Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil.

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1 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung V2: Diskretisierung von Funktionen Teil 1:Grundverfahren der Numerik V2 Diskretisierung von Funktionen Inhalt Lagrange Polynome Funktionsentwicklungen Statistische Approximation Experimente: Lagrange Interpolation

2 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung Das sollten Sie heute lernen Wie diskretisieren wir Funktionen Was ist ein Lagrange Polynom der Ordnung n Was ist eine Taylorreihe Was ist der Zentrale Grenzwertsatz Welche Fehler macht man bei der Diskretisierung von Funktionen und wie kann man sie verringern

3 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung Neben der diskreten Darstellung der Zahlen interessieren in der Numerik vor allem die diskrete Darstellung von Verläufen (Funktionen) und der darauf möglichen Operationen (vor allem Integration und Differentiation). Drei Möglichkeiten der Diskretisierung von Verläufen sollen im Rahmen dieser Vorlesung behandelt werden. Ausgang ist y = f(x) xsteht für die unabhängigen Variablen, ysteht für die abhängigen Variablen, fgibt den Verlauf an und wird im Folgenden als Operation auf x gedeutet, die die Gerade y ergibt. a)Diskretisierung der unabhängigen Variablen wird durch Werte y i =f(x i ) dargestellt. Für weitere Operationen kann zwischen den Werten y i interpoliert werden. Als Interpolationsfunktion werden häufig Lagrange-Polynome verwendet. Diskretisierung von Funkionen -1

4 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung Diskretisierung von Funktionen -2 b) Diskretisierung der abhängigen Variablen Wählbar sind die Entwicklungsfunktionen N i (x), die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten a i und die Art der Näherung von c)Diskretisierung durch statistische Methode wird über Werte beschrieben, wo x i zufällig bestimmt und nach verteilt sind.

5 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung 1.Festlegung des Approximationsbereichs x a x x b 2.Festlegung der Stützstellen a)Einschluss der Ränder x 1 = x a, x n+1 = x b b)Gebietsmitte 3.Berechnung der Werte der abhängigen Variablen y i = y (x i ) 4.Interpretation a)Wert gültig im Bereich (Basisgebiet) um Stützstellen b)Werte interpolieren mit Lagrange-Polynomen b1)Polynom durch alle Punkte (wenig Stützstellen, hohe Interpolationsordnung) b2)stückweise Näherung (viele Stützstellen, mehrere Polynome niederer Ordnung). Diskretisierung der unabhängigen Variablen - Näherung von Funktionen

6 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung y wird durch zwei Punkte x o und x 1 beschrieben. ist eine Gerade durch die Punkte (x o, y o ) und (x 1, y 1 ) Fasst man die Glieder mit y o und y 1 zusammen, so gilt Die Ausdrücke vor den Werten y o und y 1 sind Funktionen von x. Wir bezeichnen sie mit Offensichtlich gilt und Lineare Interpolation -1

7 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung Ihre allgemeine Form lautet: Für n = 3 Lagrange Polynome -1

8 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung Lagrange Polynome -2 Mit diesen Interpolationsfunktionen lässt sich eine Funktion y(x) etwa folgendermaßen nähern: x0x1x2x3x0x1x2x3

9 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung Quadratische Interpolation x wird durch drei Punkte x 0, x 1, x 2 beschrieben. Ist eine Parabel durch die Punkte Mit und können die Koeffizienten a 0, a 1 und a 2 bestimmt werden.

