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Veröffentlicht von:Ima Schneider Geändert vor über 11 Jahren
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Clustermodell Monte-Carlo-Simulationen zum des
Penrose-Pentagon-Tilings
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Gliederung Penrose-Pentagon-Tiling Monte-Carlo-Algorithmus
Clusterdichte Clusterüberlapps Entropic Sampling
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Penrose-Pentagon-Tiling
4
Penrose-Pentagon-Tiling
Rhombus Schiff Stern Cluster Pentagon
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Cluster Zusammenhang mit dem Gummelt-Dekagon Tile-Cluster
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Flips flipbare Vertexkonfigurationen Einzelflip
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Monte-Carlo-Algorithmus
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Metropolis-Algorithmus I
System im stationären Gleichgewicht detailliertes Gleichgewicht Ex E Ey x y DE w(x ® y) w(y ® x)
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Metropolis-Algorithmus II
Besetzungswahrscheinlichkeit im kanonischen Ensemble (Boltzmann-Statistik) Sprungwahrscheinlichkeit (Sprungrate) für einen Prozess mit Energieaufwand DE: Mittelwertberechnung:
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Clusterdichte
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Clusterenergie Energie pro Cluster = –1
maximale Clusterzahl energetischer Grundzustand Abkühlen Die Cluster-zahl skaliert mit der Systemgröße. Die Cluster-dichte ist eine universelle Größe.
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• Clusterzentren Supertile Random Tiling
Bei maximaler Cluster-dichte bilden die Cluster-zentren ein vollständiges Supertiling. Alle Supertilings haben dieselbe Energie (dieselbe Clusterzahl) Es handelt sich um Random Tilings. • Clusterzentren
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Spezifische Wärme I spezifische Wärme:
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Spezifische Wärme II spezifische Wärme:
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Spezifische Wärme III
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Clusterüberlapps
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Dipolmodell Clusterorientierung
Es werden nur solche Flips ausgeführt, die die Clusterzahl nicht ändern (Flips im Supertiling). Dabei müssen allerdings die Dipole konsistent mitgeändert werden.
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Clusterüberlapps B-Überlapp: orientiert Random-Tiling-Überlapp A(1,6)
A-Überlapps: nicht orientiert
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A-Überlapps beim Gummelt-Dekagon
Überlapps, die die Matching Rules erfüllen Random-Tiling-Überlapp A(1,6)
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Energetische Überlappregel
verbotener Überlapp A(1,6) mit der Energie +1 minimale A(1,6)-Zahl energetischer Grundzustand
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perfekter Approximant
Minimale Defektzahl Die minimale Zahl der A(1,6)-Defekte hängt nicht mit von der Systemgröße ab, sondern von der Geometrie des Appro-ximanten. perfekter Approximant ? minimale Defektzahl tn = 1, 2, 3/2, 5/3, 8/5, ...
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Energierenormierung Energierenormierung: minimale Defektenergie als Energienullpunkt Die renormierte Defektenergie skaliert mit der Systemgröße. Energierenormierung: minimale Defektenergie als Energienullpunkt
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Spezifische Wärme I spezifische Wärme:
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Spezifische Wärme II spezifische Wärme:
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Spezifische Wärme III
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Entropic Sampling
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Entropic Sampling I Besetzungswahrscheinlichkeit p für einen einzelnen Zustand x mit Energie Ex: b Ex F(Ex) Entropie S und Zahl W der Zustände mit Energie Ex = E: Besetzungswahrscheinlichkeit P für die Energie E (alle Zu-stände mit Ex = E): b E F(E)
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Entropic Sampling II Besetzungswahrscheinlichkeit P für die Energie E (alle Zu-stände mit Ex = E): P(E) = exp{S(E) – F(E)} S(Ex) F(E) = S(E) P(E) = const Sampling mit Übergangs-ratenverhältnis
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Entropic Sampling III (iterative) Bestimmung der Entropie-Funktion S(E) aus dem Energie-Histogramm W(E): Berechnung der Zustandssumme Z(b) bei verschiedenen Werten für b: Ist die Entropie-Funktion und damit die Zustandssumme bekannt, können alle anderen thermodynamischen Größen des Systems bestimmt werden (z. B. die spezifische Wärme).
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Zusammenfassung Clusterdichte-Maximum Supertile Random Tiling
A(1,6)-Überlapp-Minimum Ordnung des Approximanten
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