Mechanische Oszillatoren Das Federpendel

Präsentation zum Thema: "Mechanische Oszillatoren Das Federpendel"—  Präsentation transkript:

1 Mechanische Oszillatoren Das Federpendel

2 Inhalt Modellsystem: Massenpunkt und Feder Details zu den Kräften
Aufbau der Bewegungsgleichung und ihre Lösung

3 Details zu den Kräften 1.) Ein Massenpunkt liefert die Trägheitskraft, nach Newton und d‘Alembert 2.) Die Feder sorgt für eine „rücktreibende Kraft“, die proportional zur Auslenkung ist, „Hookesches Gesetz“ Zu diesen Schwingungen tragen mechanische und elektromagnetische Kräfte bei Die für die Elastizität der Feder verantwortlichen Kräfte sind zwischenatomare elektrische Wechselwirkungen

4 Feder Kenngröße Einheit Bezeichnung Federkonstante

5 Feder – das Hookesche Gesetz
Einheit 1N Kraft zur Verformung der Feder um die Länge s 1 N/m Die Federkonstante

6 Feder und Massenpunkt Coulomb-Kraft Trägheits-Kraft
In dieser und den folgenden Darstellungen halten zwei - z. B. zwischen zwei Wänden befestigte - Federn eine Kugel in ihrer Mitte. Bei Auslenkung der Kugel erzeugen beide Federn eine rücktreibende Kraft, die in den Rechnungen als Kraft von einer einzigen Feder behandelt wird

7 Kräftesumme mit Trägheitskraft
Abbildung: Jean Le Rond d´Alembert, , Mathematiker, Philosoph und Literat Die dadurch entstehende Differentialgleichung ist die „Bewegungsgleichung“

8 Feder und Massenpunkt – die Bewegungsgleichung
Einheit Bezeichnung 1 N Federkraft Trägheitskraft Schwingungs-gleichung d‘ Alembertsches Prinzip

9 Geradlinige Bewegung mit Weg-Zeitgesetz nach der Sinus-Funktion: „Harmonische Schwingung“

10 Lösung der Schwingungsgleichung
Einheit Bezeichnung 1 m Ansatz für die Auslenkung 1 m/s2 Beschleunigung 1N Schwingungs-gleichung s Periode der Schwingung 1 /s Frequenz der Schwingung

11 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung bei einer harmonischen Schwingung

12 Weg: s(t) = s0 · sin ωt Geschwindigkeit: v(t) = s0 · ω · cos ωt
(um π/2 verschobene Sinus-Funktion) Beschleunigung: v(t) = - s0 · ω2 · sin ωt (um π verschobene Sinus-Funktion) m s m/s s m/s2 s

13 Eigenschaft der Sinus-Funktion bei ihrer Ableitung:
Diese Funktion ist „Form-invariant“ Es ändern sich nur die Amplitude die Phase (Maß für die Verschiebung der Funktion auf der Zeit-Achse) Analoges gilt für ihre Integration

14 Versuche zur periodischen Bewegung
Feder-Pendel „Fadenpendel“ Wagen zwischen zwei Federn

15 Eigenschaften von Oszillatoren und ihren Schwingungen
Sinusförmige Variation des „Signals“ Die Verkleinerung der Bauteile erhöht die Frequenz Generell gilt: Je kleiner der Oszillator, desto höher ist die Frequenz

16 Zusammenfassung Modellsystem: Massenpunkt und Feder
Details zu den Kräften: Der Massenpunkt liefert die Trägheitskraft F=m · ̈s [N] Die Feder erzeugt die „rücktreibende Kraft“, proportional zur Auslenkung: „Hookesches Gesetz“, F = k · s [N] Einzig mögliche Bewegung des Systems nach einer Auslenkung: Harmonische Schwingung Auslenkung s(t) = s0 · sinωt [m] Es folgt das Quadrat der Kreisfrequenz ω2 = k / m [1/s2] , Federkonstante k [N/m], Masse des bewegten Körpers m [kg] Kleinere Massen oder härtere Federn erhöhen die Frequenz Generell gilt: Je kleiner der Oszillator, desto höher ist die Frequenz

17 finis