10 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung Quadratische Interpolation Das Ergebnis ist Die Ausdrücke vor den Werten y 0, y 1 und y 2 sind jetzt ebenfalls Parabeln. Wir bezeichnen sie mit Offensichtlich gilt und

11 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung Höhere Interpolation Heißen Lagrange-Polynome. Es gilt analog der linearen und der quadratischen Interplation für i j, für i = j Ihre allgemeine Form lautet

12 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung Stückweise Näherung Häufig möchte man sich bei der Näherung auf Polynome niederer Ordnung beschränken. Um trotzdem kompliziertere Verläufe darstellen zu können, unterteilt man den Bereich, in dem die Funktion genähert werden soll, in m-Teilbereiche (Basisgebiete, Elemente), für die man je separat eine Näherung bestimmt. Man fordert Stetigkeit der Näherungen an den Anschlussstellen und erreicht das dadurch, dass je eine Stützstelle auf dem Rand liegt. Es gilt dann sind die im Teilbereich j gültigen Interpolations- oder Ansatz-Funktionen je der Ordnung nj Die Näherung heißt stückweise stetig.

13 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung Diskretisierung der abhängigen Variablen Der im letzten Abschnitt beschriebene Ansatz nähert y so, dass y und an den Knoten übereinstimmen. Für viele Anwendungen sind andere Anpassungen besser. Man erhält sie durch Diskretisierung der abhängigen Variablen N i (x) sind bekannte Entwicklungs- oder Basisfunktionen. a i sind die Entwicklungskoeffizienten. Zu ihrer Bestimmung ist ein Kriterium, das angibt, wie die Näherung erfolgen soll, nötig. Eine häufig verwendete Anpassungsmethode ist die Methode der gewichteten Residuen. Sie versucht, den Gesamtfehler integral zu minimieren. Dazu führt man Wichtungsfunktionen w i ein und fordert

14 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung Diskretisierung der abhängigen Variablen Die Zahl der Wichtungsfunktionen entspricht dabei der Zahl der anzupassenden Unbekannten a i. j läuft also wie i von 0 bis n. Mit dieser Beziehung erhält man durch Einsetzen der n+1 Wichtungsfunktionen w j gerade n+1-Gleichungen. Aus diesen können die Entwicklungskoeffizienten a i bestimmt werden. Voraussetzung dafür ist, dass die Wichtungsfunktionen linear unabhängig sind, d.h. nicht durch lineare Transformationen ineinander überführt werden können. Das Gleichungssystem hat folgende Form (wir verwenden die Abkürzung)

15 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung Beispiel: Diskretisierung der Unabhängigen -1 Beispiel Der Unterschied zwischen Näherung von unabhängigen und abhängigen Variablen soll anhand eines einfachen Beispiels verdeutlicht werden. Es sei Zunächst diskretisieren wir x. 2 Werte mit linearer Interpolation

16 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung Beispiel: Diskretisierung der Unabhängigen -2 Jetzt dasselbe nach Näherung über y. Wir wählen dabei als Basisfunktionen die Lagrange-Polynome, die auch schon den Näherungen a verwendet wurden. Als Wichtugnsfunktionen sollen ebenfalls die Lagrange-Polynome verwendet werden. Dann gilt

17 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung Methode der gewichteten Residuen Über die Methode der gewichteten Residuen erhalten wir folgendes Gleichungssystem:

18 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung Diskretisierung der Unabhängigen: Ergebnis Die Lösung ist Damit wird Aus dem Beispiel sieht man: Die Galerkin-Methode führt auf symmetrische Gleichungssysteme zur Bestimmung der a i Lokale Werte können extrem falsch sein (z.B. negative Temperaturen). Im Beispiel für x < 2/a. Konvergenz erfolgt im Sinne der Wichtung. Es gibt Punkte (Gauß-Punkte), an denen Funktion und Näherung exakt übereinstimmen. Im Beispiel 2 Punkte, die in 0 x 1 die Gleichung x 3 = 0,9x - 0,2 erfüllen.

19 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung Taylor-Reihe als alternative Entwicklungsfunktion Folgende Festlegungen führen zur Taylor-Entwicklung: Entwicklungsfunktionen Polynome von (x - x o ) Entwicklungkoeffizienten Wert und Ableitung an Stelle x 0 : Art der Näherung y und stimmen an der Stelle x 0 in Wert und allen Ableitungen bis zur Ordnung n überein.

