Wichtige Transformationen

Präsentation zum Thema: "Wichtige Transformationen"—  Präsentation transkript:

1 Wichtige Transformationen
Referentin: Yvonne Schindler Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

2 Wichtige Transformationen
FFT – Fast Fourier Transformation DCT – Diskrete Cosinus Transformation Wavelets Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

3 Transformationen Transformationen sollen gegeben Daten so
umwandeln, dass eine Bearbeitung weniger aufwendig ist, eine eindeutige Wiederherstellung durch Rücktransformation möglich ist Das Ziel einer jeden Transformation ist es, Daten in eine andere Repräsentation zu bringen, die Vorteile für die anschliessenden Operationen bringt. Allerdings sind nicht alle Transformationen gleich gut geeignet für die Repräsentation von bestimmten Daten. Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

4 Transformationen Transformation und Rücktransformation sind aufwendig
Aber: Berechnungen im transformierten Raum sind meist wesentlich einfacher Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

5 Transformationsbeispiel
Lösen der Gleichung X=Y / Z ohne Taschenrechner X = Y / Z Hoher Aufwand Durch Division Lösung Transformation log(X) = log (Y) – log (Z) Geringer Aufwand Durch Subtraktion Lösung Ein Beispiel für eine sinnvolle Transformation ist die Lösung der Gleichung X=Y/Z ohne Taschenrechner. Ohne Transformation ist das eine relativ schwierige Aufgabe. Wenn aber Logarithmentabellen hat, ist die Transformation einfach, die Subtraktion ist auch recht einfach und die Rücktransformation ist ebenfalls relativ einfach, so dass man für den gesamten Prozess weniger Anstrengungen aufbringen muss, als wenn man die Gleichung so löst. Analog zu diesem Beispiel funktionieren auch die Transformationen, die heute vorstellen werde. Rücktransformation Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

6 Transformation Durch Rechnergenauigkeit kommt es aber doch
schon bei der Transformation zu Datenreduktion. Bsp.: Die Zahl Pi 3, wird vom Rechner auch nur gerundet genutzt Datenreduktion am Beispiel der zahl PI, 3, Ist das Original, aber wir erkennen auch 3,1415 als PI an ohne, dass ein großer Unterschied für uns besteht. Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

7 Fouriertransformation
1822 Jean-Baptiste-Joseph Fourier: ,,Die analytische Theorie der Wärme`` Man kann Funktionen durch die Summe von Sinus- und Cosinusfunktionen darstellen 1822 verfasste Jean-Baptiste-Joseph Fourier sein Buch „ Die analytische Theorie der Wärme. Darin kam er zu der Erkenntnis, dass man Funktionen als Summer von unendlich vielen Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen kann. Nichtperiodische Funktionen brauchen unendliche viele sin- und cos-Funktionen. Periodische brauchen endlich viele. Durch die unendliche Anzahl ist klar, dass eine gewisse Datenreduktion zustande kommt, da der Computer nicht mit unendlich vielen Werten rechnen kann. Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

8 1-dim. Fouriertransformation
n Daten Fouriermatrix Die 1-dimensionale Fouriertransformation geht von einem Vektor mit n Daten aus IR in einen Vektor aus C. Über die Umkehrfunktion kann man dann wieder den Vektor in IR erzeugen. Damit ist die Fouriertransformation theoretisch verlustfrei. Praktisch hat der Rechner aber eine bestimmte Genauigkeit. Die reicht aber auch aus, denn es ist kein unterschied für den Menschen sichtbar. C Normierungsfaktor R Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

9 n-te Einheitswurzel xn hat in C n Lösungen Bsp.: x8 hat 8 Lösungen
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10 Fouriermatrix Def.: Sei n  N und n n-te Einheitswurzel in C. Die
nxn-Matrix F mit Fk,l= nk*l für alle k, l    {0, ..., n-1}, heißt Fouriermatrix. Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

11 1-dim. Fouriertransformation
n Daten Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

12 Inverse Fouriermatrix
Für eine Rücktransformation braucht man eine inverse Fouriermatrix F ist unitär => F-1 = Ft transponiert konjugiert für alle k,l  {0, ..., n-1} Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

13 Beweis für inverse Fouriermatrix 1
k=l =>1 kl => c=(k-l) Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

14 Beweis für inverse Fouriermatrix 2
geometrische Reihe Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

15 Beweis für inverse Fouriermatrix 3
=> Ft = F-1 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

16 2-dim. Fouriertransformation
Inverse: Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

17 Fast Fouriertransformation
Idee: Einzelne Berechnungen der Matrix-Vektor- Multiplikation in bestimmter Reihenfolge ausführen und schon berechnete Zwischenwerte benutzen n muss dafür eine 2er-Potenz sein Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

18 Fouriertransformation
Anwendungsbeispiel Fouriertransformation Bearbeitung Inverse Fouriertransformation Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

