Informationsveranstaltung zu den Kerncurricula Mathematik HS/RS

Informationsveranstaltung zu den Kerncurricula Mathematik HS/RS
Niedersachsen, Oktober/November 2006 Wir müssen die Kinder und Jugendlichen mit der bestmöglichen mathematischen Bildung ausstatten, mit einer Bildung, die sie befähigt, persönliche Wünsche und Berufsvorstellungen in einer sich ständig ändernden Welt zu erfüllen. Mathematische Kompetenzen öffnen Türen zu einer produktiven Zukunft. Ein Mangel an mathematischen Kompetenzen verschließt diese Türen. (NCTM 2000) Das Kerncurriculum Mathematik verstehen – Entstehungsgeschichte – Struktur – Beispiele – Jan-Peter Braun SINUS-Transfer Niedersachsen Landeskoordinator Berthold Fritsch SINUS-Transfer Niedersachsen Setkoordinator

Überblick über den heutigen Tag – Vortrag und Workshop –
Informationsveranstaltung zu den Kerncurricula Mathematik HS/RS Niedersachsen, Oktober/November 2006 Überblick über den heutigen Tag – Vortrag und Workshop – (I) Bildungsstandards und Kerncurricula – von veränderten Lehrplänen zu verändertem Unterricht (90‘) 11.00 Pause (15´) (II) Das Kerncurriculum verstehen – Entwicklung und Aufbau der neuen Kerncurricula im Fach Mathematik (60‘) 12.15 Mittagspause (60´) (II) Fortsetzung (60‘) (III) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum – Anregungen für einen kompetenzorientierten Unterricht (120‘) (IV) Ausblick und Fragen (15‘) 16.30 Ende der Veranstaltung Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik

Bildungsstandards und Kerncurricula
Teil I Bildungsstandards und Kerncurricula Von veränderten Lehrplänen zu verändertem Unterricht – Kapitel 1 des Kerncurriculums … und mehr Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik

Stimmen zum Kerncurriculum
„In zwei Jahren denken die sich wieder was anderes aus.“ „Kerncurricula sind eine Modeerscheinung – genauso wie die Mengenlehre werden auch Kerncurricula bald wieder in Vergessenheit geraten!" „Kerncurricula sind Standards – Ich möchte keine standardisierten Menschen!" „Für die jungen Lehrkräfte ist das sicherlich interessant. Ich habe noch 5 Jahre bis zum Ruhe-stand, da stelle ich mich nicht mehr um." „Die da oben verlangen immer mehr von uns! Bei dieser Erlassflut muss ich Schwerpunkte setzen. Das Kerncurriculum wird nicht mein Schwerpunkt." „Kerncurricula sind das Gleiche wie Rahmenrichtlinien – alter Wein in neuen Schläuchen!“ Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik

„Alles ist anders! – Wie soll ich das leisten?" „Das Kerncurriculum Mathematik sieht ja ganz anders aus als das Kerncurriculum Englisch, und dieses wiederum anders als das Kerncurriculum Deutsch – die wissen wohl selbst nicht, was sie wollen.“ „Meine Schüler können nicht mal schriftlich dividieren und dann soll ich prozessbezogene Kompetenzen aufbauen?“ „Jetzt heißt das eben nicht mehr Ziele sondern Kompetenzen.“ „Was haben die sich denn da ausgedacht? Jetzt haben wir neben Bildungsstandards noch etwas, mit dem wir uns beschäftigen müssen!" „In Klasse 5/6 sind 102 Erwartungen formuliert – Ich kann doch in realistisch für Unterricht zu Verfügung stehenden 300 Unterrichtsstunden nicht 102 Themen stopfen!" „Endlich wird sich der Unterricht in der Schule mal wirklich grundlegend verändern, dafür investiere ich gerne Zeit und Arbeit.“ Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik

„Endlich können wir uns auf die wesentlichen Inhalte beschränken.“ „Habt Ihr es in Niedersachsen gut! Wir müssen selbst mit den Bildungsstandards zurechtkommen und diese auf die einzelnen Jahrgangsstufen herunterbrechen." „Kerncurricula sind der Innovationsmotor für die Verbesserung des Bildungssystems – durch Kerncurricula schneidet Niedersachsen in der kommenden PISA-Studie deutlich besser ab." „Endlich ändert sich mal was. Wer braucht auch schon 6/18 : 7/15. Im Berufsleben müssen wir teamfähig sein, Probleme lösen und dabei technische Hilfsmittel sinnvoll einsetzen.“ „Wir als Fachdidaktiker sollten uns mit Kritik am Kerncurriculum sehr zurückhalten. Wir haben es in den vergangenen Jahrzehnten nicht geschafft, etwas Vergleichbares zu entwickeln." „Super, dass Ihr Euren Lehrern so etwas bietet. Ich nutze bereits die Entwurfsfassung für die Lehrerbildung in Kursen zur Umsetzung der Bildungsstandards." Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik

Das Kerncurriculum verstehen
Teil II Das Kerncurriculum verstehen Entwicklung und Aufbau – Kapitel 3 des Kerncurriculums … und mehr Von TIMSS zu den Bildungsstandards Von den Bildungsstandards zum Kerncurriculum Die Struktur des Kerncurriculums Die prozessbezogenen Kompetenzbereiche verstehen Neues an den inhaltsbezogenen Kompetenzbereichen verstehen Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik

(1) Von TIMSS zu den Bildungsstandards – ein Überblick –
Jahr Untersuchung Gutachten TIMSS 1995 1997 Steigerung der Effizienz des MNU 1998 Module Weiterentwicklung der Aufgabenkultur Naturwissenschaftliches Arbeiten Aus Fehlern lernen Sicherung von Basiswissen - verständnisvolles Lernen auf unterschiedlichen Niveaus Zuwachs von Kompetenz erfahrbar machen — Kumulatives Lernen Fächergrenzen erfahrbar machen - Fachübergreifendes und fächerverbindendes Arbeiten 1999 Zentrale Befunde die in den Lehrplänen gesetzten Ziele werden nicht erreicht die Leistungen der Schüler variieren stark im internationalen Vergleich liegen die Leistungen unter dem Durchschnitt Zentrale Idee Kooperation Impulse von außen Fokussierung Kooperation Impulse von außen Fokussierung 2000 SINUS-Modellv. Förderung von Mädchen und Jungen Entwicklung von Aufgaben für die Kooperation von Schülern Verantwortung für das eigene Lernen stärken Prüfen - Erfassen und Rückmelden von Kompetenzzuwachs Qualitätssicherung innerhalb der Schule und Entwicklung schulübergreifender Standards PISA 2000 2001 KMK–Zentrale Handlungsfelder 2002 Bildungsstandards 2003 PISA 2003 2004 S-T Bildungsstandards Mathe/NW 2005 2006 Kerncurricula Niedersachsen S-T 2 Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

(1) Von den Bildungsstandards zum Kerncurriculum – ein Überblick –
Kommissionsbildung (1) Von den Bildungsstandards zum Kerncurriculum – ein Überblick – Jahr 10/04 Informationsveranstaltung 12/04 8 Sitzungen a 2 ½ Tage (tlw. 12 h am Tag) 2/05 Inoffizielle Einbeziehung von Experten 4/05 Erste Version im Internet Kommissionssitzungen 6/05 Expertenanhörung 8/05 Expertengutachten 10/05 Inoffizielle Diskussion mit Experten Durchlauf durchs MK 12/05 Anhörfassung 2/06 Sprecher Landtagsfassung 4/06 Druckfassung/Internetfassung 6/06 Veröffentlichung Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Die Vorlage – NCTM Principles and Standards for School Mathematics
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Durch die Kommission gesetzte Prämissen
so kurz wie möglich so umfangreich wie zum Verständnis (auch für fachfremd unterrichtende Lehrkräfte) notwendig kurze und prägnante Hinweise zu den einzelnen Kompetenzbereichen kurze und prägnant formulierte Texte „drumherum“ Abbildung des kumulativen Kompetenzaufbaus die formulierten Kompetenzen müssen überprüfbar sein Grundideen für Laien verständlich kompatibel zu bzw. anschlussfähig an länderübergreifende Publikationen/Materialien Mitdenken von Folgeprodukten Lernentwicklungsdokumentation, Handreichungen, Schulcurriculum Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