20 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung Taylor-Reihenentwicklung -2 Ergebnis der Näherung Verstümmelungsfehler gleich erstes vernachlässigtes Glied Konvergenz

21 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung Statistische Approximation Eine dritte Methode, um Verläufe zu diskretisieren, kennen wir aus der Messtechnik. Dort werden Verläufe mit Hilfe von Messpunkten dargestellt. Dabei gibt es zwei Grenzfälle: a)Die Messpunkte sind zufällig (Stichprobe), aber der Messwert ist exakt. Dies entspricht einer zufälligen Diskretisierung der unabhängigen Variablen. b) Die Messpunkte sind vorgebbar, aber der Messwert ist mit großer Unsicherheit behaftet (Messung mit Messfehler). Jetzt sind die Werte der abhängigen Variablen zufällig. Um diese Technik auch auf dem Rechner verfügbar zu haben, ist es nötig, zufällige Zahlen zu erzeugen. Dies geschieht durch spezielle Funktionen (Zufallszahlgeneratoren). Diese Funktionen liefern in der Regel Zufallszahlen, die in einem Intervall (0,1) gleichverteilt sind, d.h. die auftretenden Zahlenwerte können alle aus diesem Intervall darstellbaren Zahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Abweichungen von dieser Aussage dürfen im Rahmen der Verwendung der Zufallszahlen nicht nachweisbar sein. Um nun eine Funktion f (x) im Intervall (a, b) zu nähern, wird f (x) aufgespalten in f x) = f x (x) (x) Die Näherung von f (x) erfolgt dann durch n Realisationen x i, wo die x i aus der Verteilung (x) stammen und jedem x i ein Wert f x (x i ) zugeordnet ist. Ist (x) eine Gleichverteilung, so gilt (x) = 1 / (b - a) und f X (x) = (b - a) f (x).

22 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung Statistische Approximation Kann man direkt von f (x) Zufallszahlen ziehen, ist also f (x) - evtl. nach einer Normierung - eine verfügbare Dichtefunktion, so gilt: (x)=f (x) f x (x)=1 Allen Beiträgen x i wird also derselbe Wert zugeordnet. Eine Interpolation zwischen den zufälligen Werten kann nicht direkt erfolgen. Operationen werden über das Gesetz der großen Zahlen realisiert. Dies wird später weiter beschrieben. Näherungsweise kann man einen Punkteschwarm mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate in einen Verlauf (Regression) umsetzen. Dabei hat man aus Messungen oder einem statistischen Computerexperiment Wertepaare x i, y i erhalten. Sie sollen durch eine Funktion, in der die Parameter a 0 bis a n noch zu bestimmen sind möglichst gut approximiert werden. Dies erreicht man etwa, indem man die quadratische Abweichung Q zwischen Messwerten y i und Näherung zum Minimum macht:

23 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung Statistische Approximation Wie aus der Analysis bekannt, wird ein Extremwert berechnet, indem man die 1. Ableitung = 0 setzt. Damit kann man für genau n+1-Gleichungen folgender Art bilden: Dies entspricht der Methode der gewichteten Residuen in der Galerkin- Formulierung, wenn wie dort gilt:

24 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil 1: V2 Diskretisierung Diese Fragen sollten Sie beantworten können Geben Sie für eine Funktion f(x) die zugehörige Taylor-Reihe an Empfehlen Sie einen Ansatz zur Näherung einer Funktion f(x), wenn deren Verlauf optimal beschrieben werden soll. Wie ändert sich Ihre Empfehlung, wenn es sich bei der zu nähernden Funktion im Näherungsintervall um ein Polynom der Ordnung 2 handelt Was ist zu tun, wenn die Funktion 2 unabhängige Variablen hat Geben Sie Kriterien für die Auswahl einer Diskretisierungsvorschrift an