19 Diskrete Cosinus Transformation
DCT wird bei JPEG und MPEG benutzt Bei JPEG wird die DCT auf 8*8=64 Pixel angewandt Dabei werden die 64 Pixelwerte in 64 Frequenzbereiche Svu (mit v, u { }) umgesetzt, die somit eine zweidimensionale Frequenz wiedergeben. S00 wird als DC-Koeffizient bezeichnet und entspricht dem Frequenzanteil 0 in beiden Achsen. Er bestimmt den Grundfarbton für die gesamte Dateneinheit. Die übrigen Svu werden AC-Koeffizienten genannt. Große regelmäßige Flächen im Bild schlagen sich in niedrigen Frequenzanteilen nieder, feine Details und genaue Auflösung von Farbunterschieden in hohen. Die DCT nutzt die Schwächen des menschlichen Auges und filtert die hohen Ortsfrequenzen heraus, die das Auge ohnehin nicht wahrnehmen kann. Da sich benachbarte Pixelwerte in der Regel kaum unterscheiden, werden nach der DCT nur der DC-Koeffizient und einige niederfrequente AC-Koeffizienten größere Werte annehmen. Die anderen Koeffizienten werden fast Null oder meistens sogar gleich Null sein. Es müssen daraufhin also nur kleine Zahlen kodiert werden, was bei geeigneter Darstellung bereits einen Komprimierungseffekt hat. Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

20 DCT - Idee Gerade Funktion, d.h. f(x) = f(-x)
Fouriertransformation anwenden: Dabei wird der imaginäre Anteil 0 Man könnte das Ganze auch analog für den Sínus machen, aber man herausgefunden, dass die DCT für das Auge angenehmer ist. Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

21 DCT – Herleitung 1 Gerade Funktion durch Verdoppelung der Werte 2n
f(-n+1), f(-n+2), ... f(-1), f(0), f(1), ... ,f(n) n+1 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

22 DCT – Herleitung 2 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

23 DCT – Herleitung 3 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

24 DCT – Herleitung 4 Fertig!!!
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25 Wavelets Funktionen können auch durch die Summe von
anderen Funktionen (Basisfunktionen) dargestellt werden. Die Transformation geht schrittweise voran Wavelets werden z.B. bei JPEG2000 benutzt und beim FBI um Fingerabdrücke zu speichern Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

26 Basisfunktion Als Basisfunktion kann jede orthogonale Funktion
genommen werden, für die gilt: Daher auch die Bezeichnung Wavelet engl. Wave = Welle Diese Funktionen verbinden die grundlegende Eigenschaft der Orthogonalität (d.h. die Vektoren der Funktionen stehen senkrecht zueinander (wie cosinus & sinus), die eine Transformation und eine identische Rekonstruktion erst ermöglicht. Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

27 Haar-Wavelet Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

28 Weitere Wavelet - Beispiele
Daubechies 6 Daubechies 8 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

29 Grundprinzip Berechnung des Mittelwertes und der Differenz
Tiefpass und Hochpassanteile werden gespeichert. - Der Tiefpassanteil wird weiter analysiert. - durch immer kleiner werdender Hochpassanteile und einen einzigen Tiefpassanteil gekennzeichnet Die Berechnung des Mittelwertes und der Differenz zwischen zwei benachbarten Pixelwerten. - Die Ergebnisse werden als Tiefpass und Hochpassanteile gespeichert. - Der Tiefpassanteil wird mit den Haar-Funktionen weiter analysiert. - Letztendlich ist das wavelet-transformierte Bild durch eine gewisse Anzahl immer kleiner werdender Hochpassanteile und einen einzigen Tiefpassanteil gekennzeichnet Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

30 Beispiel Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

31 Grundprinzip Grafik 1 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

32 Grundprinzip Grafik 2 Es resultieren zwei Bilder, man hat also nun mehr Daten als vorher, die jedoch redundant sind. Man kann diese Bilder dann um den Faktor 2 verkleinern ohne Information zu verlieren. Der beschriebene Vorgang geschieht sowohl in horizontaler als auch in vertikaler Richtung. Die nachfolgende Abbildung zeigt ein Bild vor und nach der Transformation: In den Hochpassanteilen der ersten Transformationsstufe werden die feinen Bildstrukturen erfasst, in den Hochpassanteilen der folgenden Transformationsstufen werden zunehmend gröbere Bildstrukturen erfasst. Die Kompression ist jetzt wesentlich einfacher, da große Teile schwarz sind. Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

33 Vergleich DCT - Wavelet Original
FFT dopplet so viele Daten wie DCT gefensterten Fourier-Transformation (Short-Time Fourier-Transformation (STFT)) Nachteil Fourier: Treten nämlich in einem Bild höhere Frequenzanteile auf - z.B. durch ausgeprägte Kanten - so wirken sich diese auf alle Koeffizienten aus. Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen

34 Vergleich Kompression 1:25
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35 Vergleich Kompression 1:50
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36 Quellen & weiterführende Literatur
E-Kreide-Vorlesungen - FFT, DCT, Wavelets Internet – Studien- und Diplomarbeiten Elbert Oran Brigham (1995) Schnelle Fourier Transformation Josef Hoffmann (1991) Bildkompression mit DCT und anderen Transformationen Daubechies I. (1992) Ten Lectures on Wavelets Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen