beschleunigtes, rotierendes System

Präsentation zum Thema: "beschleunigtes, rotierendes System"—  Präsentation transkript:

1 beschleunigtes, rotierendes System
4. Beschleunigte Bezugssysteme und starre Körper 4.1. Translation und Rotation, Scheinkräfte Translation: Rotation: fest x y z φ Momentane Winkelgeschwindigkeit beschleunigtes, rotierendes System Allgemein: Überlagerung Σ Inertialsystem ( ruhendes Referenzsystem ) m

2 m Σ Kinematik (vgl. Theorie):  Dynamik:
Inertialsystem ( ruhendes Referenzsystem ) m beschleunigtes, rotierendes System Kinematik (vgl. Theorie): Translation Rotation  Dynamik: Trägheitskräfte („Scheinkräfte”)

3 (falls Masse an Waage fixiert)
Beispiel 1: Geradlinig beschleunigte Bewegung Anzeige der Waage: Waage m Realisierung: Freier Fall: „Schwerelosigkeit” Rakete: Sturzflug: (falls Masse an Waage fixiert)

4 m . Beispiel 2: Gleichförmige Rotation m Coriolis-Kraft
x y z m Beispiel 2: Gleichförmige Rotation Coriolis-Kraft Zentrifugal-kraft Coriolis-Kraft: v-abhängig Zentrifugalkraft: radial, -abhängig m . Zentrifugal-kraft

5 ω Beispiel: Raumfahrt F = 0 Künstliche Schwerkraft „Unten“ = radial
Schwerelosigkeit im Orbit Künstliche Schwerkraft „Unten“ = radial ω F = 0

6  feste Position ( Kräftefreiheit )
Geostationäre Bahn: Satellit  Erde 1. Sichtweise:  in Erde, nicht rotierend  Kreisbewegung 2. Sichtweise: erdfest, rotierend  feste Position ( Kräftefreiheit ) 3. Sichtweise: im Satellit, nicht rotierend  feste Position ( Kräftefreiheit )

7 Gravitationskraft des Mondes
Beispiel: Geodit (Erdform)  Rotationsellipsoid definiert NN (Normal-Null), RÄquator  RPol  20 km Beispiel: Gezeiten Erde Mond Schwerpunkt: Σ Flutberg Flutberg Gravitationskraft des Mondes Zentrifugalkraft durch Rotation um Schwerpunkt

8 Beispiel: Foucault-Pendel
Berlin:   52,5 TS  30,25 h S  11,9  h Erde  Pendel hängt „schief“ : Corioliskraft Pendelebene (Aufsicht, Nordhalbkugel) Σ: Erde dreht sich unter Pendel durch

9 Beispiel: Hurricane

10 4.2. Dynamik des starren Körpers
Bewegung des starren Körpers Def.: Starrer Körper  System von Massenpunkten fester Relativkoord. dm dV M O Homogene Körper  Komponenten der Bewegung: Translation: Massenpunkte laufen auf kongruenten Bahnen Rotation: Massenpunkte laufen auf konzentrischen Kreisen

11 Def.: Massenmittelpunkt (MMP)
Folgerung: Gesamtimpuls Bewegungsgl.:  Translationsbewegung: Der MMP bewegt sich wie ein Massen- punkt der Masse M unter dem Einfluss der externen Kräfte Dieser Teil ist also gewöhnliche Punktmechanik. Dieses Kapitel: Rotationsbewegung um den ruhenden MMP

12 . Experimentelle Bestimmung des Massenmittelpunkts: MMP Stabile Lage
Mg MMP Stabile Lage Experiment: MMP

13 Experiment: Stabilität des schiefen Turms
MMP MMP Mg MMP Mg Mg stabil labil instabil

14 (nicht notwendig um MMP)
Rotationsenergie dm r Def.: Trägheitsmoment (bezüglich der Drehachse) Drehachse (nicht notwendig um MMP) Folgerung:

15 0,4 : 0,5 : 0,667 : 1 Beispiel: Vollzylinder (  Tafelrechnung) z L
Achse z L Vergleich: Vollzylinder: Hohlzylinder: Vollkugel: Hohlkugel: 0,4 : 0,5 : 0,667 : 1

16 Zylinder auf schiefer Ebene
Beispiel: „Rollende“ Zylinder h M Δt ω Zylinder auf schiefer Ebene M Abrollender Faden Energiebilanz (  Tafelrechnung ) 

17 Beispiel: Maxwell-Rad
Faden 2r Drehachse m R h M Tafelrechnung 

18 Folgerung: Steinerscher Satz
Totale kinetische Energie: Rotation um MMP: MMP S Drehachse (nicht um MMP) Translation von MMP: (Kreisbewegung um Achse) Rotation um Drehachse:  Steinerscher Satz: Es reicht, Drehachsen zu betrachten, die durch den MMP gehen. Die Übersetzung auf parallelverschobene Achsen ist trivial.

