Die Vermessung der Milchstraße: Hipparcos, Gaia, SIM

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1 Die Vermessung der Milchstraße: Hipparcos, Gaia, SIM
Vorlesung von Ulrich Bastian ARI, Heidelberg Sommersemester 2004

2 Gliederung Populäre Einführung I: Astrometrie
Populäre Einführung II: Hipparcos und Gaia Wissenschaft aus Hipparcos-Daten I Wissenschaft aus Hipparcos-Daten II Hipparcos: Technik und Mission Astrometrische Grundlagen Hipparcos Datenreduktion Hauptinstrument Hipparcos Datenreduktion Tycho Gaia: Technik und Mission Gaia Global Iterative Solution Wissenschaft aus Gaia-Daten Sternklassifikation mit Gaia SIM und andere Missionen

3 Einige mathematische und astronomische Grundlagen
Astrometrie: Einige mathematische und astronomische Grundlagen

4 Heute drei Themen: 1) Messgenauigkeit
Unterschied Winkelauflösung / Messgenauigkeit Cramer-Rao-Limit 2) Modellierung der Objekte (Sternbewegung im Raum) 3) Modellierung der Messung (proper direction) Relativistische Sichtweise

5 1) Astrometrische Messgenauigkeit
Alle wesentlichen astrometrischen Effekte sind sehr klein, deshalb ist Astrometrie stets ein Kampf um die höchstmögliche Genauigkeit. Ein Faktor 2 in der Messgenauigkeit bringt einen Faktor 2 in der erreichbaren Entfernung, das bedeutet einen Faktor 8 im erreichbaren Volumen. 1a) Unterschied zwischen Winkelauflösung und Messgenauigkeit Diese beiden Größen (beide in Bogensekunden auszudrücken!) werden sehr oft verwechselt. Die Winkelauflösung ist ein Maß für den Durchmesser eines registrierten Sternbilds, die astrometrische Messgenauigkeit ist ein Maß für die Genauigkeit, mit der ich seine geometrische Mitte bestimmen kann. 1b) Cramer-Rao Limit Wie genau kann man überhaupt messen? Siehe separate pdf-Datei ‚cramer-rao-limit.pdf‘

6 2) Modellierung der Objekte (Sternbewegung im Raum)
Ein astrometrisches Instrument misst an sich nur Positionen (oder sogar nur Einzelkoordinaten) von Objekten zu bestimmten Zeitpunkten. Das ist aber nicht das, was den Astronomen interessiert. Er will zusammengefasste Ergebnisse, die sog. astrometrischen Parameter: Eigenbewegung, Parallaxe, Ausgangsposition zu einem festen Zeitpunkt, evtl. Bahnparameter bei Doppelsternen. Im Folgenden wollen wir uns mit der Definition dieser Größen und ihrer Anwendung etwas näher beschäftigen. Und dabei die vektorielle Darstellung astrometrischer Größen und Sachverhalte einführen. Jargon: Die Berechnung der Position eines Sterns für einen beliebigen Zeitpunkt t aus den astrometrischen Parametern, die für einen festen Zeitpunkt t0 gelten, heißt Epochentransformation. Die beteiligten Zeitpunkte werden auch als Epochen bezeichnet (speziell Beobachtungsepoche und Bezugsepoche oder Katalogepoche).

7 Definition: Gar zu einfache Umkehrung führt zu Unsinn: Über lange Zeiten generell In der Nähe des Pols

8 Gebräuchliche Modelle für Epochentransformation:
Konstante Zeitableitungen der Koordinaten Konstante Bewegung auf einem Großkreis Konstante Bewegung im dreidimensionalen Raum - Bewegung auf Großkreis - perspektivische Beschleunigung bzw. Verlangsamung - Radialgeschwindigkeit notwendig - Entfernung notwendig - Messung im Prinzip auch rein astro- metrisch möglich, aber Trennung von Doppelsternbahn i.a. unmöglich Konstante Bewegung plus Doppelsternbahn

