Clustermodell Monte-Carlo-Simulationen zum des

Präsentation zum Thema: "Clustermodell Monte-Carlo-Simulationen zum des"—  Präsentation transkript:

1 Clustermodell Monte-Carlo-Simulationen zum des
Penrose-Pentagon-Tilings

2 Gliederung Penrose-Pentagon-Tiling Monte-Carlo-Algorithmus
Clusterdichte Clusterüberlapps Entropic Sampling

3 Penrose-Pentagon-Tiling

4 Penrose-Pentagon-Tiling
Rhombus Schiff Stern Cluster Pentagon

5 Cluster Zusammenhang mit dem Gummelt-Dekagon Tile-Cluster

6 Flips flipbare Vertexkonfigurationen Einzelflip

7 Monte-Carlo-Algorithmus

8 Metropolis-Algorithmus I
System im stationären Gleichgewicht detailliertes Gleichgewicht Ex E Ey x y DE w(x ® y) w(y ® x)

9 Metropolis-Algorithmus II
Besetzungswahrscheinlichkeit im kanonischen Ensemble (Boltzmann-Statistik) Sprungwahrscheinlichkeit (Sprungrate) für einen Prozess mit Energieaufwand DE: Mittelwertberechnung:

10 Clusterdichte

11 Clusterenergie Energie pro Cluster = –1
maximale Clusterzahl  energetischer Grundzustand Abkühlen Die Cluster-zahl skaliert mit der Systemgröße. Die Cluster-dichte ist eine universelle Größe.

12 • Clusterzentren Supertile Random Tiling
Bei maximaler Cluster-dichte bilden die Cluster-zentren ein vollständiges Supertiling. Alle Supertilings haben dieselbe Energie (dieselbe Clusterzahl)  Es handelt sich um Random Tilings. • Clusterzentren

13 Spezifische Wärme I spezifische Wärme:

14 Spezifische Wärme II spezifische Wärme:

15 Spezifische Wärme III

16 Clusterüberlapps

17 Dipolmodell Clusterorientierung
Es werden nur solche Flips ausgeführt, die die Clusterzahl nicht ändern (Flips im Supertiling). Dabei müssen allerdings die Dipole konsistent mitgeändert werden.

18 Clusterüberlapps B-Überlapp: orientiert Random-Tiling-Überlapp A(1,6)
A-Überlapps: nicht orientiert

19 A-Überlapps beim Gummelt-Dekagon
Überlapps, die die Matching Rules erfüllen Random-Tiling-Überlapp A(1,6)

20 Energetische Überlappregel
verbotener Überlapp A(1,6) mit der Energie +1 minimale A(1,6)-Zahl  energetischer Grundzustand

21 perfekter Approximant
Minimale Defektzahl Die minimale Zahl der A(1,6)-Defekte hängt nicht mit von der Systemgröße ab, sondern von der Geometrie des Appro-ximanten. perfekter Approximant ? minimale Defektzahl tn = 1, 2, 3/2, 5/3, 8/5, ...

22 Energierenormierung Energierenormierung: minimale Defektenergie als Energienullpunkt Die renormierte Defektenergie skaliert mit der Systemgröße. Energierenormierung: minimale Defektenergie als Energienullpunkt

23 Spezifische Wärme I spezifische Wärme:

24 Spezifische Wärme II spezifische Wärme:

25 Spezifische Wärme III

26 Entropic Sampling

27 Entropic Sampling I Besetzungswahrscheinlichkeit p für einen einzelnen Zustand x mit Energie Ex: b Ex F(Ex) Entropie S und Zahl W der Zustände mit Energie Ex = E: Besetzungswahrscheinlichkeit P für die Energie E (alle Zu-stände mit Ex = E): b E F(E)

28 Entropic Sampling II Besetzungswahrscheinlichkeit P für die Energie E (alle Zu-stände mit Ex = E): P(E) = exp{S(E) – F(E)} S(Ex) F(E) = S(E) P(E) = const Sampling mit Übergangs-ratenverhältnis

29 Entropic Sampling III (iterative) Bestimmung der Entropie-Funktion S(E) aus dem Energie-Histogramm W(E): Berechnung der Zustandssumme Z(b) bei verschiedenen Werten für b: Ist die Entropie-Funktion und damit die Zustandssumme bekannt, können alle anderen thermodynamischen Größen des Systems bestimmt werden (z. B. die spezifische Wärme).

30 Zusammenfassung Clusterdichte-Maximum  Supertile Random Tiling
A(1,6)-Überlapp-Minimum  Ordnung des Approximanten