Polynome im Affenkasten

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1 Polynome im Affenkasten
Für jedes Polynom bis zum 4. Grad gibt es einen Kasten, in dem es angeschaut werden kann. Jede Potenzfunktion zeigt eine besondere Schönheit. Neuentdeckungen sind jederzeit möglich. Vor dem Start anschauen lassen. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

2 Polynome im Affenkasten
Übersicht Polynome 3. Grades Scherung als Beweisgedanke Parabeln im Bärenkasten Polynome 4. Grades im Pantherkäfig Potenzfunktionen Andere Funktionsklassen „endeckenlassendes Lehren und Plädoyer für das Lehren fundamentaler Ideen“ Bruner nach Tietze Grundlagen der Didaktik der Mathematik. Entdeckendes Lernen Fundamentale Ideen der Mathematik und ihrer Lehre Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

3 Polynome 3. Grades im Affenkasten
Polynom 3. Grades, das Extrema hat. Maximum und Wendepunkt definieren eine Kastenzelle. Symmetrie zum Wendepunkt. Überraschend ist: die nächste Zelle passt immer. Gute Bezeichnungen sind Kennzeichen guter Beweise. o.B.d.A als wichtige Grundüberlegung o.B.d.A Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

4 Polynome 3. Grades im Affenkasten
Jede Tangente schneidet die Wendetangente. Überraschend ist: Die Tangente am Kastenrand schneidet die Wendetangente auf der oberen Kastenlinie Der Schnittpunkt liegt immer an der 2:1 Teilungsstelle der Zelle GDM-Dortmund, Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

5 Polynome 3. Grades im Affenkasten
Die Nullstelle ist stets das fache der Extremstelle. Die Nullstellen -Tangente liegt also „irrational“ im Kasten. Sie passt nicht zu den anderen wichtigen Tangenten. Wirklich nicht? Überraschend ist: GDM-Dortmund, Sie „erbt“ ihre Steigung aus dem Kasten, m.a.W.: sie ist stets parallel zu einer markanten Kastenlinie. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

6 Polynome 3. Grades im Affenkasten
Flächenverhältnisse Die Inhalte der gezeichneten Flächen stehen im Verhältnis 3 : 1 Das ist einfach schön. Überraschend ist: Es ist ein rationales Flächenverhältnis, obwohl die beteiligte Nullstelle „irrational“ im Kasten liegt. GDM-Dortmund, Die folgende Beweisfolie ausgeblendet. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

7 Polynome 3. Grades im Affenkasten
Flächenverhältnisse Die Inhalte der gezeichneten Flächen stehen im Verhältnis 3 : 1 Elemente des Beweises: GDM-Dortmund, ausgeblendet, Ergänzung denn die Rasterhöhe ist 2 a r3. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

8 Polynome 3. Grades im Affenkasten
Flächenverhältnisse Flächen gleicher Farbe sind gleich groß. GDM-Dortmund, Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

9 Polynome 3. Grades im Affenkasten
Was gilt bei anderen Polynomen 3. Grades? Scherung? Wie zeigt sich Scherung im Funktionsterm? Erreicht man alle Polynome 3. Grades? GDM-Dortmund, neu Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

10 Polynome 3. Grades im Affenkasten
Scherung durch Addition des Terms einer Ursprungsgeraden GDM-Dortmund, neu Scherachse ist die y-Achse Scherwinkel ist der (spitze) Steigungswinkel. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

11 Polynome 3. Grades im Affenkasten
Scherung allgemein Addition eines linearen Terms zu einem Funktionsterm bedeutet geometrisch eine Scherung des Funktionsgraphen. Scherachse ist die Parallele zur y-Achse durch die Nullstelle der zum linearen Term gehörigen Geraden Scherwinkel ist der spitze Winkel, den die Gerade mit der x-Achse bildet. GDM-Dortmund, neu Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

12 Polynome 3. Grades im Affenkasten
Scherungen erhalten Teilverhältnisse und Inzidenzen Scherungen erhalten die Flächengröße Scherungen erhalten also auch die Flächenverhältnisse Neu ins Bewusstsein gerückt: GDM-Dortmund, neu Scherungen erhalten die Wendestellen Scherungen erhalten den Grad eines Polynoms Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

13 Polynome 3. Grades im Affenkasten
Also: Jede Tangente definiert mit Berühr~ und Wendepunkt eine Kastenzelle. Alle für gerade Affenkästen bewiesenen Tatsachen gelten auch für schräge Affenkästen. Alles gilt für alle Polynome 3. Grades. GDM-Dortmund, neu, anders gestaltet Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