9 Definition 1: Astrometrische Parameter, Bedeutung
Die 5 astrometrischen Parameter (2 Koordinaten, 2 Eigenbew.-Komponenten, Parallaxe) eines Sterns im Hipparcos-Katalog beschreiben seine Bewegung relativ zum Massenzentrum (Baryzentrum) des Sonnensystems - in einer Ebene, die senkrecht zur Blickrichtung liegt. Bei konstanter Bewegung im Raum sind diese Parameter zeitlich variabel. Die im Katalog gegebenen Werte beziehen sich deshalb auf einen festen Zeitpunkt („Katalogepoche“, bei Hipparcos J ) und werden mit dem Index „0“ versehen. Die sechste Komponente, die zur vollständigen Beschreibung der Raum- bewegung benötigt ist - nämlich die Radialgeschwindigkeit - wird im allgemeinen spektroskopisch bestimmt. Trotzdem wird sie manchmal auch als der sechste astrometrische Parameter bezeichnet. Zusammenhang zwischen Richtungsvektor (Einheitsvektor vom Baryzentrum zum Stern) und sphärischen Koordinaten eines Sterns: Einheitsvektoren werden im englischen Jargon kurz als ‚directions‘ bezeichnet

10 Definition 2: Astrometrische Parameter, Darstellung
Koordinaten: einfache Winkel in radians oder in Grad, Bogenminuten, Bogensekunden, bzw. in Stunden, Minuten, Sekunden Parallaxe: einfacher Winkel in Millibogensekunden (mas); Halbachse der Parallaxen-Ellipse Eigenbewegung: Winkel pro Zeiteinheit (mas/a) (unpraktisch) (besser) (Betrag) (Positionswinkel) Achtung 1: Die IAU hat das Julianische Jahr als Zeiteinheit für Eigenbewegungen festgesetzt, exakt Tage. Früher war das tropische Jahr 1900 die Einheit, das etwa Tage lang ist. Das Gregorianische Jahr ist Tage lang. Achtung 2: In den nachfolgenden Formeln sind Winkel im Bogenmaß, nicht in den gerade genannten praktischen Einheiten eizusetzen.

11 Zwischenbemerkung: Die in der praktischen Arbeit benutzten Größen:
Differenzen zu vorbekannten Näherungswerten (eventuell auch diese als Differenzen) Dazu mittlere Fehler bzw. Varianzen, sowie Kovarianzen: (5*5-Matrix, rij = Korrelationskoeffizienten)

12 Definition 3: barycentric coordinate direction
Ortsvektor des Sterns: wobei Einheitsvektor: Rechnerisch sehr unpraktisch (p im Nenner), deshalb besser: (A ist die astronomische Einheit) (Spitzklammer = Normierung)

13 Problem: Die Gleichungen
für den Richtungsvektor zur Zeit t enthalten nicht die eigentlich messbare Eigenbewegung, sondern die Raumgeschwindigkeit. Wir wollen insbesondere die zweite Gleichung so umschreiben, dass sie nur noch die gemessen Größen (Position, Eigenbewegung, Parallaxe und eventuell Radialgeschwindigkeit) enthält. Dazu müssen wir die Raum- geschwindigkeit durch die Komponenten der Eigenbewegung ausdrücken.

14 Definition 4: Lokales Vektordreibein und Tangentialkoordinaten
(normal vector triad and tangential coordinates) Kartesischer EB-Vektor: wobei

15 Nach diesen Vorbereitungen können wir nun die Raumgeschwindigkeit
so schreiben: Dies können wir dann in unsere problematische Gleichung einsetzen und erhalten: wobei die relative Entfernungsänderung pro Zeiteinheit ist (Radialgeschwindigkeit geteilt durch Entfernung). Beachte: 1) Dies ist die exakte Formel für konstante Raumgeschwindigkeit. 2) In keiner der vorkommenden Formeln erscheint die Parallaxe im Nenner.