19 4.2.3. Drehmoment und Drehimpuls ( vgl. Theorie)
Translation  Rotation Masse m  Trägheitsmoment (bzgl. Drehachse) Geschwindigkeit  Winkelgeschwindigkeit Kinetische Energie  Rotationsenergie

20 Translation  Rotation
Impuls  Drehimpuls Kraft  Drehmoment Bewegungsgleichung 

21 Bewegungsgleichung der Rotation:
Referenzpunkt Folgerung: Drehimpulserhaltung Wirken keine äußeren Drehmomente auf einen Körper (bzgl. eines Referenzpunktes), bleibt der Drehimpuls (bzgl. des Referenzpunktes) konstant.

22 Beispiel: Drehschwingungen Steinerscher Satz
M, J R Teller Rückstell-feder Dreh-achse φ (Tafelrechnung) t Periode T φ

23 T2 R2 α

24 Experiment: Rolle mit Faden
Kein Drehmoment

25 4.2.4. Trägheitstensor ( vgl. Theorie)
in Komponenten mit und Trägheitstensor Trägheitstensor  Körpereigenschaft, unabhängig von Drehachse symmetrisch: positiv definit:

26 H S H Beispiel: Rotation des H2-Moleküls „Unwucht”  präzediert um
 es wirkt „Unwucht” S H Feste Drehachse

27 S Beispiel: Körper mit Rotationssymmetrie
 Töpferei Schwerpunkt liegt auf Symmetrieachse Spezialfall: Drehung um Symmetrieachse S

28 Zusammenhang von J bzgl. Drehachse mit Tensor :
Folgerung: Folgerung:

29 Definition: Trägheitsellipsoid  alle mit
z P y x Tafelrechnung  steht senkrecht auf Trägheitsellipsoid  i.a. gilt

30 Hauptachsen des Trägheitsellipsoiden:
Drehung ( x , y , z )  (  ,  ,  ) sodass y z x ζ Hauptträgheitsmomente (HTM) ξ   große Halbachse   mittlere Halbachse   kleine Halbachse η Hauptachsen ξ, η, ζ stehen senkrecht auf Oberfläche Folgerung: falls

31 Definition: Asymmetrische Kreisel: Jζ  Jη  Jξ  Jζ
Buch N O NO2 - Molekül ζ η ξ Symmetrische Kreisel: 2 HTMe gleich, z.B. Rotationskörper Prolate Kreisel: Jζ < Jη  Jξ Oblate Kreisel: Jζ  Jη  Jξ a η ξ ζ ζ η ξ Sphärische Kreisel: Jζ  Jη  Jξ Trägheitsellipsoid  Kugel Kugel η ξ ζ ξ Würfel η ζ

32 (samt Entartung bei Symmetrie)
Definition: Freie Achsen  Mögliche Drehachsen ohne äußere Drehmomente Wegen folgt: (samt Entartung bei Symmetrie) Stabilität freier Achsen: ( vgl. Theorie) große Halbachse   stabil gegen kleine Störung mittlere Halbachse   instabil kleine Halbachse   stabil

33 4.3. Der Kreisel Bisher: feste bzw. freie Drehachse
Kreisel: fester Punkt, bewegliche Drehachse Beispiele: kräftefreie Körper  fester Massenmittelpunkt (MMP) gestützter Kreisel Unterstützung in S  kräftefreier Kreisel Schwerpunkt S Unterstützung jenseits S  Gravitation Drehmoment  Präzedierender Kreisel

34 Jx  Jy z y x 4.3.1. Kräftefreier symmetrischer Kreisel S Nutation
Symmetrieachse = Figurenachse = Hauptachse Drehachse (körperfest) (im raumfesten System) y Nutation S x körperfestes, rotierendes Hauptachsensystem Jx  Jy

35 Lz Ly Lx Nutation von Figurenachse und Drehachse:
liegt auf Schnittkurve Lx , Ly , Lz: körperfeste Komponenten Lz Ellipsoid rotiert im raumfesten System um rotiert im körperfesten System um Schnittkurve raum- und körperfeste Kugel: körperfester Ellipsoid: Ly Lx

36 z z β α α β Nutation im raumfesten (nicht rotierenden System):
Rastpolkegel, Öffnungswinkel βα (Ort der momentanen Drehachse) Figurenachse z z β α Lz  Jz · ωz α Nutationskegel Öffnungswinkel α β Gangpolkegel, Öffnungswinkel β (rollt auf Rastpolkegel ab) 

37 4.3.2. Präzession des symmetrischen Kreisels
Betrachte Figurenachse  keine Nutation i) Präzession des Gyroskops: Faden  m Laufachse S Tafelrechnung 

38 ii) Kinderkreisel α (  const. ) S ωP α α Tafelrechnung 

39  Nord – Süd – Ausrichtung
iii) Kreiselkompass Drehmoment durch Erddrehung   Nord – Süd – Ausrichtung Erddrehung ωE West Ost

40 iv) Erdpräzession S1 Ekliptik S2 Erde zur Sonne (Rotationsellipsoid)
Sonnenanziehung  Zentrifugalkraft Sonnenanziehung  Zentrifugalkraft 23,5° S1 zur Sonne Ekliptik (Ebene der Erdumlaufbahn um die Sonne) S2 Erde (Rotationsellipsoid) Zusätzlich: Rotationsachse  Figurenachse  Nutation