(3) Die Struktur des Kerncurriculum
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Gliederung des Kerncurriculums
Allgemeine Informationen zu den niedersächsischen Kerncurricula (2 Seiten) Bildungsbeitrag des Faches (1 Seite) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum (5 Seiten) Erwartete Kompetenzen (1 Seite) Prozessbezogene Kompetenzbereiche (6 Doppelseiten) Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche (7 Doppelseiten) Leistungsfeststellung und Leistungsbewertung (1 ½ S.) Aufgaben der Fachkonferenz (1 Seite) Kerncurricula und Bildungsstandards Kompetenzen Kompetenzerwerb Struktur der Kerncurricula Befähigung zur praktischen Lebensbewältigung Befähigung zur Weltorientierung und zur Wahrnehmung der Mathematik als Kulturgut Befähigung zum rationalen Handeln und zum kritischen Vernunftgebrauch Befähigung zum sozialen Handeln und zum eigenverantwortlichen Lernen Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Die mathematischen Kompetenzbereiche
Mathematische Bereiche Zahlen und Operationen Größen und Messen Raum und Form Funktionaler Zusammenhang Daten und Zufall Modellieren Problemlösen Argumentieren Kommunizieren Darstellen Symbolische, formale und technische Elemente Mathematik Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Der Kern jedes mathematischen Bereichs
Grundlegende Idee (Kern) eines mathematischen Bereichs (Kernkompetenz) … Mathematik Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Formulierung von Kernkompetenzen (prozessbezogener Kompetenzbereich)
Problemlösen Kernkompetenzen Schülerinnen und Schüler – erkennen ein mathematikhaltiges Problem und präzisieren es … setzen Problemlösestrategien ein beurteilen Prozesse und Ergebnisse der Problemlösung Kompetenzaufbau Anforderung Schwierigkeit Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Formulierung von Kernkompetenzen (inhaltsbezogener Kompetenzbereich)
Zahlen und Operationen Kernkompetenzen Schülerinnen und Schüler – besitzen sinntragende Vorstellungen von Zahlenbereichen … stellen Zahlen dar und nennen Besonderheiten der Zahldarstellung rechnen flüssig schätzen und prüfen ihre Ergebnisse Kompetenzaufbau Schwierigkeit Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Kompetenzabbildung in einem prozessbezogenen Kompetenzbereich
Darstellen Ende Schuljahrgang 6 Ende Schuljahrgang 8 Ende Schuljahrgang 10 Kernkompetenzen Schülerinnen und Schüler – Erwartungen … erstellen mathematische Darstellungen erstellen exakte Darstellungen strukturieren Darstellungen übersichtlich bereiten Darstellungen präsentations gerecht auf Kompetenzaufbau Anforderung Schwierigkeit Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Kompetenzabbildung in einem inhaltsbezogenen Kompetenzbereich
Raum und Form Ende Schuljahrgang 6 Ende Schuljahrgang 8 Ende Schuljahrgang 10 Kernkompetenzen Schülerinnen und Schüler – Erwartungen Identifizieren und strukturieren ebene und räumliche Figuren in der Umwelt erkennen und benennen Eigenschaften einfacher Körper (Würfel, Quader) erkennen und benennen Eigenschaften von Prismen erkennen und benennen Eigenschaften geometrischer Grundkörper (Zylinder, Pyramide, Kegel, Kugel) … Kompetenzaufbau Schwierigkeit Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Struktur Kompetenzbereich Ende Schuljahrgang 6 Ende Schuljahrgang 8
Kernkompetenzen Schülerinnen und Schüler – Erwartungen … Kompetenzaufbau Kompetenzaufbau Anforderung Schwierigkeit Anforderung Schwierigkeit Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Begriffsklärungen Kompetenzaufbau – Anforderungen – Schwierigkeit – Kompetenzstufen
Die fachdidaktische Lehr-/Lernforschung steht noch am Anfang Das Kerncurriculum ist ein Kompetenzmodell Lern- und entwicklungspsychologisch bedingt und erklärbar Anforderungsbereiche (bezogen auf prozessbezogene Kompetenzen) I: Reproduzieren II: Zusammenhänge herstellen III: Verallgemeinern und Reflektieren Anforderung Kognitiver Anspruch (kognitive Komplexität) Schwierigkeit Abhängig von - dem Thema/Stoff - den bereits aufgebauten Kompetenzen/Vorwissen - der Vertrautheit - … Empirisch ermittelbar (z.B. PISA-Kompetenzstufen, Erfahrungen von Lehrkräften) Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

(4) Die prozessbezogenen Kompetenz-bereiche verstehen
Modellieren Problemlösen Argumentieren Kommunizieren Darstellen Symbolische, formale und technische Elemente Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Niedersachsen, Oktober/November 2006 Modellieren Ziel Mathematik in der Realität - erkennen - beurteilen Realitätsbezogene Situation mit mathematischen Mitteln - verstehen, - strukturieren - einer Lösung zuführen Mittel Mathematisches Modell vereinfachtes Abbild der Realität Bindeglied zwischen Umwelt und Mathematik berücksichtigt nur Teilaspekte Kernkompetenzen Schülerinnen und Schüler stellen zu Sachsituationen Fragen, die sich mit mathematischen Mitteln bearbeiten lassen verbinden Realsituationen mit mathematischen Modellen arbeiten im Modell beurteilen das Ergebnis und das Modell in Bezug auf die Realsituation Beim Modellieren geht es darum, eine realitätsbezogene Situation durch den Einsatz mathematischer Mittel zu verstehen, zu strukturieren und einer Lösung zuzuführen. Es geht auch darum, Mathematik in der Realität zu erkennen und zu beurteilen Verstehen der realen Problemsituation Vereinfachen und strukturieren der beschriebenen Situation Übersetzen der vereinfachten Realsituation in die Mathematik Lösen der nunmehr mathematischen Problemstellung durch mathematische Mittel Rückinterpretation und Überprüfung des mathematischen Resultats anhand des realen Kontexts Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Eine Beispielaufgabe zum Modellieren
Informationsveranstaltung zu den Kerncurricula Mathematik HS/RS Niedersachsen, Oktober/November 2006 Eine Beispielaufgabe zum Modellieren Tanken Herr Stein wohnt in Trier, 20 km von der Grenze zu Luxemburg entfernt. Er fährt mit seinem VW Golf zum Tanken nach Luxemburg, wo sich direkt hinter der Grenze eine Tankstelle befindet. Dort kostet der Liter Benzin nur 1,05 €, im Gegensatz zu 1,30 € in Trier. Lohnt sich die Fahrt für Herrn Stein? Begründe deine Antwort! Lösungsweg Problemsituation verstehen Fragestellung/Problem strukturieren/präzisieren Problem mathematisieren Mathematisch arbeiten (im Modell arbeiten) Ergebnis interpretieren und überprüfen Entscheidungsaufgabe: Lohnt es sich 20 km zur günstigeren Tankstelle zu fahren? Spare ich Geld, wenn ich zur 20 km entfernten günstigeren Tankstelle fahre? KDifferenz = KTrier - KLuxemburg KTrier = (1,30€/l  45l) + (1,30€/l  2km  8l/100km) KLuxemburg= (1,05€/l  45l) + (1,05€/l  40km  8l/100km) Beim Modellieren geht es darum, eine realitätsbezogene Situation durch den Einsatz mathematischer Mittel zu verstehen, zu strukturieren und einer Lösung zuzuführen. Es geht auch darum, Mathematik in der Realität zu erkennen und zu beurteilen Verstehen der realen Problemsituation Vereinfachen und strukturieren der beschriebenen Situation Übersetzen der vereinfachten Realsituation in die Mathematik Lösen der nunmehr mathematischen Problemstellung durch mathematische Mittel Rückinterpretation und Überprüfung des mathematischen Resultats anhand des realen Kontexts Umgang mit Termen und Gleichungen, evtl. Grafen und technische Hilfsmittel Die Fahrt lohnt … … oder? Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Eine Beispielaufgabe zum Modellieren mit geringerem Anforderungsniveau
Kuchenrezept Lisa benötigt für einen Kuchen die folgenden Zutaten: 250 g Mandeln, 250 g Mehl, 125 g Zucker, 5 Eier, etwas Salz, 40 g Mandelblättchen. Der Teig reicht nach Rezept für eine runde Backform mit 22 cm Durchmesser. Lisa besitzt aber nur eine Form mit 26 cm Durchmesser. Beide Formen haben die gleiche Höhe. Verändere die Liste der Zutaten so, dass der Teig in der größeren Backform die gleiche Höhe wie in der kleineren Form hat. Runde geeignet. Geringeres Anforderungsniveau, da Situation klar umrissen Ein Modell nahe liegt (Zylinder, Zuordnung) 22 cm 26 cm Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Beispielaufgabe zum Modellieren mit geringem Anspruchsniveau
Trinkpäckchen Gegeben ist ein Trinkpäckchen mit angeklebtem Strohhalm. a) Miss Länge, Breite und Höhe des Trinkpäckchens. Zeichne maßstabsgetreu ein Schrägbild. b) Berechne das Volumen des Trinkpäckchens. Vergleiche mit der Angabe auf der Verpackung. Geringes Anforderungsniveau, da lediglich einschrittiges Vorgehen notwendig das Modell vorgegeben ist Einstichloch Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Niedersachsen, Oktober/November 2006 Problemlösen O O O O O O 1 2 3 4 5 6 Ziel lösen eines mathematikhaltigen Problems, bei dem ein Lösungsansatz nicht offensichtlich ist ein Lösungsverfahren (Algorith-mus) nicht zu Verfügung steht Mittel Zerlegungsprinzip Analogieprinzip Vorwärtsarbeiten Rückwärtsarbeiten Systematisches Probieren Veranschaulichen durch mathe-matische Figur, Skizze, Tabelle Kernkompetenzen Schülerinnen und Schüler erkennen ein mathematisches Problem und präzisieren es setzen Problemlösestrategien gezielt ein beurteilen Prozess und Ergebnis der Problemlösung „In welche Teilprobleme lässt sich das Problem zerlegen?“ „Habe ich ein ähnliches Problem bereits gelöst?“ „Was lässt sich alles aus den gegebenen Daten folgern?“ „Was wird benötigt, um das Gesuchte zu erhalten?“ Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Beispielaufgabe zum Problemlösen
Informationsveranstaltung zu den Kerncurricula Mathematik HS/RS Niedersachsen, Oktober/November 2006 Beispielaufgabe zum Problemlösen Fläche In das abgebildete Quadrat mit der Seitenlänge a sind zwei Halbkreise und eine Diagonale eingezeichnet. Berechne den Inhalt der blauen Fläche. Lösungsweg Hilfslinie einzeichnen Berechnung Flächeninhalt des Kreises Berechnung Flächeninhalt des Halbkreises Berechnung Flächeninhalt des Dreiecks Ablau = (AHalbkreis – ADreieck) : 2 Beim Modellieren geht es darum, eine realitätsbezogene Situation durch den Einsatz mathematischer Mittel zu verstehen, zu strukturieren und einer Lösung zuzuführen. Es geht auch darum, Mathematik in der Realität zu erkennen und zu beurteilen Verstehen der realen Problemsituation Vereinfachen und strukturieren der beschriebenen Situation Übersetzen der vereinfachten Realsituation in die Mathematik Lösen der nunmehr mathematischen Problemstellung durch mathematische Mittel Rückinterpretation und Überprüfung des mathematischen Resultats anhand des realen Kontexts Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Raum und Zeit (Mittagspause) - bis 13.15 Uhr -
Bücher zu den Bildungsstandards mit vielen Anregungen und Beispielaufgaben liegen zur Ansicht aus! Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik

Niedersachsen, Oktober/November 2006 Argumentieren Ziel Verbinden von Aussagen zu Argumentationsketten Verstehen und kritisches Bewerten von Argumentationen Mittel Schüler zum Formulieren aufordern „Begründe …!“ „Überprüfe …!“ „Beweise …!“ „Widerlege …!“ „Kann es sein, dass …!“ „Warum ist das so?“ „Gilt das immer?“ „Warum sind dies alle Fälle, die...?“ Kernkompetenzen Schülerinnen und Schüler hinterfragen mathematische Aussagen begründen Vermutungen bewerten Argumente Beim Modellieren geht es darum, eine realitätsbezogene Situation durch den Einsatz mathematischer Mittel zu verstehen, zu strukturieren und einer Lösung zuzuführen. Es geht auch darum, Mathematik in der Realität zu erkennen und zu beurteilen Verstehen der realen Problemsituation Vereinfachen und strukturieren der beschriebenen Situation Übersetzen der vereinfachten Realsituation in die Mathematik Lösen der nunmehr mathematischen Problemstellung durch mathematische Mittel Rückinterpretation und Überprüfung des mathematischen Resultats anhand des realen Kontexts Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Beispielaufgabe zum Argumentieren
Informationsveranstaltung zu den Kerncurricula Mathematik HS/RS Niedersachsen, Oktober/November 2006 Beispielaufgabe zum Argumentieren Summe von Nachbarzahlen Jette behauptet: „Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist stets durch drei teilbar.“ Hat Jette recht? Begründe deine Antwort. 5. Iterativer Ansatz 1+2+3 = 6; und 6 ist durch 3 teilbar 2+3+4 = 9; und 9 ist durch 3 teilbar Die Summe wächst jeweils um 3 und bleibt deshalb durch 3 teilbar 4. Inhaltlicher Ansatz eine der drei Zahlen muss durch 3 teilbar sein (3er-Reihe) eine der drei Zahlen lässt bei der Division durch 3 den Rest 1 eine der drei Zahlen lässt bei der Division durch 3 den Rest 2 ->der Rest (1+2 = 3) lässt sich durch 3 teilen, also ist die Summe durch 3 teilbar Mögliche Ansätze 1. Pragmatischer Ansatz man nimmt 3 aufeinander folgende Zahlen, z. B. 3, 4, 5 (4 -1) (4+1) = = 3 · 4 2. Algebraischer Ansatz Wenn n die erste dieser drei Zahlen ist, dann gilt: n+(n+1)+(n+2) = 3n + 3 = 3 ·(n+1) 3. Zeichnerischer Ansatz Beim Modellieren geht es darum, eine realitätsbezogene Situation durch den Einsatz mathematischer Mittel zu verstehen, zu strukturieren und einer Lösung zuzuführen. Es geht auch darum, Mathematik in der Realität zu erkennen und zu beurteilen Verstehen der realen Problemsituation Vereinfachen und strukturieren der beschriebenen Situation Übersetzen der vereinfachten Realsituation in die Mathematik Lösen der nunmehr mathematischen Problemstellung durch mathematische Mittel Rückinterpretation und Überprüfung des mathematischen Resultats anhand des realen Kontexts Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Niedersachsen, Oktober/November 2006 Kommunizieren Ziel Verstehen von Texten und mündlichen Äußerungen verständliche (fachsprachliche) Darstellung von Überlegungen, Lösungswegen, Ergebnissen Mittel Sprache Kernkompetenzen Schülerinnen und Schüler teilen mathematische Gedanken anderen schlüssig und klar mit vollziehen mathematische Argumentationen anderer nach, bewerten sie und diskutieren sachgerecht gehen konstruktiv mit Fehlern um Beim Modellieren geht es darum, eine realitätsbezogene Situation durch den Einsatz mathematischer Mittel zu verstehen, zu strukturieren und einer Lösung zuzuführen. Es geht auch darum, Mathematik in der Realität zu erkennen und zu beurteilen Verstehen der realen Problemsituation Vereinfachen und strukturieren der beschriebenen Situation Übersetzen der vereinfachten Realsituation in die Mathematik Lösen der nunmehr mathematischen Problemstellung durch mathematische Mittel Rückinterpretation und Überprüfung des mathematischen Resultats anhand des realen Kontexts Abgrenzung zum Argumentieren: Der Adressatenbezug Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Beispielaufgabe zum Kommunizieren
Informationsveranstaltung zu den Kerncurricula Mathematik HS/RS Niedersachsen, Oktober/November 2006 Beispielaufgabe zum Kommunizieren Badewannen-Geschichte Der obige Graf beschreibt den Wasserstand in einer Badewanne. Erfinde eine Geschichte dazu! Beim Modellieren geht es darum, eine realitätsbezogene Situation durch den Einsatz mathematischer Mittel zu verstehen, zu strukturieren und einer Lösung zuzuführen. Es geht auch darum, Mathematik in der Realität zu erkennen und zu beurteilen Verstehen der realen Problemsituation Vereinfachen und strukturieren der beschriebenen Situation Übersetzen der vereinfachten Realsituation in die Mathematik Lösen der nunmehr mathematischen Problemstellung durch mathematische Mittel Rückinterpretation und Überprüfung des mathematischen Resultats anhand des realen Kontexts Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Niedersachsen, Oktober/November 2006 Darstellen Ziel eigenständige Erzeugen von Darstellungen verständliche Umgehen mit vorgegebenen Darstellungen Mittel Diagramme Abbildungen Skizzen statistische Schaubilder Grafen Kernkompetenzen Schülerinnen und Schüler beschaffen sich aus Darstellungen mathematikhaltige Informationen erstellen mathematische Darstellungen bewerten gegebene Darstellungen dokumentieren ihren Lernprozess Beim Modellieren geht es darum, eine realitätsbezogene Situation durch den Einsatz mathematischer Mittel zu verstehen, zu strukturieren und einer Lösung zuzuführen. Es geht auch darum, Mathematik in der Realität zu erkennen und zu beurteilen Verstehen der realen Problemsituation Vereinfachen und strukturieren der beschriebenen Situation Übersetzen der vereinfachten Realsituation in die Mathematik Lösen der nunmehr mathematischen Problemstellung durch mathematische Mittel Rückinterpretation und Überprüfung des mathematischen Resultats anhand des realen Kontexts Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Beispielaufgabe zum Darstellen
Informationsveranstaltung zu den Kerncurricula Mathematik HS/RS Niedersachsen, Oktober/November 2006 Beispielaufgabe zum Darstellen Wahlen Stelle das folgende Wahlergebnis in einem Kreisdiagramm dar: Partei A: 30 % Partei B : 40 % Partei C: 25 % Sonstige: 5 % Stelle folgendes Wahlergebnis in einem Diagramm dar: Lösung Beim Modellieren geht es darum, eine realitätsbezogene Situation durch den Einsatz mathematischer Mittel zu verstehen, zu strukturieren und einer Lösung zuzuführen. Es geht auch darum, Mathematik in der Realität zu erkennen und zu beurteilen Verstehen der realen Problemsituation Vereinfachen und strukturieren der beschriebenen Situation Übersetzen der vereinfachten Realsituation in die Mathematik Lösen der nunmehr mathematischen Problemstellung durch mathematische Mittel Rückinterpretation und Überprüfung des mathematischen Resultats anhand des realen Kontexts Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Symbolische, formale und technische Elemente
Informationsveranstaltung zu den Kerncurricula Mathematik HS/RS Niedersachsen, Oktober/November 2006 Symbolische, formale und technische Elemente Ziel Ausbildung entlastender Routinen Gebrauch mathematischer Fakten („Wissen, dass …“) Fertigkeiten („Wissen, wie …“) Mittel Lösungs- und Kontrollverfahren (Algorithmen) mit Schrittfolge geometrische Grundkonstruktionen / Werkzeuge Taschenrechner, Software Variable, Terme, Gleichungen, Funktionen Nachschlagewerke Kernkompetenzen Schülerinnen und Schüler verwenden mathematische Werkzeuge verwenden Variablen, Terme, Gleichungen (auch Formeln) und Funktionen wählen Informationsquellen und technische Hilfsmittel aus Beim Modellieren geht es darum, eine realitätsbezogene Situation durch den Einsatz mathematischer Mittel zu verstehen, zu strukturieren und einer Lösung zuzuführen. Es geht auch darum, Mathematik in der Realität zu erkennen und zu beurteilen Verstehen der realen Problemsituation Vereinfachen und strukturieren der beschriebenen Situation Übersetzen der vereinfachten Realsituation in die Mathematik Lösen der nunmehr mathematischen Problemstellung durch mathematische Mittel Rückinterpretation und Überprüfung des mathematischen Resultats anhand des realen Kontexts Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Erwartungen aus „Symbolische, formale und technische Elemente“
Informationsveranstaltung zu den Kerncurricula Mathematik HS/RS Niedersachsen, Oktober/November 2006 Erwartungen aus „Symbolische, formale und technische Elemente“ Achtung! Folgen beachten … Ende Schuljahrgang 8 nutzen dynamische Geometriesoftware nutzen die Standardfunktionen des Taschenrechners nutzen Tabellenkalkulationssoftware wählen technische Hilfsmittel unter Berücksichtigung der Kriterien Genauigkeit, Zeitökonomie und Fehleranfälligkeit aus Achtung! Folgen beachten … Ende Schuljahrgang 10 nutzen die erweiterten Möglichkeiten des Taschenrechners (Speicher, statistische Funktionen, Editierfunktionen) nutzen Software oder einen grafikfähigen Taschenrechner zur Darstellung und Manipulation funktionaler Zusammenhänge nutzen Software zur Präsentation mathematischer Sachverhalte Beim Modellieren geht es darum, eine realitätsbezogene Situation durch den Einsatz mathematischer Mittel zu verstehen, zu strukturieren und einer Lösung zuzuführen. Es geht auch darum, Mathematik in der Realität zu erkennen und zu beurteilen Verstehen der realen Problemsituation Vereinfachen und strukturieren der beschriebenen Situation Übersetzen der vereinfachten Realsituation in die Mathematik Lösen der nunmehr mathematischen Problemstellung durch mathematische Mittel Rückinterpretation und Überprüfung des mathematischen Resultats anhand des realen Kontexts Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Aufbau prozessbezogener Kompetenzen
Die prozessbezogenen Kompetenzen werden von den Schülerinnen und Schülern in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten erworben. Modellieren Problemlösen Argumentieren Kommunizieren Darstellen Symbolische, formale und technische Elemente Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