16 Definition 5: topocentric coordinate direction
Definition 6: Tangentialgeschwindigkeit (transverse velocity) (Betrag der Eigenbewegung mal Entfernung) wobei Av wieder die astronomische Einheit ist, allerdings in „Geschwindigkeit“ ausgedrückt: Av = km yr s-1 (Übungsaufgabe)

17 Einschub : Benutzung von Tangentialkoordinaten
(nicht in der Vorlesung zu behandeln) Normalerweise ist díe vorstehende exakte Vektoralgebra für alle praktischen Anwendungen zu empfehlen. Es gibt jedoch Fälle, in denen kleine Richtungs- änderungen oder –unterschiede besser durch Relativkoordinaten ausgedrückt werden, z.B. bei der Beschreibung von Doppelsternbewegungen. Traditionell hat man dafür direkt die Koordinatendifferenzen Dd und Dacosd benutzt. Diese führen aber zu unerfreulichen Effekten nahe der Pole. Deshalb ist es sinnvoll, strenger definierte Größen zu verwenden. Die beste Wahl sind die schon unter „Definition 4“ vorgekommenen Tangential- koordinaten. Sie sind vollständig definiert durch die Wahl einer festen Bezugs- richtung r0 (Einheitsvektor zum Ausgangspunkt am Himmel). Im Folgenden werden ohne weitere Kommentare die relevanten Formeln für die Umrechnung einer beliebigen Richtung u (Einheitsvektor) in die zugehörigen Tangentialkoordinaten, ausserdem in eine den (kartesischen)Tangentialkoor- dinaten entsprechende Polarkoordinatendarstellung in der Tangentialebene, und schließlich die Epochentransformation in Tangentialkoordinaten gegeben.

18 Die Umrechnung in Tangentialkoordinaten lautet:
Wobei die Vektoren mit dem Suffix „0“ das lokale Dreibein sind und der Apostroph das Skalarprodukt bedeutet. - Die Umkehrung lautet: Statt der kartesischen Koordinaten x und h kann man in der Tangentialebene auch Polarkoordinaten r (Abstand vom Bezugspunkt) und q (Positionswinkel, gezählt von Nord über Ost usw.) verwenden. Diese sind definiert durch: Sie werden bei der Beschreibung von Doppelsternen sehr häufig benutzt.

19 Die baryzentrische Epochentransformation nimmt in Tangential- koordinaten eine besonders einfache Form an: Der Stern bewegt sich auf einer geraden Linie in der Tangentialebene! So lange die relative Entfernungsänderung (zweiter Term im Nenner) klein ist, ist diese Bewegung sogar linear in der Zeit. Die topozentrische Epochentransformation lautet:

20 3) Modellierung der Messung (proper direction)
Wir haben uns bisher nur mit ‚coordinate directions‘ beschäftigt. Das ist aber nicht das, was ein im Sonnensystem stationiertes Messinstrument (‚Beobachter‘) sieht. Gaia oder Hipparcos sehen die Lichtstrahlen nicht aus der Richtung kommen, die der momentanen ‚coordinate direction‘ zu einem Stern entsprechen. Aus der Katalogposition (= barycentric coordinate direction) zur Beobachtungs- epoche erhält man die tatsächlich beobachtete Richtung der Lichtstrahlen durch drei Transformationen: 3.1 Translation der Raumzeitkoordinaten vom Bezugspunkt (Baryzentrum) zum Ort der Beobachtung (=Parallaxe; haben wir bereits in Kap. 2 bearbeitet) Ergebnis: topocentric coordinate direction 3.2 Berechnung des Lichtwegs durch das Sonnensystem unter Berücksichtigung der Gravitationsfelder (= relativistische Lichtablenkung) Ergebnis: natural direction 3.3 Lorentz-Transformation auf die momentane baryzentrische Geschwindigkeit des Beobachters (=Aberration des Lichts) Ergebnis: proper direction (früher auch ungenau als ‚scheinbare Position‘ bzw. ‚apparent position‘ bezeichnet)

21 3.1 Coordinate directions; relativistische Sichtweise
Die Koordinaten, die wir in Kapitel 2 dieser Vorlesung behandelt haben, können als rein Newtonsche, ebene Koordinaten oder aber als allgemeinere Koordinaten in einer allgemein-relativistischen Raumzeit aufgefasst werden. Das ändert an den Formeln in Kapitel 2 nichts. In allgemein-relativistischer Betrachtung sind Koordinaten rein mathematische Konstrukte ohne direkte physikalische Bedeutung. Sie hängen vollständig von der gewählten Metrik ab. Vor Hipparcos waren relativistische Effekte in der optischen Astrometrie nicht von Bedeutung. Hipparcos musste die Lichtablenkung an der Sonne berücksichtigen (nur die Sonne!) und die Lorentz-Transformation richtig machen. Hipparcos konnte deshalb das sogenannte isotropic coordinate system benutzen, das eine auf die Sonne zentrierte, sphärisch symmetrische Metrik beschreibt, und in dem der Lichtweg eines Photons im Sonnensystem eine Hyperbel ist. Gaia wird zusätzlich die Lichtablenkung aller Planeten und die Lichtlaufzeiteffekte innerhalb des Sonnensystems berücksichtigen müssen. Darüber später mehr.

