§ 28 Multilineare und Alternierende Abbildungen

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1 § 28 Multilineare und Alternierende Abbildungen
Auf dem Wege zum Begriff der Determinante: (28.1) Definition: V und W seien wieder ein K-Vektorräume. Eine Abbildung heißt multilinear, wenn sie in jedem Argument linear ist, dh. wenn für feste v1, v2, ... , vj-1, vj+1, ... , vp aus V die Abbildung von V nach W stets linear ist. Man spricht stattdessen auch von p-linear, wenn die Anzahl p der Faktoren betont werden soll, so zum Beispiel von bilinear oder 2-linear, trilinear, 5-linear, etc. Der Begriff der Multilinearität gibt auch Sinn für Abbildungen

2 Kapitel V, § 28 Wichtiger Fall für die Einführung von Tensoren:
(28.1) Beispiele: 1o Lineare Abbildungen sind 1-linear. 2o Bilinearformen, wie in § 25 studiert. Das Kreuzprodukt ist auch bilinear. Und auch die in § 26 eingeführte Determinante. 3o Hier eine Trilinearform: mit ελμν wie oben. 4o Es seien p Linearformen f1, f2, ... , fp auf V gegeben. Dann ist das Produkt stets p-linear.

3 Kapitel V, § 28 5o V habe die geordnete Basis b = (b1,b2, ... ,bn) . Dann hat jede p-lineare Abbildung die Form mit den eindeutig bestimmten So lassen sich p-lineare Abbildungen also definieren!  Eine p-lineare Abbildung lässt sich im Fall V = Kn auch verstehen als Abbildung von Kpxn nach W . Das ist (mit W = K) der Blickpunkt, der für die Determinanten eingenommen wird. Für die Determinante von (2,2)-Matrizen (§ 26) gilt aber zusätzlich: Sie ist alternierend! (28.3) Definition: Eine p-lineare Abbildung φ von Vp nach W ist alternierend (oder antisymmetrisch), wenn stets für Vektoren v1,v2, ... ,vn aus V und j < k .

4 Kapitel V, § 28 (28.4) Satz: K sei Körper der Charakteristik ungleich 2 . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent für eine p-lineare Abbildung 1o φ ist alternierend. 2o Für alle v1,v2, ... ,vp aus V ist φ(v1,v2, ... ,vp) = 0 , wenn vj = vk für ein Paar (j,k), j < k . 3o Für alle v1,v2, ... ,vp aus V und für j < k ist stets φ(v1,v2, ... , vj, ... ,vp) = φ(v1,v2, ... , vj + vk, ... ,vp) . 4o Für alle v1,v2, ... ,vp aus V und sk aus K mit sj = 0 ist stets φ(v1,v2, ... , vj, ... ,vp) = φ(v1,v2, ... , vj + skvk, ... ,vp) . 5o Für alle v1,v2, ... ,vp aus V mit rg(v1,v2, ... ,vp) < p ist φ(v1,v2, ... ,vp) = 0 . 6o Für alle v1,v2, ... ,vp aus V ist φ(v1,v2, ... ,vp) = 0 , wenn vj = vj+1 für ein j < p .

5 Kapitel V, § 28 7o Für alle v1,v2, ... ,vp aus V und j < p ist
φ(v1,v2, ... ,vj, vj+1, ... ,vp) = – φ(v1,v2, ... ,vj+1, vj, ... ,vp) . 8o Für alle v1,v2, ... ,vp aus V und jede Permutation σ aus Sp gilt φ(v1,v2,... ,vp) = sgn(σ)φ(vσ(1),vσ(2), ... ,vσ(p)) .  Zusatz: Für allgemeine Körper sind 1o, 7o und 8o zueinander äquivalent und ebenso 2o, 3o, 4o, 5o, 6o . Ferner folgt 1o, 7o bzw. 8o aus 2o, 3o, 4o, 5o oder 6o . (28.5) Folgerung: Eine n-lineare und alternierende Abbildung auf einem Vektorraum der Dimension n mit Basis b ist von der Form Dabei ist φ0 = φ(b1,b2, ... ,bn) aus W ( char(K) nicht Null).