(5) Neues an den inhaltsbezogenen Kompetenzbereichen verstehen
Zahlen und Operationen Größen und Messen Raum und Form Funktionaler Zusammenhang Daten und Zufall Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Zahlen und Operationen
Informationsveranstaltung zu den Kerncurricula Mathematik HS/RS Niedersachsen, Oktober/November 2006 Zahlen und Operationen Achtung! Folgen beachten … Ende Schuljahrgang 6 wenden die 4 Grundrechenarten auf Brüche mit überschaubarem Nenner in Sachsituationen an rechnen mit Dezimalbrüchen in Sachsituationen führen die Division mit einfachen mehrstelligen Divisoren aus rechnen im Kopf, halbschriftlich und schriftlich, wählen das Verfahren sinnvoll aus, nutzen dabei Rechenvorteile Ende Schuljahrgang 10 rechnen mit Zehnerpotenzen in Anwendungszusammenhänge Kernkompetenzen Schülerinnen und Schüler besitzen sinntragende Vorstellungen von Zahlbereichen stellen Zahlen dar und nennen Besonderheiten der Zahldarstellung rechnen flüssig schätzen und prüfen ihre Ergebnisse Beim Modellieren geht es darum, eine realitätsbezogene Situation durch den Einsatz mathematischer Mittel zu verstehen, zu strukturieren und einer Lösung zuzuführen. Es geht auch darum, Mathematik in der Realität zu erkennen und zu beurteilen Verstehen der realen Problemsituation Vereinfachen und strukturieren der beschriebenen Situation Übersetzen der vereinfachten Realsituation in die Mathematik Lösen der nunmehr mathematischen Problemstellung durch mathematische Mittel Rückinterpretation und Überprüfung des mathematischen Resultats anhand des realen Kontexts Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Niedersachsen, Oktober/November 2006 Größen und Messen Achtung! Folgen beachten … Ende Schuljahrgang 6 rechnen alltagsnahe Längen-, Massen- und Zeiteinheiten in benachbarte Einheiten um Ende Schuljahrgang 10 bestimmen näherungsweise den Flächeninhalt nicht geradlinig begrenzter Flächen und das Volumen unregelmäßig geformter Körper Kernkompetenzen Schülerinnen und Schüler verwenden Größen und Einheiten sachgerecht schätzen und messen berechnen Größen nutzen Maßstäbe Beim Modellieren geht es darum, eine realitätsbezogene Situation durch den Einsatz mathematischer Mittel zu verstehen, zu strukturieren und einer Lösung zuzuführen. Es geht auch darum, Mathematik in der Realität zu erkennen und zu beurteilen Verstehen der realen Problemsituation Vereinfachen und strukturieren der beschriebenen Situation Übersetzen der vereinfachten Realsituation in die Mathematik Lösen der nunmehr mathematischen Problemstellung durch mathematische Mittel Rückinterpretation und Überprüfung des mathematischen Resultats anhand des realen Kontexts Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Niedersachsen, Oktober/November 2006 Raum und Form Achtung! Folgen beachten … Ende Schuljahrgang 6 konstruieren achsensymmetrische Figuren und setzen Muster fort Ende Schuljahrgang 10 konstruieren geometrische Figuren mit Zirkel und Geodreieck sowie dynamischer Geometriesoftware Kernkompetenzen Schülerinnen und Schüler identifizieren und strukturieren ebene und räumliche Figuren aus der Umwelt stellen ebene und räumliche Figuren dar und operieren in der Vorstellung mit ihnen untersuchen Symmetrien und konstruieren symmetrische Figuren lösen innermathematische und realitätsbezogene geometrische Probleme Beim Modellieren geht es darum, eine realitätsbezogene Situation durch den Einsatz mathematischer Mittel zu verstehen, zu strukturieren und einer Lösung zuzuführen. Es geht auch darum, Mathematik in der Realität zu erkennen und zu beurteilen Verstehen der realen Problemsituation Vereinfachen und strukturieren der beschriebenen Situation Übersetzen der vereinfachten Realsituation in die Mathematik Lösen der nunmehr mathematischen Problemstellung durch mathematische Mittel Rückinterpretation und Überprüfung des mathematischen Resultats anhand des realen Kontexts Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Funktionaler Zusammenhang
Informationsveranstaltung zu den Kerncurricula Mathematik HS/RS Niedersachsen, Oktober/November 2006 Funktionaler Zusammenhang Achtung! Folgen beachten … Gestrichen „Definitionsmenge“, „Lösungsmenge“ Ende Schuljahrgang 8 wechseln zwischen Funktionsgleichung, Graf, Tabelle und verbaler Beschreibung von linearen Zusammenhängen geben zu vorgegebenen Grafen und Funktionstermen Sachsituationen an Kernkompetenzen Schülerinnen und Schüler beschreiben Muster, Beziehungen und Funktionen nutzen mathematische Modelle zur Lösung von inner- und außermathematischen Problemen analysieren und formalisieren inner- und außermathematische Situationen unter funktionalem Aspekt analysieren Veränderungen in unterschiedlichen Zusammenhängen Beim Modellieren geht es darum, eine realitätsbezogene Situation durch den Einsatz mathematischer Mittel zu verstehen, zu strukturieren und einer Lösung zuzuführen. Es geht auch darum, Mathematik in der Realität zu erkennen und zu beurteilen Verstehen der realen Problemsituation Vereinfachen und strukturieren der beschriebenen Situation Übersetzen der vereinfachten Realsituation in die Mathematik Lösen der nunmehr mathematischen Problemstellung durch mathematische Mittel Rückinterpretation und Überprüfung des mathematischen Resultats anhand des realen Kontexts Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Niedersachsen, Oktober/November 2006 Daten und Zufall Achtung! Folgen beachten … „Daten und Zufall“ ist die neue Schwerpunktsetzung im inhaltlichen Bereich Begründung: Die Mathematik als Kommunikationsmittel hat in den vergangenen beiden Jahrzehnten beständig an Bedeutung gewonnen. Hinweis: Dieser Kompetenzbereich sollte – wo immer möglich – mit anderen Kompetenzbereichen verknüpft werden. Kernkompetenzen Schülerinnen und Schüler formulieren Fragen, sammeln Daten und stellen sie angemessen dar nutzen zur Analyse von Daten angemessene statistische Methoden interpretieren Daten beurteilen Zufallsphänomene mit den Prinzipien der Wahr-scheinlichkeit Beim Modellieren geht es darum, eine realitätsbezogene Situation durch den Einsatz mathematischer Mittel zu verstehen, zu strukturieren und einer Lösung zuzuführen. Es geht auch darum, Mathematik in der Realität zu erkennen und zu beurteilen Verstehen der realen Problemsituation Vereinfachen und strukturieren der beschriebenen Situation Übersetzen der vereinfachten Realsituation in die Mathematik Lösen der nunmehr mathematischen Problemstellung durch mathematische Mittel Rückinterpretation und Überprüfung des mathematischen Resultats anhand des realen Kontexts Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Aufbau inhaltsbezogener Kompetenzen
Die prozessbezogenen Kompetenzen werden von den Schülerinnen und Schülern in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten erworben. Die inhaltsbezogenen Kompetenzen werden (nachhaltig) von den Schülerinnen und Schülern durch mathematische Prozesse (Handlungen) erworben. Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Unterrichtsgestaltung mit dem KC
Teil III Unterrichtsgestaltung mit dem KC Anregungen für einen kompetenzorientierten Unterricht – Kapitel 2 des Kerncurriculums … und mehr Vorbemerkungen Kooperation von Schülerinnen und Schülern Verantwortung für das eigene Lernen Umgang mit Fehlern Individuelle Förderung Umgang mit Medien Workshop I: Kompetenzorientierter Unterricht Die Rolle der Aufgabe Workshop II: Kompetenzorientierte Aufgaben Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik

Steigerung der Effizienz des MNU
(1) Vorbemerkungen Steigerung der Effizienz des MNU Module Weiterentwicklung der Aufgabenkultur Naturwissenschaftliches Arbeiten Aus Fehlern lernen Sicherung von Basiswissen - verständnisvolles Lernen auf unterschiedlichen Niveaus Zuwachs von Kompetenz erfahrbar machen — Kumulatives Lernen Fächergrenzen erfahrbar machen - Fachübergreifendes und fächerverbindendes Arbeiten Förderung von Mädchen und Jungen Entwicklung von Aufgaben für die Kooperation von Schülern Verantwortung für das eigene Lernen stärken Prüfen - Erfassen und Rückmelden von Kompetenzzuwachs Qualitätssicherung innerhalb der Schule und Entwicklung schulübergreifender Standards Zentrale Idee Kooperation Impulse von außen Fokussierung Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

(1) Vorbemerkungen Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Die folgenden Informationen betrachten Sie bitte als
(1) Vorbemerkungen Die folgenden Informationen betrachten Sie bitte als praxiserprobte Anregungen für einen kompetenzorientierten Unterricht im Sinne des Kerncurriculums! Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

(2) Kooperation von Schülerinnen und Schülern
Kooperative Lernformen bilden die Grundlage dafür, dass kognitives Lernen und soziales Lernen im Unterricht miteinander verbunden werden. Timo Leuders, 2006 Kooperative Unterrichtsformen Partner- und Gruppenarbeit Ich-Du-Wir-Prinzip Projektarbeit Aufgaben zur Kooperation von Schülern Prozessbezogene Kompetenzbereiche Kommunizieren Argumentieren Modul 8: Entwicklung von Aufgaben für die Kooperation von Schülern Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

(3) Verantwortung für das eigene Lernen
Individuelle Lernprozesse strukturieren Lerntagebuch Selbstdiagnose/Partnerdiagnose Lernzirkel/Lernen an Stationen Wochenplan Freiarbeit Problemlösekompetenz Modul 9: Verantwortung für das eigene Lernen stärken Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

(4) Individuelle Förderung
Definition von Basiswissen Sicherung von Basiswissen (Karteikarten, Übungs- und Wiederholungszirkel, ...) Aufgaben mit hohem Differenzierungsniveau Diagnose Gezielte Fördermaßnahmen für einzelne Schüler Modul 4: Sicherung von Basiswissen - Verständnisvolles Lernen auf unterschiedlichen Niveaus Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

(5) Umgang mit Fehlern Erfolg ist das Ergebnis richtiger Entscheidungen. Richtige Entscheidungen sind das Ergebnis von Erfahrung. Erfahrung ist das Ergebnis falscher Entscheidungen. Anthony Robbins Um- und Irrwege sind Teile des Modellierungs- und Problemlöseprozesses. Trennung von Lern- und Leistungssituationen Fehler als Lerngelegenheit für beide Seiten – Lehrkräfte und Schüler Modul 3: Aus Fehlern lernen Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

(6) Umgang mit Medien Taschenrechner Dynamische Geometriesoftware
Grafikfähiger Taschenrechner Internet Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

Workshop I: Videodokumentation eines kompetenzorientierten Unterrichts
Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

Workshop I: Videodokumentation eines kompetenzorientierten Unterrichts
Aufgabe: Welche Kompetenzbereiche werden in den gezeigten Unterrichten thematisiert? Video Start Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

(7) Die Rolle der Aufgabe
Typisierung nach PISA 2003 Aufgabentyp 1 Technische Aufgaben Aufgabentyp 2 Rechnerische Problemlöse- und Modellierungsaufgaben Aufgabentyp 3 Begriffliche Modellierungs- und Problemlöseaufgaben Rechnen/konstruieren nach vorgegebenen Regeln (nach vorgegebenem Ansatz) Anwendungsaufgaben/Problemlöseaufgaben (klassische Textaufgaben) bei der gesuchte Größe aus einem Ansatz heraus berechnet wird Modellierungs- und Problemlöseaufgaben bei denen der Zusammenhang zwischen erworbenen Kompetenzen selbst hergestellt werden muss (4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

Aufgabenvariationen Angaben überbestimmen Endlich ist es soweit! Das Steinhuder Meer ist seit 15 Jahren mal wieder zugefroren und zum Schlittschuhlaufen freigegeben. Doch der 14jährige Nico darf mit seinen 2 Freunden die Eisfläche erst betreten, wenn der gesamte See vom Schnee befreit ist. Die 8 Arbeiter, die den Schnee räumen, versprechen, in 4 Stunden fertig zu sein. Nico und seine Freunde überlegen: Wann wäre die Eisfläche frei, wenn wir mithelfen würden? (4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

Aufgabenvariationen Ein rechteckiger Hof ist 6,00 m lang und 5,30 m breit. Berechne die Fläche! Wie viel m² Stoff braucht Giesela für eine Tischdecke, die bei einem rechteckigen Tisch der Breite 80 cm und Länge 1,20 m auf jeder Seite 15 cm überhängen soll? Wie viel Stoff brauchst du für die Tischdecke zu deinem Tisch (Schule oder zu Hause)? Ein Parkplatz ist ungefähr so groß wie ein Fußballfeld. Wie viele Autos können in etwa darauf parken? Angaben unterbestimmen (4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