22 3.2 Relativistische Lichtablenkung
Linke Seite: natural direction Rechte Seite: isotropic coordinate direction u, heliozentrischer Ort des Beobachters hO, Betrag hO, Gravitationskonstante G, Sonnenmasse S, Lichtgeschw. c, q=1 für Sterne

23 Zwischenbemerkung: Die Gleichung auf der vorigen Seite (Original aus Band 3 des gedruckten Hipparcos-Katalogs) erscheint zunächst sehr fremd. Eine Herleitung findet sich in Murray 1983. Es ist eine nette Übungsaufgabe, die Gleichung so umzuformen, dass das aus der Kursvorlesung zur Relativitätstheorie bzw. aus der Einführungs- vorlesung in die Astronomie bekannte Gesetz herauskommt, nach dem díe Ablenkung des Lichts von einem Objekt, das unter dem kleinen Winkel e ne- ben der Sonne gesehen wird, näherungsweise proportional zu 1/sin e ist. Eine Fortsetzung der Aufgabe besteht darin, die Lichtablenkung für ein Objekt zu berechnen, das genau am Sonnenrand steht (e=0.5 Grad). Das ist der Winkel, der bei der Sonnenfinsternis 1919 gemessen wurde und damit Einsteins Weltruhm begründete. Ein Zahlenwert dafür: GS = m3s -2

24 Eine handliche und exakte Formel für die Lichtablenkung
Grazing (mas) Gaia min c = 45 deg Sun 1750 13 10 mas Earth 0.5 0.003 2.5 m as Jupiter 16 2 Saturn 6 0.3 r c da

25 3.3 Aberration; Lorentz-Transformation
Ohne weitere Herleitung soll hier nur die vektorielle Form der Lorentz-Transformation einer Richtung zitiert werden: Linke Seite: proper dírection Rechte Seite: natural direction, baryzentrische Geschwindigkeit des Beobachters V, Lichtgeschwindigkeit c, Abkürzung e für Eine Herleitung der Gleichung 12.7 findet sich in Murray 1983.

26 3.4 Ausblick, Gaia Die maximale Lichtablenkung durch die Sonne, die Gaia und Hipparcos beobachten können, liegt bei ca. 4 mas = 4000 mas (bei 40 Grad Winkelabstand). Die maximale Lichtablenkung durch andere Planeten (jeweils am Rand der Planeten- scheibe) ist auf der nächsten Folie gezeigt, ebenso der Winkelabstand, bei dem die Lichtablenkung 1 mas unterschreitet. Gaia muss also die Lichtablenkung an einer größeren Anzahl von Körpern berück- sichtigen. Will man das streng machen, dann ist die isotrope Metrik bzw. das isotropic coordinate system nicht mehr geeignet. Deshalb muss ein vollständig relativistisches Sonnensystemmodell mit einem geeig- neten Koordinatensystem benutzt werden: Dies ist das von der IAU als Standard definierte Barycentric Reference System (BCRS), mit einer festgelegten Metrik, die durch barycentric coordinates und die barycentric coordinate time dargestellt wird. Schlimmer noch: Viele Effekte höherer Ordnung müssen bei der Berechnung des Licht- wegs durch das Sonnensystem berücksichtigt werden, z.B. die Bewegung der Körper in den paar Stunden, die das Licht im Sonnensystem unterwegs ist. Das relativistische Modell für Gaia-Messungen ist noch in Arbeit!

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30 IAU 1991, extended in 2000: Definition of BCRS and TCB
origin : Barycentre of the solar system orientation : ICRS (click for more) U : gravitational potential of the masses of the solar system t : barycentric coordinate time : TCB Value of t at the origin : On 1 Jan 0h 0m 0s TAI (JD : TAI)  t = 1 Jan 0h 0m 32.s184 ( JD TCB)