintrag der Kernel- Matrix G ist. Kernel-Perceptron

13 Kernelization des Perceptron-Algorithmus (2)
Satt Addition/Subtraktion von xi wird (xi) zu w addiert bzw. von w subtrahiert, d.h. Lediglich i-te Komponente des dualen Gewichts-vektors wird verändert Kernel-Perceptron

14 Soft Perceptron Kernel-Perceptron mit abgeschwächten/verstärkten Version Space-Bedingungen Idee: Update-Bedingung zunächst strenger aus-legen (kleinerer Version Space) und den Version Space danach sukzessive vergrößern, z.B. durch wobei k der Iterationsschritt und gi der i-te Spalten-vektor der Kernel Matrix G ist. Kernel-Perceptron

15 Existieren zahlreiche Modifikationen des Perceptron-Algorithmus, z.B.
Perceptron mit L2-Verlustfunktion Perceptron Algorithm with Margin (PAM) Pocket Perceptron Competitive Perceptron Voted Perceptron Bayes Perceptron Kombination mehrerer Ideen kann zu sehr guten Kernel Machines führen wie zum Beispiel dem Soft Bayes Perceptron. Kernel-Perceptron

16 Support-Vektor-Verfahren
Idee: Maximiere Abstand zwischen Trennebene und allen Punkten. Dieser Abstand heißt minimal geometrical margin und wird oft verkürzt margin genannt  Ergebnis der Support Vector Machine (SVM) ist der „Maximal Margin“-Klassifikator. Der minimal geometrical margin ist indirekt proportional zur Länge des Gewichtsvektors  Minimierung dieser Länge. Support-Vektor-Verfahren

17 Support-Vektor-Verfahren
„Maximal Margin“-Klassifikator entspricht dem Inkreismittelpunkt des (curved) Version Space. wi wi  Support-Vektor-Verfahren

18 Support-Vektor-Verfahren
Optimierungsproblem der SVM wird mit Hilfe des Lagrange-Ansatz in ein quadratisches Optimierungsproblem (QP) umgewandelt und durch QP-Solver gelöst. Durch Hinzufügen einer Verlust-Funktion erhält man die Soft margin SVM. Support-Vektor-Verfahren

19 Support-Vektor-Verfahren
Abhängig von der verwendeten Verlust-Funktion unterscheidet man hard margin SVM (total loss = keine Verlust-Funktion) L1-SVM (hinge loss) L2-SVM (squared hinge loss) R1-SVM (-insenstive loss, modulus loss für  = 0) R2-SVM (squared -insenstive loss, (least) square loss für  = 0) Verfahren die „Maximal Margin“-Klassifikator approximieren, z.B. Sparse SVM. Support-Vektor-Verfahren

20 Analytic Center Machine
Idee: Anstelle des Inkreismittelpunktes bestimmt Analytic Center Machine (ACM) den Mittelpunkt der größten, in VS einbeschreibaren Ellipse. Dieser Punkt heißt Analytic Center und ist definiert durch wobei VS der curved Version Space ist. Analytic Center Machine

21 Analytic Center Machine
Daraus ergibt sich das Optimierungsproblem welches mit Hilfe des Lagrange-Ansatzes in ein Nullstellenproblem überführt werden kann. Analytic Center Machine

22 Analytic Center Machine
Dieses Nullstellenproblem wird mit Hilfe des Newton-Verfahrens gelöst, d.h. und werden so gewählt, dass im k-ten Iterationsschritt. Unter Vorgabe einer gültigen Startlösung konvergiert das Verfahren i.d.R. nach 10 – 30 Iterationen. Analytic Center Machine

23 Bayes-Point-Klassifikatoren
Bayes Point Machines (BPM) approximieren den Bayes-Klassifikator, d.h. sie bestimmen den Schwerpunkt des Version Space. Schwerpunkt wird auch mit Masse-Schwerpunkt, Centroid oder Bayes Point bezeichnet. Genau Berechnung des Schwerpunktes in O(n!)  Näherungsverfahren wie Direct BPM, Balancing Board Machine, Billiard BPM usw. Bayes-Point-Klassifikatoren

24 Bayes-Point-Klassifikatoren
Direct Bayes Point Machine Idee: Berechnung aller Eckpunkte des curved Version Space  Mittelwert dieser Eckpunkte liegt nahe des Schwerpunktes. wobei Berechnung nur möglich wenn Dimension des Feature Space groß genug, so dass Kernel Matrix G invertierbar ist. Bayes-Point-Klassifikatoren

25 Bayes-Point-Klassifikatoren
Balancing Board Machine (1) Gekrümmte Fläche des curved Version Space wird durch Polygon (Board) approximiert. Bayes-Point-Klassifikatoren

26 Bayes-Point-Klassifikatoren
Balancing Board Machine (2) Idee: Wenn Board im Gleichgewicht liegt, ist der Auflagepunkt des Boards nahe dem gesuchten Schwerpunkt des Version Space. Board im Gleichgewicht wenn Board-Schwerpunkt = Auflagepunkt  Balancing Board Machine (BBM). Beginne mit beliebiger Startlösung w und berechne Schwerpunkt des durch w und V definierten Boards. Drehe Vektor w in Richtung dieses Schwerpunktes. Wiederhole diese Schritte bis Konvergenz erreicht. Berechnung des Board-Schwerpunktes aufwendig  Abschätzen der Randpolygone durch Kegel, somit Board von Ellipsoiden begrenzt (leicht berechenbar). Bayes-Point-Klassifikatoren

