Optimierung des Volumen eines Zylinders in einem Kegel

Präsentation zum Thema: "Optimierung des Volumen eines Zylinders in einem Kegel"—  Präsentation transkript:

1 Optimierung des Volumen eines Zylinders in einem Kegel
Von Veysi Demir und Ann-Kathrin Beck

2 Einem Kegel vom Radius RK=3 cm und der Höhe HK=6 cm wird ein Zylinder eingeschrieben. Wie muss rz und hz gewählt werden, damit ein maximales Volumen erreicht wird?

3 Skizze RK=3 cm; HK=6 cm HK hz rz RK

4 Mathematische Herleitung
Zielfunktion: VZylinder= π*rz²*hz Da die beiden Dreiecke gleichgroß sind, erhält man folgende Nebenbedingung: HK/RK = hz/(RK-rz) => hz=HK/RK*(RK-rz) Wir setzen h in die Zielfunktion ein: VZylinder= π*rz²*HK*(RK-rz)/RK Wir setzen für RK=3 und für HK=6 ein: VZylinder: π*rz²*6*(3-rz)/3

5 Mathematische Lösung I
VZylinder = π*rz²*6*(3-rz)/3 = (18*π*rz²-6*π*rz³)/3 = -2*π*rz³+6*π*rz² V‘Zylinder = -6*π*rz²+12*π*rz 0 = -6*π*rz²+12*π*rz | / (-6*π) 0 = rz²-2*rz | / rz 0 = rz-2 rz = 2

6 Mathematische Lösung II
V‘‘Zylinder = -12*π*rz+12*π | rz einsetzen = -12*π*2+12*π = -36, Damit liegt in rz=2 ein Hochpunkt vor!

7 Ergebnis: Bei rz=2 ist das Volumen am größten
Funktionsgraph Ergebnis: Bei rz=2 ist das Volumen am größten

8 Solver I Das Volumen V muss mit einer Formel berechnet werden:
V=π*rz²*HK*(RK-rz)/RK Menü: „Extras“ „Solver“

9 Volumen soll maximal sein
Solver II Veränderbare Zelle Volumen soll maximal sein nächste Folie

10 Solver III Markieren sie den Optionsbutton, um die Lösung zu verwenden
Wählen sie die Schaltfläche „OK“, um die Lösung zu verwenden Wählen sie die Schaltfläche „Abbrechen“, um zurück in die Mappe zu gelangen

11 Solver IV Markieren sie den Optionsbutton „Ausgangswerte“, um die Ausgangswerte wiederherzustellen Wählen sie die Schaltfläche „Szenario speichern“, um das Szenario zu speichern

12 Lösung Der Zylinder hat das maximale Volumen, wenn rz=2 beträgt.

13 Quellen