Aufgabenvariationen Angaben unterbestimmen Vor einer Ampel stauen sich auf 100 m Autos. Gehe davon aus, dass ein Auto 4 m lang ist. Der Abstand beträgt 1 m von Auto zu Auto. Wie viele Autos stehen vor der Ampel? Vor einer Ampel stauen sich auf 200 m Autos. Wie viel Menschen stehen in Stau. Begründe deine Antwort! (4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

Aufgabenvariationen Fragestellung weglassen Die Tageszeitung wiegt 180g. Die Samstagszeitung wiegt doppelt soviel. Bernd muss 147 Zeitungen austragen. Wie viel kg muss er in der Woche austragen? Die Tageszeitung wiegt 180g. Die Samstagszeitung wiegt doppelt soviel. Bernd muss 147 Zeitungen austragen. (4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

Aufgabenvariationen Aufgabenstellung umkehren Berechne: (16 - 4) : (-2) Du hast die Ziffern des heutigen Datums zur Verfügung. Setze Rechenzeichen so, dass -1 herauskommt. (4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

(7) Die Rolle der Aufgabe Kompetenzorientierte Aufgaben
Kompetenzorientierte Aufgaben gestalten einen kompetenzorientierten Unterricht. Kompetenzorientierte Aufgaben fordern nicht ausschließlich technische Fertigkeiten (Symbolische, technische und formale Elemente) sind nicht kalkül- und verfahrenstechnisch orientiert ermöglichen verschieden Lösungswege verknüpfen prozessbezogene und inhaltsbezogene Kompetenzbereiche. Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

Workshop II: Analyse einer kompetenzorientierten Aufgabe

Analyse einer kompetenzorientierten Aufgabe
Offenes Pflaster Bei einer wasserdurchlässigen Befestigung einer Garageneinfahrt mit Rasengittersteinen können die Niederschläge wieder im Erdreich versickern und in die Grundwasserströme gelangen. Dadurch bleibt der Wasserkreislauf erhalten und die Niederschlagswasser werden nicht direkt über den Kanal in die Flüsse abgeleitet. Das nebenstehende Bild zeigt einen solchen Rasengitterstein. Er besteht aus wasserdurchlässigen Öffnungen und wasserundurchlässigen Betonteilen. Der 40 cm × 60 cm × 10 cm große Rasengitterstein besteht aus 6 gleichartigen offenen Pflastersteinen. Das folgende Bild zeigt Form und Maße eines dieser offenen Pflastersteine: Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

a) Herrn Meiers Garageneinfahrt ist 8 m lang und 6 m breit. Wie viele solche Rasengittersteine werden benötigt? b) Wie viel Prozent der gesamten Garageneinfahrt bestehen dann aus den wasserdurchlässigen Öffnungen? c) Herr Meier entdeckt auf einer Palette im Hof eines Baumarktes einen Stapel mit Rasengittersteinen (siehe Bild). Wie viele Rasengittersteine befinden sich auf der Palette, wenn sie lückenlos aneinandergereiht auf der Palette aufgestapelt sind? Erläutere, wie du deren Anzahl bestimmst. d) Kann man mit einem LKW mit 7,5 Tonnen Ladegewicht alle benötigten Rasengittersteine in einer Fahrt anliefern? (Dichte von Beton: 2,3 g/cm³) Lege dar, wie du zu deiner Lösung gekommen bist. Aufgabe: Welche Kompetenzbereiche/Kernkompetenzen/Erwartungen werden in den Teilaufgaben konkretisiert? Ordnen Sie die Teilaufgaben einem Anforderungsbereich zu. Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

Pflasteraufgabe a) Prozessbezogener Kompetenzbereich Modellieren X wählen naheliegende Modelle lösen Aufgaben unter Anwendung mathematischer Modelle interpretieren das Ergebnis in Bezug auf die Realsituation Problemlösen Argumentieren Kommunizieren Darstellen entnehmen Informationen aus komplexeren Grafiken sowie längeren Texten erstellen einfache Darstellungen für mathematische Situationen Symbolische, formale und technische Elemente stellen Sachsituationen durch Gleichungen dar wählen Lösungs- und Kontrollverfahren und wenden sie an Inhaltsbezogener Kompetenzbereich Zahlen und Operationen Größen und Messen berechnen Flächeninhalt und Umfang von Quadrat und Rechteck rechnen alltagsnahe Flächen- und Volumeneinheiten in benachbarte Einheiten um Raum und Form Funktionaler Zusammenhang Daten und Zufall Anforderungsbereich II (Lesekompetenz) Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

Pflasteraufgabe b) Prozessbezogener Kompetenzbereich Modellieren X wählen naheliegende Modelle lösen Aufgaben unter Anwendung mathematischer Modelle interpretieren das Ergebnis in Bezug auf die Realsituation Problemlösen Argumentieren Kommunizieren Darstellen entnehmen Informationen aus komplexeren Grafiken sowie längeren Texten Symbolische, formale und technische Elemente stellen Sachsituationen durch Gleichungen dar wählen Lösungs- und Kontrollverfahren und wenden sie an Inhaltsbezogener Kompetenzbereich Zahlen und Operationen lösen einfache Sachprobleme mit proportionaler Struktur (Zweisatz) verwenden Prozentrechnung sachgerecht und berechnen Zinsen Größen und Messen berechnen Flächeninhalt und Umfang zusammengesetzter Figuren rechnen alltagsnahe Flächen- und Volumeneinheiten in benachbarte Einheiten um Raum und Form Funktionaler Zusammenhang Daten und Zufall Anforderungsbereich II (Lesekompetenz und Mehrschrittigkeit) Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

Eine Umsetzung des Kerncurriculums kann nur gelingen, wenn der Lehrer vertraut ist
mit der Idee, Leistung durch Kompetenzen zu beschreiben und mit dem hierfür verwendeten Kompetenzmodell (Prozessbezogene Kompetenzen, Inhaltsbezogene Kompetenzen, Anforderungsbereiche) mit der Analyse von Aufgaben, herkömmlicher wie neuartiger, mittels einer „Kompetenzbrille“ mit der zielgerichteten Konstruktion bzw. Variation kompetenzorientierter Aufgaben mit dem variablen Einsatz solcher Aufgaben in einem auf Kompetenzentwicklung ausgerichteten Mathematikunterricht mit der Verwendung solcher Aufgaben für Diagnosen und Evaluationen mit der Umsetzung von Diagnose- und Evaluationsergebnissen in gezielte Fördermaßnahmen für einzelne Schüler oder für die ganze Klasse Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

Teil IV Ausblick und Fragen
Das Unterstützungssystem – Kapitel 4 und 5 des Kerncurriculum … und mehr Die Unterstützungssysteme zur Implementierung der Kerncurricula Mathematik Fragen Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik

Das offizielle Unterstützungssystem in Niedersachsen
Veröffentlichung kompetenzorientierter Kerncurricula enthalten theoretisch fundiertes, auf die Praxis ausgerichtetes und in Teilen erprobtes Kompetenz- und Kompetenzaufbaumodell in der Form und Konsequenz u.W. deutschlandweit (ggf. weltweit) erstmalig Informationsveranstaltungen „Das Kerncurriculum verstehen“ Niedesachsen: Oktober/November 2006, 9.30 – Uhr Teilnehmer: Fachleiter Mathematik Teil IV: Ausblick und Fragen

Das offizielle Unterstützungssystem in Niedersachsen
Informationsveranstaltung zu den Kerncurricula Mathematik HS/RS Niedersachsen, Oktober/November 2006 Das offizielle Unterstützungssystem in Niedersachsen Curriculare Vorgaben Abschlussprüfungen Sek. I Bildungsstandards EPA Kerncurricula/Rahmenrichtlinien Leistungsüberprüfungen-9/10 Operatoren Vergleichsarbeiten Zentralabitur Materialien cuvo.nibis.de Teil IV: Ausblick und Fragen

Unterstützung der schulischen Fachgruppen
Wer? Die schulische Fachgruppe Wann? Im Kalenderjahr 2007 Mit wem? In Kooperation mit 4 bis 6 weiteren Schulen der Region Wo? In Ihrer Region (Regionale Lehrerfortbildung) Zeitrahmen? 1 ½ Tage oder 4 Nachmittage Was? Unterstützung der Schulen bei - Entwicklung/Auswahl/Variation/Einsatz von Aufgaben - dem Aufbau eines Schulcurriculums - der Dokumentation der individuellen Lernentwicklung - der Sicherung von Basiswissen Durch wen? Ausgebildete Multiplikatoren (tlw. mit SINUS-Erfahrung) Die Angaben stellen eine Planungsgrundlage dar. Änderungen sind möglich. Teil IV: Ausblick und Fragen

