Optionsbewertung Elena Kostiaeva.

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1 Optionsbewertung Elena Kostiaeva

2 Überblick Differential und Integralrechnung Integral
Differentialquotient Differential (Totales vs Partielles Differential) Beispiele Integral Riemann Integral Stieltjes Integral Partielle Integration Bewertung von Derivaten Futures, Options

3 Differential und Integralrechnung
Differentialquotient – entspricht Ableitung, also entspricht der Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle Die Steigung entspricht:

4 Differential und Integralrechnung

5 Differential und Integralrechnung
Ableitung

6 Differential und Integralrechnung
Differentialrechnung wird häufig dazu verwendet Flächen „unter“ Funktionsgraphen zu berechnen Das Differential ist dem Differentialquotient sehr ähnlich; hier frag man sich nach um welchen Betrag sich Y verändert, wenn eine Wertänderung des X erfolgt

7 Differential und Integralrechnung

8 Differential und Integralrechnung
Anhand dieser Skizze dann

9 Differential und Integralrechnung

10 Differential und Integralrechnung
Beispiele:

11 Differential und Integralrechnung
Approximation wenn sehr klein ist, dann gilt

12 Differential und Integralrechnung
Kettenregel Die Ableitung der zusammengesetzten Funktion

13 Differential und Integralrechnung
Riemann Integral Stieltjes Integral Partielle Integration

14 Differential und Integralrechnung
Integralrechnung wird benützt um die Fläche zwischen einem Graphen und X-Achse zu berechnen Im Vergleich zu der Intergral wird für die Summe der unzählbaren kleinen Objekten verwendet

15 Differential und Integralrechnung
Gegeben ist eine deterministische Funktion Annahme, wir wollen diese Funktion integrieren im Intervall

16 Differential und Integralrechnung
Damit wir den Riemann Integral anwenden können, teilen wir den Intervall [ 0;T ] auf n Subintervallen so erhalten wir die Approximationssumme

17 Differential und Integralrechnung
Gegeben ist Riemann Integral wird definiert als

18 Differential und Integralrechnung

19 Differential und Integralrechnung
Stieltjes Integral wo dann gilt wobei

20 Differential und Integralrechnung
Riemann-Stieltjes Integral

21 Differential und Integralrechnung
Die partielle Integration entspricht der Produktregel des Differenzierens. Hat man ein Integral der Form wobei leicht auf- und leicht abzuleiten ist.

22 Differential und Integralrechnung
Damit ergibt sich es entsteht also ein neues Integral, das nun noch (hoffentlich leichter) zu integrieren ist.

23 Differential und Integralrechnung
Partielle Ableitungen am Bsp “Call option” Ableitung, wenn t = const Ableitung, wenn = const

24 Differential und Integralrechnung
Will man eine Funktion vollständig ableiten, so muß man das totale Differential bilden. Es entsteht aus der Summe der partiellen Ableitungen wie folgt:

25 Differential und Integralrechnung
Taylorreihen Erwartung: Eine Gerade der Form

26 Differential und Integralrechnung
Taylorreihe wird definiert als

27 Bewertung von Derivaten
Bewertungsmethoden: Method of equivalent martingale measures Partial different equation Funktionen Forwards Options Delta Hedging

28 Bewertung von Derivaten
Problem: Die Finanzmarktdaten sind nicht deterministisch! sind ununterbrochen stochastisch

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