Matrizen M. Bostelmann - Neuhäusel 2005.

Präsentation zum Thema: "Matrizen M. Bostelmann - Neuhäusel 2005."—  Präsentation transkript:

1 Matrizen M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

2 Marktforschung Ein Marktforschungsinstitut wird von einem Verlag damit beauftragt, das Kaufverhalten der Kunden von Fernsehzeitschriften zu untersuchen. Dies soll Hilfen für spätere Marketingentscheidungen liefern. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

3 Modell Vereinfachungen 2 Zeitschriften A und B
die Gesamtzahl der Kunden bleibt konstant der Marktmechanismus bleibt konstant M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

4 Daten Das Institut ermittelt mit Hilfe von Umfragen folgende Daten:
Zeitschrift A hat 2000 Kunden Zeitschrift B hat 3000 Kunden pro Woche wechseln 20% der A-Kunden nach B pro Woche wechseln 5% der B-Kunden nach A M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

5 Diskussion Wie entwickeln sich die Kunden-zahlen über einen längeren Zeitraum? irgendwann kaufen alle Kunden die Zeitschrift B die Kundenzahlen oszillieren es stellt sich ein Gleichgewicht ein M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

6 Übergangstabelle M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

7 Übergangsgraph M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

8 Baumdiagramm M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

9 Erste Prognose Nach zwei Wochen A: 1280 + 20 + 120 + 142,5 = 1562,5
B: ,5 = 3437,5 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

10 Entwicklung Untersuchen Sie die Entwicklung der Kunden-zahlen über einen Zeitraum von 10 Wochen. Verwenden Sie Excel !!! M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

11 Excel-Eingabe =B5*(1-$B$1)+C5*$B$2 =C5*(1-$B$2)+B5*$B$1 Kopieren
Einfügen M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

12 Excel-Ergebnis M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

13 Excel-Grafik M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

14 Die Kundenzahlen von A sinken, die von B steigen.
Zwischenbilanz Die Kundenzahlen von A sinken, die von B steigen. Fragen Hält diese Tendenz an? Hat A irgendwann keine Kunden mehr? Was passiert, wenn A zu Beginn mehr (noch weniger) Kunden hat ? M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

15 Dynasys Modell Definitionen Startwerte A:=2000 B:=3000 Ventile
A_nach_B:=0.2*A B_nach_A:=0.05*B M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

16 Dynasys Simulationsparameter M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

17 Dynasys Zeitdiagramm M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

18 Dynasys Simulation M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

19 Dynasys Tabelle M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

20 Dynasys Simulation M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

21 Dynasys Simulation über 50 Wochen M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

22 Dynasys Anfangswerte A=4000 ; B=1000 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

23 Dynasys Anfangswerte A=0 ; B=5000 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

24 Dynasys Zeitliche Abhängigkeit der Änderungsraten
M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

25 Dynasys Vergleich von A und dA bei gleicher Skalierung
M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

26 Dynasys Vergleich von A und dA bei ungleicher Skalierung
M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

27 Schematisierung Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000
Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: Aneu : 0,8· ,05·3000 Bneu : 0,2· ,95·3000 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

28 Schematisierung Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000
Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: Aneu : 0,8· ,05·3000 Bneu : 0,2· ,95·3000 Matrix M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

29 Schematisierung Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000
Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: Aneu : 0,8· ,05·3000 Bneu : 0,2· ,95·3000 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

30 Schematisierung Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000
Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: Aneu : 0,8· ,05·3000 Bneu : 0,2· ,95·3000 Vektor M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

31 Schematisierung = Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche:
M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

32 Schematisierung = Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche:
M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

33 Schematisierung = Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche:
alter Kunden-vektor neuer Kunden-vektor Übergangs-matrix M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

34 Definition Ein rechteckiges Zahlenschema mit n Reihen und m Spalten heißt (n x m)-Matrix. Eine (n x 1)- bzw. (1 x m)-Matrix heißt auch Spaltenvektor bzw. Zeilenvektor M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

35 Multiplikation Für das Produkt einer 2x2-Matrix mit einem 2x1-Vektor definieren wir M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