14 Polynome 3. Grades im Affenkasten
Also: Jede Tangente definiert mit Berühr~ und Wendepunkt eine Kastenzelle. Alle für gerade Affenkästen bewiesenen Tatsachen gelten auch für schräge Affenkästen. Alles gilt für alle Polynome 3. Grades. GDM-Dortmund, Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

15 Parabeln im Bärenkasten
GDM-Dortmund, neu, anders gestaltet Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

16 Parabeln im Bärenkasten
Die Existenz des Kastens ist klar. Die Sehne trifft tatsächlich die Kästchenkreuzung Also: Es gibt die Scherung! Die Tangente an der Mittenstelle der Sehne hat die Steigung der Sehne GDM-Dortmund, neu, Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

17 Parabeln im Bärenkasten
Die Existenz des Kastens ist klar. Die Sehne trifft die Kästchenkreuzung Also: Es gibt die Scherung! Die Tangente an der Mittenstelle der Sehne hat die Steigung der Sehne GDM-Dortmund, neu, Ergänzung Das neue einbeschriebene Dreieck hat der Fläche des Ausgangsdreiecks Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

18 Parabeln im Bärenkasten
Archimedes und seine Parabel-Ausschöpfung Bei jedem Schritt werden neue Sehnendreiecke gebildet. Die Flächensumme der neuen Sehnendreiecke ist ¼ der vorigen. Die Gesamtflächen bilden eine Geometrische Reihe mit dem Faktor ¼ und der Summe 4/3*Startdreieck. Damit nimmt die Parabel 2/3 des Kastens ein. GDM-Dortmund, neu, Ergänzung Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

19 Parabeln im Bärenkasten
offene Aufgabe GDM-Dortmund, Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

20 Parabeln im Bärenkasten
Trapez groß Trapez klein Parallelogramm= Trapez groß - Trapez klein Integral = Trapez klein+ 1/3 Parallelogramm beliebige Fkt. f durch die Stützpunkte GDM-Dortmund, neu, anders gestaltet exakt für Parabel und Polynom 3. Grades Johannes Kepler (Mathematiker, Astronom) fand schon Anfang des 17. Jahrhunderts diese Keplersche (Fass-)Regel. Mehrfache Anwendung führt zur Simpsonregel. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

21 Parabeln im Bärenkasten
Die Tangente an an den Ecken des Bärenkastens treffen die untere Kastenkante auf einem Gitterpunkt, sie schneiden sich untereinander auf der Unterkante des „Doppelkastens“ GDM-Dortmund, ausgeblendet, anders gestaltet Dies kann also gar keine Parabel sein. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

22 Parabeln im Bärenkasten
Die zu einer Parabelsehne parallele Tangente hat ihre Berührstelle an der Mittenstelle Sehne. Mit anderen Worten: Die Tangente an der Stelle r lässt sich mit Hilfe der Sehne zu einem zu r symmetrischen Intervall finden. GDM-Dortmund, ausgeblendet, anders gestaltet Beweis: Durch Scherung lässt sich die Tangente in die x-Achse überführen. Dann ist die Eigenschaft trivial. O.B.d.A kann das Intervall [0 / 2r] genommen werden, sic! Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

23 Parabeln im Bärenkasten
Die Tangente an der Stelle r, die Sehne zu [r-, r+ ], die Sehne zu [r-2, r+2 ], bilden einen gleichmäßigen Kasten. GDM-Dortmund, ausgeblendet, anders gestaltet Beweis: Durch Scherung lässt sich die Tangente in die x-Achse überführen. Durch Verschiebung und Streckung entsteht die Normalparabel. Für sie ist wegen (2b)2=4 b2 die Eigenschaft klar. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

24 Parabeln im Bärenkasten
Für waagerechte Sehnen gilt: Die Fläche zwischen der Parabel und ihrer Sehne ist zwei Drittel der Bärenkastenfläche. Wegen der Scherung gilt das für alle Sehnen. GDM-Dortmund, ausgeblendet, anders gestaltet Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

25 Parabeln im Bärenkasten
Die Scherung, die den schrägen Bärenkasten in einen geraden überführt, hat als Scherwinkel das Negative des Steigungswinkels der Tangente. Scherachse kann jede senkrechte Gerade sein. Der Berührpunkt wird Scheitelpunkt, wenn man will, kann man diesen noch in den Ursprung verschieben. Analytisch kann man einfach die Tangente subtrahieren. Das ist dann eine Scherung an der Senkrechten durch die Nullstelle der Tangente. GDM-Dortmund, ausgeblendet, anders gestaltet Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

