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2. Mengen
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Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. (G. Cantor, 1895) x Mx M M = { a, e, i, o, u } = { u, e, i, a, o } = { a, e, i, o, u, u, u } b M = { 1, 2, 3,... }
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M = { x | x x < 3 }. M = { x | x x = x x } M = { x | x 2 - 3x + 2 = 0 } M = { 1, 2 } M = { x | P(x) } wo P(x) = "x 2 - 3x + 2 = 0"
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= { 1, 2, 3,... } 0 = { 0, 1, 2, 3,... }, Kardinalzahlen = {..., -1, 0, 1, 2,... } = { m/n | m n } = { x | x besitzt Dezimaldarstellung }. = { x + iy | x, y , i 2 = -1 } A B strikte Inklusion ( x: x A x B) ( x: x B x A) A A schwache Inklusion (A B B A) (A = B)
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G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2 } K = { (x, y) | x, y x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x 2 + y 2 = 1) }
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G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2 } K = { (x, y) | x, y x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x 2 + y 2 = 1) } = { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }
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G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2 } K = { (x, y) | x, y x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x 2 + y 2 = 1) } = { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) } = { } M M = { x | x x } , A, B,..., M,..., A B = { x | x A x B }
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G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2 } K = { (x, y) | x, y x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x 2 + y 2 = 1) } = { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) } = { } M = { x | x x } , A, B,..., M,..., A B = { x | x A x B } A B = { x | x A x B }
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G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2 } K = { (x, y) | x, y x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x 2 + y 2 = 1) } = { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) } = { } M = { x | x x } , A, B,..., M,..., A B = { x | x A x B } A B = { x | x A x B } 1 - 2 = - 1 { 1 } \ { 1, 2 } = A \ B = { x | x A x B }
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A B = { (x, y) | x A y B } { a, b, c } { 1, 2 } = { (a, 1), (b, 1), (c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2) } A B C besteht aus geordneten Tripeln (a, b, c) wobei a A, b B, c C. Anstelle von schreibt man auch einfach 3. n n-dimensionaler euklidischen Raum, dessen Elemente die n-Tupel (x 1, x 2, x 3,..., x n ) sind: n = { (x 1, x 2, x 3,..., x n ) | x k , 1 k n }
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Kommutativität A, B: A B = B A A, B: A B = B A A, B: A \ B B \ A A, B: A B B A Assoziativität A, B, C: (A B) C = A (B C) = A B C A, B, C: (A B) C = A (B C) = A B C A, B, C:(A B) C A (B C)
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A, B, C: A (B C) = (A B) (A C)(2.1) A, B, C: A (B C) = (A B) (A C)(2.2)
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Das Komplement A* einer Menge A (bezüglich ) A* = { x | x x A } A A* = A A* = A = A** Sätze von de Morgan: (A B)* = A* B*(2.3) (A B)* = A* B*(2.4) Augustus De Morgan
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2.1 Seien A = { 1, a, b, c } und B = { 1, 2, 3, c }. Bilden Sie den Durchschnitt A B, die Vereinigung A B und die Differenz A \ B sowie B \ A. 2.2 Finden Sie ein Beispiel für (A B) C A (B C). 2.3 Für die nicht leere Menge M prüfe man durch logische Herleitung und mit Mengendiagrammen die Sätze: M M = M(Idempotenzgesetz) M M = M(Idempotenzgesetz) M \ M = M = M = M( ist neutrales Element der Schnittbildung) M = M( ist neutrales Element der Vereinigung) M = A (A B) = A(Absorptionsgesetz) A (A B) = A(Absorptionsgesetz)
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2.4 Vereinfachen Sie: (A (B A)) (A B) (A B*) (A* B) (A B) (A B*)* (A* B)* (((A (B C)) B) \ C) ((A B A*) \ B). [Hinweis: A \ B = A B*.] 2.5 Führt man in einer logischen Aussage die folgenden Ersetzungen bzw. ihre Umkehrungen durch: , und M M* (einschließlich ), so erhält man die duale Aussage. Beispiel: M = ist dual zu M* = . Bilden Sie die dualen Aussagen zu A (B A) = A M = M M M* = und prüfen Sie deren Gültigkeit. 2.6 A = { 1, a } und B = { 1, 2 }. Bilden Sie das Produkt A B sowie das Produkt B A.
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