36 Symbolisierung Für Vektoren verwenden wir Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber, für Matrizen Großbuchstaben. Anfänglicher Kundenvektor: Übergangsmatrix: M = Damit ergibt sich M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

37 Eingabe bei Derive Eingabe Anzeige Zeilenvektor [1,2,3] Spaltenvektor
[1;2;3] Matrix [1,2,3;4,5,6] M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

38 Berechnung mit Derive Eingabe des anfänglichen Kundenvektors und der Übergangsmatrix. Initialisierung des Kundenvektors k. Berechnung des neuen Kundenvektors Eingabe abschließen durch Mausklick auf Approximieren. Keinesfalls die Enter-Taste verwenden!!! M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

39 Berechnung mit Derive Durch mehrmaliges Klicken mit der Maus auf Approximieren erhält man eine Folge von Kundenvektoren, die die zeitliche Entwicklung des Kundenstamms zeigt. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

40 Iteration Bei der iterativen Berechnung von z.B. k2 haben wir gerechnet Sollte man das vielleicht auch so berechnen können? Dazu müsste eine Multiplikation von Matrizen definiert werden. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

41 Matrizenmultiplikation
Wir berechnen k1 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

42 Matrizenmultiplikation
und dann k2 Das sollte dann M2 sein M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

43 Matrizenmultiplikation
Damit ergibt als Definition für die Multiplikation von zwei 2x2-Matrizen: M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

44 Prognose Damit können wir nun Prognosen für beliebige Zeiträume
auch ohne Iteration berechnen. Nach 10 Wochen: M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

45 Berechnung mit Derive Eingabe Vereinfachen ergibt
M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

46 Berechnung mit Derive Eingabe Vereinfachen ergibt
M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

47 Berechnung mit Derive Eingabe Vereinfachen ergibt
M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

48 Stabiler Kundenvektor
Offenbar beschreibt der Vektor ks= eine stabile Situation bzw. ein dynamisches Gleichgewicht. Mathematisch bedeutet dies Mit Hilfe dieser Gleichung sollte sich ks auch direkt berechnen lassen. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

49 Berechnung von ks ® ® Aus folgt Und daraus das LGS 0.8x + 0.05y = x
0.2x y = y bzw. -0.2x y = 0 0.2x y = 0 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

50 Berechnung von ks -0.2x + 0.05y = 0 0.2x - 0.05y = 0
Dieses LGS ist jedoch nicht eindeutig lösbar! Wir müssen aber auch noch x + y = 5000 berücksichtigen. Damit ergibt sich das LGS 0.2x y = 0 x y = 5000 mit der eindeutigen Lösung x=1000 und y=4000 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

51 Lösung mit Derive Eingabe
Mit Mausklick auf „Eingeben und Vereinfachen“ erhält man die Lösung M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

52 Ergebnis Die Kundenverteilung stabilisiert sich.
Der stabile Kundenvektor ks lässt sich mit Hilfe der Gleichung M·ks=ks und der konstanten Kundensumme berechnen. Insbesondere ist das LGS nicht von einer speziellen Anfangsverteilung der Kunden abhängig. Also ist auch der stabile Kundenvektor unabhängig von der Anfangsverteilung der Kunden! M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

53 Grenzmatrix Untersucht man mit Derive Potenzen der
Überführungsmatrix, so stellt man fest, dass auch hier eine Stabilisierung stattfindet. Offenbar gilt mit der Grenzmatrix MG. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

54 Grenzmatrix Die Grenzmatrix überführt den Anfangsvektor direkt
in den stabilen Vektor. Sowohl die Grenzmatrix als auch der stabile Vektor sind von einer speziellen Anfangsverteilung unabhängig. Statt der Gesamtzahl der Kunden (5000) kann man auch von einer Gesamtmenge von 100% bzw. 1 ausgehen. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

55 Grenzmatrix Der Anfangsvektor kann dann in der Form
geschrieben werden. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

56 Grenzmatrix Durch Multiplikation mit der Grenzmatrix erhält
man die erste bzw. zweite Spalte dieser Matrix: Daraus folgt: Die Spalten der Grenzmatrix stellen den stabilen Vektor dar. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005