Vier/Fünf-Farben-Satz

Präsentation zum Thema: "Vier/Fünf-Farben-Satz"—  Präsentation transkript:

1 Vier/Fünf-Farben-Satz
Gliederung: 1. Geschichte des Vier-Farben-Satzes 2. Induktionsbeweis 3. Fünf-Farben-Satz 3.1 Graphendefinition 3.2 Vorbereitung 3.3 Beweis

2 1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz
1. Geschichte des Vier-Farben-Satzes 1842 erste Vermutung durch Francis Guthrie 1879 erster „Beweis“ durch Alfred Kempe, 11 Jahre später wurde dieser wiederlegt 1890 fehlerfreier Beweis für den Fünf-Farben-Satz durch Percy Heawood Die erste „Beweise“ lieferten die Grundlage für den späteren Endbeweis.

3 1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz
1. Geschichte des Vier-Farben-Satzes 1977 erster fehlerfreie Beweis durch Ken Appel und Wolfgang Haken (Computerbeweis!) Erstes großes mathematisches Problem, welches mit Hilfe eines Computers gelöst wurde. Von einigen Mathematikern nicht anerkannt!

4 1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz
1. Geschichte des Vier-Farben-Satzes „Ein guter Beweis liest sich wie ein Gedicht, dieser sieht aus wie ein Telefonbuch!“

5 1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz
2. Induktionsbeweis ... oder „der Schluss von n auf n+1“ Vermutung: Eine bestimmte Aussage gilt für alle natürlichen Zahlen 5.Peano-Axiom (Induktionsaxiom): „Ist K eine Teilmenge von N mit den Eigenschaften, dass 0 (bzw. 1) in K liegt und für jedes Element k von K auch k+1 in K liegt, dann ist k gleich N.“

6 1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz
2. Induktionsbeweis ... oder „der Schluss von n auf n+1“ Induktionsanfang: Überprüfen der Gültigkeit für n=0 (n=1) Induktionsannahme: Aussage gilt für n=k Induktionsschritt: folgt aus der Annahme, dass die Aussage ebenfalls für n=k+1 gilt, dann gilt sie für alle

7 1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz
2. Induktionsbeweis ... oder „der Schluss von n auf n+1“ Beispiel: Gaußsche Summenformel Behauptung:

8 1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz
2. Induktionsbeweis ... oder „der Schluss von n auf n+1“ Induktionsanfang: Gilt die Gaußsche Summenformel für n=1? Induktionsannahme: Gaußsche Summenformel gilt für n=k

9 1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz
2. Induktionsbeweis ... oder „der Schluss von n auf n+1“ Induktionsschritt: Folgt aus der Induktionsannahme das die Summenformel auch für n=k+1 gilt?

10 1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz
2. Induktionsbeweis ... oder „der Schluss von n auf n+1“ Aus der Induktionsannahme folgt:

11 1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz
2. Induktionsbeweis ... oder „der Schluss von n auf n+1“

12 1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz
3.1 Graphendefinition Paar der endlichen Mengen E und V V: Menge der im Graph enthaltenen Knoten E: Menge der Kanten des Graphen Es gilt: und Planarer Graph: Graph, der sich in der Ebene darstellen lässt, ohne dass sich die Kanten schneiden

13 1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz
3.2 Vorbereitung Umformulierung des Problems: - Karte wird als Graph betrachtet. - Ecken sind Länder, - Kanten sind zwischen den Ecken zweier benachbarter Länder

14 1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz
3.2 Vorbereitung Eulersche Polyederformel: ebener Graph mit e Ecken hat höchstens 3e-6 Kanten

15 1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz
3.2 Vorbereitung Durchschnittsgrad: durchschnittliche Anzahl der Kanten an einer Ecke d<6  mindestens eine Ecke mit 5 oder weniger Kanten

16 1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz
3.3 Beweis G sei ein ebener Graph mit e > 5 Nachbarecken G enthält v mit Ecken Es sei G’ = G ohne v und ohne die an v angrenzenden Kanten G’ ebener Graph mit e-1 Ecken (nach Induktionsvoraussetzung fünffärbbar) G’ sei fünfgefärbt

17 1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz
3.3 Beweis Fall1: an v angrenzende Kanten v wird in einer bei den Nachbarn nicht verwendeten Farbe gefärbt Fall 2: an v angrenzende Kanten =5 Fall 2a: an v angrenzende Ecken in weniger als 5 verschiedenen Farben gefärbt. v wird in einer bei den Nachbarn nicht verwendeten Farbe gefärbt Fall 2b: an v angrenzende Ecken in 5 verschiedenen Farben gefärbt

18 1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz
3.3 Beweis Fall 2b Umfärben: Wir betrachten: r und b Versuch r blau zu färben um v rot zu färben blaue an r grenzende Ecken werden rot gefärbt. Rote an diese Ecken werden blau gefärbt usw.

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3.3 Beweis Rot-Blau-Weg: wenn b mit r über den rot-blau-weg verbunden ist, ist das Umfärben hoffnungslos Orange-Grün-Weg vorhanden??  fünffärbbar

20 Vielen Dank für Ihre/Eure Aufmerksamkeit!

21 Quellen: http://de.wikipedia.org/wiki/Ebener_Graph