Das offizielle länderübergreifende Unterstützungssystem
Informationsveranstaltung zu den Kerncurricula Mathematik HS/RS Niedersachsen, Oktober/November 2006 Das offizielle länderübergreifende Unterstützungssystem Veröffentlichungen Blum / Drüke-Noe / Hartung / Köller (Hrsg.): Bildungsstandards Mathematik: konkret. Oktober 2006 (Cornlesen) Teil IV: Ausblick und Fragen

Das länderübergreifende SINUS-Unterstützungssystem
Veröffentlichungen Ulm, Volker: Mathematikunterricht für individuelle Lernwege öffnen 2004 (Kallmeyer) Teil IV: Ausblick und Fragen

Das inoffizielle länderübergreifende Unterstützungssystem
Veröffentlichungen Herget, Wilfried / Jahnke, Thomas / Kroll, Wolfgang: Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht 2001 (Cornelsen) Teil IV: Ausblick und Fragen

Das inoffizielle länderübergreifende Unterstützungssystem
Veröffentlichungen Büchter, Andreas / Leuders, Timo: Mathematikaufgaben selbst entwickeln. Lernen fördern – Leistungen überprüfen 2005 (Cornelsen Scriptor) weitere Titel siehe SINUS-Handreichung „Literatur-hinweise und Materialien zum Kerncurriculum“ Teil IV: Ausblick und Fragen

Das SINUS-Unterstützungssystem in Niedersachsen
Handreichungen zum Kerncurriculum Literaturhinweise und Materialien zum Kerncurriculum Tipp Vom Kerncurriculum zum Schulcurriculum Lernentwicklungsdokumentation mit dem Kerncurriculum Das Kerncurriculum verstehen (in Arbeit) Unterrichtsbezogene Qualitätsentwicklung mit dem Kerncurriculum (in Arbeit) Unterricht mit dem Kerncurriculum (in Planung) Teil VI: Ausblick und Fragen

Sonstige Unterstützungssysteme in Niedersachsen
Diskussionsforum Kerncurriculum Kerncurricula und Handreichungen herunterladen fachspezifisch diskutieren Ideen austauschen Informationen erhalten und weitergeben Fragen stellen und Antworten geben Materialien und Aufgaben herunter-laden und anderen zu Verfügung stellen Ergänzungen und Erläuterungen zu den Kerncurricula bereitstellen und lesen Teil IV: Ausblick und Fragen

R a u m f ü r F r a g e n Teil IV: Ausblick und Fragen
Kein Buch kann jemals fertig werden: während wir daran arbeiten, lernen wir immer gerade genug, um seine Unzulänglichkeit klar zu sehen, wenn wir es der Öffentlichkeit übergeben. (Popper, 1970) Teil IV: Ausblick und Fragen

Wir danken für Ihre Aufmerksamkeit und wünschen eine angenehme Heimreise
Das Kerncurriculum Mathematik verstehen – Entstehungsgeschichte – Struktur – Konsequenzen – Jan-Peter Braun SINUS-Transfer Niedersachsen Landeskoordinator Berthold Fritsch SINUS-Transfer Niedersachsen Setkoordinator

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Merkmale guter Bildungsstandards
Fachlichkeit Fokussierung Kumulativität Verbindlichkeit für alle (Mindeststandards) Differenzierung (über Mindeststandards hinaus) Verständlichkeit Realisierbarkeit Empfehlung nicht gefolgt Empfehlung nicht gefolgt (1) Von TIMSS zu den Bildungsstandards

Überprüfung der Bildungsstandards
Überprüfung von Kompetenzmodellen Voraussetzung für den Einsatz der Testinstrumente in den u.g. Bereichen Systemmonitoring z.B. TIMSS, PISA Schulevaluation interne und externe Evaluation Bezug auf die Programmatik und Spezifika der Schule Individualdiagnostik und Förderung einzelner Schüler einen kleinen Kompetenzbereich detailliert erfassen (1) Von TIMSS zu den Bildungsstandards

Testentwicklung Die Testentwicklung sollte in der Verantwortung einer wissenschaftlich qualifizierten Agentur liegen. Eine enge Zusammenarbeit mit Landesinstituten, Fachdidaktischen Vereinigungen, Lehrerverbänden, Universitären Zentren ist notwendig. Kommerzielle Anbieter sollten in die Testentwicklung einbezogen werden. (1) Von TIMSS zu den Bildungsstandards

Kompetenzorientierter Unterricht
„Es geht darum, so genau wie möglich zu ermitteln, inwieweit Schüler über mathematisch-kognitive Werkzeuge verfügen, mittels derer sie die mit Mathematik verbundene Welt zu erschließen und zu verstehen, mittels derer sie Mathematisierung vorzunehmen vermögen“ (Cohors-Fresenborg/Sjuts/ Sommer 2004) Voraussetzungen für eine fachbezogene Lernentwicklungsdokumentation

Kompetenzorientiert unterrichten
Wohl soll der Schüler auch künftig Kenntnisse und Fertigkeiten gewinnen – wir hoffen sogar: noch mehr als früher -, aber wir wollen sie ihm nicht beibringen, sondern er soll sie sich erwerben. Damit wechselt des Lehrers Aufgabe auf allen Gebieten. Statt Stoff darzubieten, wird er künftig die Fähigkeit des Schülers zu entwicklen haben. Und das Tun des Schülers ist nicht mehr auf Empfangen eingestellt, sondern auf Erarbeiten. Nicht Leitung und Rezeptivität, sondern Organisation und Aktivität ist es, was das Lehrverfahren der Zukunft kennzeichnet. Johannes Kühnel, 1950 (4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

Von SINUS zum Kerncurriculum – Vom Kerncurriculum zu SINUS
(4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

Kapitel 2: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Kompetenzbereiche Kompetenzentwicklung (SINUS-Modul 5) Kooperation von Schülerinnen und Schülern (Modul 8) Umgang mit Fehlern (SINUS-Modul 3) Verantwortung für das eigene Lernen (SINUS-Modul 9) Individuelle Förderung (SINUS-Modul 4, SINUS-Modul 7) Umgang mit Medien Aufgaben im Mathematikunterricht (SINUS-Modul 1) Die zentrale Stellung prozessbezogener Kompetenzen (Modul 6) (4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

Bildungsstandards Mathematik
(1) Von TIMSS zu den Bildungsstandards

Modellieren Anforderungsbereich I
vertraute und direkt erkennbare Standardmodelle nutzen (z.B. „Dreisatz“) direktes Überführen einer Realsituation in ein mathematisches Modell direktes Interpretieren eines mathematischen Resultats Anforderungsbereich II mehrschrittige Modellierungen innerhalb weniger und klar formulierter Einschränkungen vornehmen Ergebnisse einer solchen Modellierung interpretieren Ein mathematisches Modell passenden Realsituationen zuordnen oder an veränderte Umstände anpassen

Modellieren Anforderungsbereich III
ein Modell zu einer komplexen Situation bilden, bei der Annahmen, Variablen, Beziehungen und Einschränkungen neu definiert werden müssen Überprüfen, Bewerten und Vergleichen von Modellen

Problemlösen Anforderungsbereich I Anforderungsbereich II
lösen einer einfachen mathematischen Aufgabenstellung durch Identifikation und Auswahl einer naheliegenden Strategie (z.B. zeichnen einer einfachen Hilfslinie) Anforderungsbereich II finden eines Lösungsweges zu einer Problemstellung durch ein mehrschrittiges strategiegestützes Vorgehen

Problemlösen Anforderungsbereich III
Konstruieren einer elaborierten Strategie, um z.B. die Vollständigkeit einer Fallunterscheidung zu begründen oder eine Schlussfolgerung zu Verallgemeinern Reflektieren über verschiedene Lösungswege

Argumentieren Anforderungsbereich I
Routineargumentationen (bekannte Sätze, Verfahren, Herleitungen, usw.) wiedergeben und anwenden einfache rechnerische Begründungen geben mit Alltagswissen argumentieren Anforderungsbereich II überschaubare mehrschrittige Argumentationen nachvollziehen, erläutern oder entwicklen

Argumentieren Anforderungsbereich III
komplexe Argumentationen nutzen, erläutern oder entwickeln verschiedene Argumente nach Kriterien wie Reichweite und Schlüssigkeit bewerten

Kommunizieren Anforderungsbereich I
Darlegung einfacher mathematischer Sachverhalte Identifikation und Auswahl von Informationen aus kurzen mathematikhaltigen Texten (die Ordnung der Information im Text entspricht weitgehend den Schritten der mathematischen Bearbeitung) Anforderungsbereich II Verständliche, i.d.R. mehrschrittige Darlegung von Lösungsverfahren, Überlegungen und Ergebnissen Äußerungen (richtige, aber auch fehlerhafte) von anderen Personen zu mathematischen Texten interpretieren Identifikation und Auswahl von Informationen aus mathematikhaltigen Texten (die Ordnung der Information entspricht nicht unmittelbar den Schritten der mathematischen Bearbeitung