27 Bayes-Point-Klassifikatoren
Billiard Bayes Point Machine Idee: Punkte einer (hinreichend langen) Flugbahn eines Billardballs im Raum repräsentieren diesen Raum, d.h. Mittelwert all dieser Punkte entspricht Schwerpunkt des Raumes  Billiard BPM. Beginne mit beliebiger Startlösung w (Anfangsposition des Billardballs) und beliebiger Flugrichtung v. Lasse Billardball in Richtung v „fliegen“, und „reflektiere“ ihn an der ersten Wand (Rand des bounded Version Space) die er berührt, d.h. neue Position des Balls ist Berührungspunkt mit der Wand und neue Richtung ist reflektierte Richtung. Wiederhole letzen Schritt hinreichend oft und mittle über die gesamt Flugbahn. Mehrfache Wiederholung  stabileres Ergebnis. Bayes-Point-Klassifikatoren

28 p-Center Machine Idee: Verwendung des p-Center als Gewichtsvektor, da dieses i.d.R. näher am Schwerpunkt von VS als Inkreismittelpunkt oder Analytic Center Schneller zu berechnen als Schwerpunkt, weil p-Center-Algorithmus leicht parallelisierbar Zwei Implementierungen möglich: p-Center des bounded Version Space berechnen p-Center des curved Version Space bestimmen p-Center Machine

29 p-Center eines konvexen Bereiches
Beginne mit einer beliebigen Startlösung w und projiziere diesen Punkt auf alle Randflächen des Bereiches. Bestimme zusätzlich die, diesen Projektions- punkten, gegen- überliegenden Punkte und bilde den Mittelwert all dieser Randpunkte. Wiederhole diese Schritte bis Konvergenz erreicht. p-Center Machine

30 p-Center des bounded Version Space
Version Space ist unbegrenzt, sodass „gegenüberliegender Punkt“ nicht immer existiert  begrenzen des Version Space durch Kugel. Berechnung des p-Centers für diesen Bereich genauso wie zuvor, jedoch Kugeloberfläche als zusätzliche Projektions- und Randfläche. Kernelization des p-Center-Algorithmus für den bounded Version Space ergibt approximated p-Center Machine (approx. PCM). p-Center Machine

31 p-Center des curved Version Space
Curved Version Space ist gekrümmtes Polygon  Berechnung des p-Centers dieses Polygons. Wegen Krümmung keine Mittelung der Randpunkte, sondern Berechnung des mittleren Winkel bezüglich jeder Projektion und Drehung des Vektors w um den mittleren Winkel. Berechnung der Winkel effizient möglich da diese wiederum unabhängig von einander  parallelisierbar. Kernelization des Ansatzes ergibt exact p-Center Machine (exact PCM). p-Center Machine

32 Experimenteller Vergleich der Verfahren
Experimenteller Vergleich der Verfahren und Zusammenfassung Qualität der Verfahren stark abhängig von verwendetem Kernel, Kernel-Parametern, Anzahl Datenpunkte usw.  Vergleich und Bewertung der Kernel Machines schwierig. Für „saubere“ Daten sind Billiard BPM, ACM, und Bayes Perceptron am geeignetsten. Bei verrauschten Daten sind Direct BPM, PCM, und SVM i.d.R. besser. Experimenteller Vergleich der Verfahren

33 Experimenteller Vergleich der Verfahren
Qualität der Verfahren für Datensatz „Heart“ Kernel Machine RBF (hard margin) RBF (soft margin) Polynomial error dev. # SV (Soft) PA 21.69 3.45 68 17.45 3.21 162 22.00 3.67 72 (Soft) Bayes PA 21.00 3.16 129 17.18 3.06 20.75 2.91 133 L1-SVM 21.81 3.02 111 15.68 2.96 99 16.48 3.19 148 L2-SVM 15.71 2.97 150 16.08 3.35 LM-SVM 16.33 3.29 16.44 LS-SVM 22.24 3.08 15.72 2.92 16.10 3.40 Direct SVM 16.11 3.27 Sparse SVM 20.98 3.23 83 15.67 3.04 8 17.88 4.17 12 Exact ACM 18.59 3.28 16.24 3.30 15.96 3.38 Direct BPM 22.44 15.75 2.94 Approx. BBM 21.58 3.24 15.73 3.26 Billiard BPM 20.06 3.00 15.87 15.92 3.33 Exact PCM 20.43 3.03 16.06 3.36 Approx. PCM 3.22 15.61 3.01 3.85 Experimenteller Vergleich der Verfahren

34 Experimenteller Vergleich der Verfahren
Konvergenz-Eigenschaften für Datensatz „Heart“ Winkel Wiederholungen Experimenteller Vergleich der Verfahren

35 Experimenteller Vergleich der Verfahren
Zusammenfassung Zahlreiche verschiedene Kernel Machines. Qualitätsunterschiede oft gering bzw. abhängig von Daten und Parametern  theoretisch bessere Verfahren müssen nicht besser in der Praxis sein! Entscheidender ist effizienter Umgang mit Ressourcen (Speicher, Laufzeit, …) und Robustheit eines Verfahrens, d.h. Unabhängigkeit von Parametern.  Zukünftige Verfahren müssten Wahl der Kernel-parameter mit zum Gegenstand des Lernens machen – ähnlich Neuronaler Netze. Experimenteller Vergleich der Verfahren