26 Parabeln im Bärenkasten
Keplersche Regel Johannes Kepler (Mathematiker, Astronom) fand schon Anfang des 17. Jahrhunderts die sog. Fass-Regel. Mehrfache Anwendung führt zur Simpsonregel. GDM-Dortmund, ausgeblendet, anders gestaltet Vollst. Beweis rechts mit Mathematica Verwendung der Dritteleigenschaft Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

27 Parabeln im Bärenkasten
Die Tangenten an den Ecken des Bärenkastens: treffen die untere Kastenkante auf einem Gitterpunkt Dies kann also gar keine Parabel sein. Die beiden Tangenten schneiden sich untereinander auf der Unterkante des „Doppelkastens“ Es gelten viele schöne Flächenverhältnisse GDM-Dortmund, neu, anders gestaltet Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

28 Polynome 4. Grades im Pantherkäfig
Sie haben entweder genau zwei Wendepunkte oder gar keine. Betrachtet werden die Graphen mit zwei Wendetangenten und deren Schnittpunkte mit dem Polynom. Überraschend ist: Ist r der Abstand der Wendestellen, dann ist r auch der Abstand der Schnittstellen von den Wendestellen. GDM-Dortmund neu Die Flächen zwischen Wendetangente und Kurve sind links und rechts gleich groß. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

29 Polynome 4. Grades im Pantherkäfig
Sei ein Polynom 4. Grades mit zwei Wendepunkten betrachtet. O.B.d.A. sei es symmetrisch. Überraschend ist: Die Gerade vom Wendepunkt zu oberen Kastenecke halbiert die Fläche zwischen Wendetangente und Kurve. (hellgrau= mittelgrau) Die Randtangente halbiert die untere Zellenkante. Eine gewisse Rolle spielen die Drittel- und Neuntel-Zellenhöhe GDM-Dortmund, ausgeblendet, Ergänzung Die Formenvielfalt nimmt Überhand! Nicht das 4-fache, sondern das 4,2-fache der zipfeligen Fläche ist so groß wie die hellgraue. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

30 Potenzfunktionen y=xk mit k>1
GDM-Dortmund, ausgeblendet, Ergänzung Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

31 Gescherte Potenzfunktionen y=xk +mx mit k>1
GDM-Dortmund, ausgeblendet, Ergänzung Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

32 Potenzfunktionen y=xk mit k>1
GDM-Dortmund, anders gestaltet Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

33 e-Funktion mit „Eulerkasten“
Entstehung des Graphen aus Bausteinen e-Funktion um k verschieben. quadrieren Asymptote y= k2. Bei wachsendem k wandert die Extremstelle nach außen, die Asymptote nach oben. Fundamentale Idee Funktionen aus Bausteinen aufbauen GDM-Dortmund, Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

34 e-Funktion mit „Eulerkasten“
Wendepunkt Extrempunkt Schnittpunkt mit der Asymptote Überraschend ist: Für alle k sind Wendestelle und Schnittstelle mit Asymptote ln 2 von der Extremstelle entfernt. Also: Die Streifenbreite ist stets ln 2. GDM-Dortmund, Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

35 e-Funktion mit „Eulerkasten“
Die Wendetangente schneidet Asymptote und x-Achse Dadurch wird ein Kasten definiert. Überraschend ist: Für alle k hat dieser Kasten die Breite 2 Der Wendepunkt liegt auf dem rechten unteren Viertelpunkt. GDM-Dortmund, Die Kastenfläche ist so groß wie die Fläche zwischen Kurve und Asymptote. A=2 k 2 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

36 e-Funktion mit „Eulerkasten“
Viele Flächen sind Vielfache der Kastenzellen. GDM-Dortmund, Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

37 e-Funktion mit „Eulerkasten“
Erforschen Sie mathematische Schönheiten! Viele Flächen sind Vielfache der Kastenzellen. GDM-Dortmund, Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003

38 Polynome im Affenkasten
Danke für Ihre Aufmerksamkeit! Das Heft enthält eine zusammenhängende Darstellung mit vollständigen Beweisen, seitenbezogene Kopiervorlagen zu den Kernaussagen, Kopiervorlagen für entdeckendes Lernen, Klausuraufgaben, weitere Zusammenhänge und diesen Vortrag (49 Seiten) für 5 €. GDM-Dortmund, CD = Internet >Vortrag Dateien Mathematik u.v.m. für 5€ Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003