Kommunizieren Anforderungsbereich III
Entwickeln einer kohärenten und vollständigen Präsentation eines komplexen Lösungs- oder Argumentationsprozesses Komplexe mathematische Texte sinnentnehmend erfassen Äußerungen von anderen vergleichen, bewerten und ggf. korrigieren

Darstellen Anforderungsbereich I
Standarddarstellungen von mathematischen Objekten und Situationen anfertigen und nutzen Anforderungsbereich II gegebene Darstellungen verständig interpretieren oder verändern zwischen zwei Darstellungen wechseln

Darstellen Anforderungsbereich III
unvertraute Darstellungen verstehen und verwenden eigene Darstellungsformen problemadäquat entwickeln verschiedene Formen der Darstellung zweckgerichtet beurteilen

Anforderungsbereich I Verwenden elementarer Lösungsverfahren direktes Anwenden von Formeln und Symbolen direktes Nutzen einfacher mathematischer Werkzeuge (z.B. Formelsammlung, Taschenrechner) Anforderungsbereich II mehrschrittige Anwendungen formal mathematischer Prozeduren Umgang mit Variablen, Termen, Gleichungen und Funktionen im Kontext mathematisches Werkzeug je nach Situation und Zweck gezielt auswählen und einsetzen

Anforderungsbereich III Durchführen komplexer Prozeduren Bewerten von Lösungs- und Kontrollverfahren Reflektieren der Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Werkzeuge

Kompetenzorientierte Diagnose
„Das gesamte Unterrichtsarrangement muss auch auf Diagnose und daraus abgeleitete Konsequenzen ausgerichtet sein“ (Helmke 2003) Teil V: Unterrichtsplanung mit dem Kerncurriculum

Kompetenzorientierte Aufgaben
„Repräsentiert man Bildungsstandards durch Aufgaben, so geben die Aufgabenbearbeitungen Aufschlüsse darüber, in welchem Maße angesprochene Kompetenzen bereits entwickelt sind und in welchem Maße Anforderungen eines bestimmten Bereichs bewältigt wurden.“ (Sjuts 2006) Teil V: Unterrichtsplanung mit dem Kerncurriculum

Eckpfeiler der Kommissionsarbeit zu Beginn der 1. Sitzung
Prozess Benennung eines Kommissionssprechers möglichst Abstimmung zwischen den Kommissionen Abstimmung der Kommissionssprecher untereinander und mit der Projektleitung im Kultusministerium (je 1 Projektleiter für GS, HS/RS und Gymnasium/IGS) Ergebnis Abbildung über Doppeljahrgangsstufen Standards als Kompetenzen formuliert Sonst: keine! Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Bestandteile von Kompetenzmodellen
Kerncurriculum Komponenten beschreiben das Gefüge von der Anforderungen, deren Bewältigung von Schülern erwartet wird. Stufen liefert wissenschaftlich begründete Vorstellungen darüber, welche Abstufungen eine Kompetenz annehmen kann bzw. welche Grade oder Niveaustufen sich bei den einzelnen Schülern feststellen lassen. Jede Kompetenzstufe ist durch kognitive Prozesse und Handlungen von bestimmter Qualität spezifiziert, die Schüler auf dieser Stufe bewältigen können, aber nicht auf niedrigeren Stufen. Die Kompetenz einer Person lässt sich über Aufgaben beschreiben, denen ein entsprechender Schwierigkeitsgrad zugeordnet werden kann. Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Problem bei dem Weg von den Bildungsstandards zum Kerncurriculum
Variante A: Endkompetenz Ende Klasse 10 Beispiel aus „symbolische, formale und technische Elemente der Mathematik“: mit Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Diagrammen, Tabellen arbeiten Beispiel aus „Funktionaler Zusammenhang“: verwenden die Sinusfunktion zur Beschreibung von periodischen Vorgängen Variante B: doppeljahrgangsspezifisch zu konkretisierende übergeordnete Kompetenz Beispiel aus „Probleme mathematisch lösen“: geeignete heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien zum Problemlösen auswählen und anwenden Beispiel aus „Raum und Form“: erkennen und beschreiben geometrische Strukturen in der Umwelt Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Bildungsstandards und Kompetenzmodelle
Aufgabe der Bildungsstandards: Kompetenzen benennen, die Schüler erwerben müssen, damit Bildungsziele als erreicht gelten können. Aufgabe der Kompetenzmodelle: beschreiben, welche Lernergebnisse von Schülern in bestimmten Altersstufen in den jeweiligen Fächern erwartet werden. beschreiben, welche „Wege zum Wissen und Können“ eingeschlagen werden können. Kerncurriculum Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Das dem Kerncurriculum zugrunde liegende „Modell des Kompetenzerwerbs“
Gliederung in prozessbezogene und inhaltsbezogene Kompetenzen Beschreibung der Kompetenzbereiche durch eine begrenzte Anzahl an Kernkompetenzen geben den Kern des Kompetenzbereichs an auch für den Laien in verständliche Sprache Konkretisierung der Kernkompetenzen über Erwartungen Erwartungen sind „Teilkompetenzen“ gegliedert nach Doppeljahrgangsstufen Gliederung bildet einen systematischen, kumulativen Kompetenzaufbau ab nach Anforderungen (Anforderungsniveau) nach Schwierigkeit Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

4 Seiten zusammenfassende Thesen zum Kerncurriculum (Seite 1)
Das vorliegende Kerncurriculum ist soll Schülerinnen und Schüler befähigen, wichtige mathematische Konzepte und Verfahren mit Verständnis zu erlernen. Die erwarteten Kompetenzen zu erreichen, wird nicht einfach sein, aber die Aufgabe ist außerordentlich bedeutsam. Wir müssen die Kinder und Jugendlichen mit der bestmöglichen mathematischen Bildung ausstatten, mit einer Bildung, die sie befähigt, persönliche Wünsche und Berufsvorstellungen in einer sich ständig ändernden Welt zu erfüllen. Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Wir leben in einer durch Mathematik geprägten Welt. Ob wir uns zu einem Kauf entschließen oder eine Versicherung, eine Geldanlage oder einen Kredit wählen, wir verlassen uns auf mathematisches Verständnis. Das World Wide Web, CD-ROMs und andere Medien verbreiten riesige Mengen an Informationen. Die am Arbeitsplatz benötigten Anforderungen an mathematischem Denken und Problemlösen sind in den vergangenen beiden Jahrzehnten enorm angestiegen. Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

In einer solchen Welt haben diejenigen, die Mathematik verstehen und anwenden können, Möglichkeiten, die andere nicht haben. Mathematische Kompetenz öffnet Türen zu einer produktiven Zukunft. Ein Mangel an mathematischer Kompetenz verschließt diese Türen. Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Schülerinnen und Schüler haben unterschiedliche Fähigkeiten, Bedürfnisse und Interessen. Dennoch muss jede und jeder fähig sein, Mathematik in seinem persönlichen Leben anzuwenden; am Arbeitsplatz und beim weiteren Bildungsweg. Alle jungen Menschen haben Anspruch auf Gelegenheiten, die Kraft und die Schönheit der Mathematik zu verstehen. Sie müssen mathematische Basiskompetenzen erwerben können, die sie befähigt, flüssig zu rechnen und Probleme kreativ und einfallsreich zu lösen. Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

Die Rolle der Aufgaben Aufgaben werden in Lernsituationen genutzt, um
die Lernausgangslage festzustellen, die Einführung neuer Begriffe und Verfahren vorzubereiten und durchzuführen, intelligente Übungsmöglichkeiten zum Wiederholen und Festigen bereitzustellen, mathematikhaltige Probleme aus der Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler aufzugreifen, den Erfolg des Kompetenzaufbaus zu ermitteln. In Leistungssituationen nutzt man Aufgaben zur individuellen Leistungsfeststellung, zur Qualitätssicherung von Unterricht. Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

Kompetenzorientierter Unterricht
„Man weiß aus der Lehr-/Lernforschung, dass ein bloßes Abarbeiten und Trainieren von Aufgaben höchstens bei rein verfahrensorientierten Aufgabentypen überhaupt Effekte haben kann. Für langfristigen Kompetenzaufbau notwendig ist ein entsprechend breit angelegter, konsequent kompetenzorientierter Unterricht.“ (Blum, Köller u.a. 2006) Teil IV: Ausblick und Fragen

Informationsveranstaltung zu den Kerncurricula Mathematik HS/RS

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