Mathematische Ansätze

Präsentation zum Thema: "Mathematische Ansätze"—  Präsentation transkript:

1 Mathematische Ansätze
Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren Mathematische Ansätze

2 Mathematische Ansätze
Stoffunabhängige Gleichungen Materialgesetze Kompatibilität 15 Unbekannte: x y z xy xz yz x y z xy xz yz u v w Mathematische Ansätze

3 Mathematische Ansätze
stoffunabhängige Gleichgewichtsgleichungen 6 kinematische Gleichgewichtsgleichungen 6 Materialgleichungen Mathematische Ansätze

4 Gleichgewichtsgleichungen
Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen F a b Virtueller Schnitt Mathematische Ansätze

5 Stoffunabhängige Gleichungen
Gleichgewichtsgleichungen F Normalspannungen =dFn/dA dFn dA dFt dF Spannungsvektor der resultierenden Schnittgrößen Sv=dF/dA Tangentialspannungen =dFt/dA Mathematische Ansätze

6 Stoffunabhängige Gleichungen
z Gleichgewichts- gleichungen zy zx yx yz xy xz y x Mathematische Ansätze

7 Stoffunabhängige Gleichungen
Gleichgewichtsgleichungen: x/x + yx/y + zx/z + X = 0 y/y + xy/x + zy/z + Y = 0 z/z + yz/y + xz/x + Z = 0 Mathematische Ansätze

8 Mathematische Ansätze
Eliminiert man aus den 15 Gleichungen alle Spannungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Verschiebungen: G [u + (1-2) –1 (/x)] +X = 0 G [v + (1-2) –1 (/y)] +Y = 0 G [w + (1-2) –1 (/z)] +Z = 0 (Navier) Mathematische Ansätze

9 Mathematische Ansätze
In den Navier Gleichungen sind: u = 2u/x2+ 2u/y2 + 2u/z2 v = 2v/x2+ 2v/y2 + 2v/z2 w = 2w/x2+ 2w/y2 + 2w/z2 (Laplace) Mathematische Ansätze

10 Mathematische Ansätze
Eliminiert man aus den 15 Gleichungen die Verschiebungen und deren Ableitungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Spannungen:  x+(1+)–1(2/x2)+2X/x+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0  y+(1+)–1(2/y2)+2Y/y+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0  z+(1+)–1(2/z2)+2Z/z+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0 (Beltrami) Mathematische Ansätze

11 Mathematische Ansätze
 xy+(1+)–1 (2/xy) + X/y + Y/x = 0  xz+(1+)–1 (2/xz) + X/z + Z/x = 0  yz+(1+)–1 (2/yz) + Y/z + Z/y = 0 (Beltrami) Mathematische Ansätze

12 Mathematische Ansätze
In den Beltrami-Gleichungen sind:  x= 2x/x2+ 2x/y2 + 2x/z2  y= 2y/x2+2y/y2 + 2y/z2  z = 2z/x2+ 2z/y2 +2z/z2 Die Lösung der DGL (Navier + Beltrami) gelingt nur in seltenen Fällen bei einfacher Geometrie und einfacher Belastung Mathematische Ansätze

13 Stoffunabhängige Gleichungen
Spannungstensor Bechleunigungsvektor Mathematische Ansätze

14 Stoffunabhängige Gleichungen
Gleichgewichtsgleichungen: Sx= xex + yxey+ xzez Sy= yxex + yey + yzez Sz= zxex + zyez + zez Tensordarstellung: x xy xz S = yx y yz zx zy z S Spannungstensor Mathematische Ansätze

15 Mathematische Ansätze
15 Unbekannte: x y z xy xz yz x y z xy xz yz u v w 3 Stoffunabhängige Gleichungen 6 Materialgleichungen 6 Kompatibilitätsgleichungen Mathematische Ansätze

16 Mathematische Ansätze
Kompatibilitäts- bedingung: Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen Die Verschiebungsvektoren und deren Komponenten sind stetige Funktionen Mathematische Ansätze

17 Mathematische Ansätze
Kompatibilitäts- bedingung: Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen u=u(x,y,z,t)=ux(x,y,z,t)ex+uy(x,y,z,t)ey+uz(x,y,z,t)ez Mathematische Ansätze

18 Mathematische Ansätze
B1 D u(x+dx,y,dy,z) u(x+dx,y,z) u(x,y+dy,z) u(x,y,z) C B ux(x+dx,y,z)=ux(x,y,z)+(ux(x,y,z)/ x)dx Mathematische Ansätze

19 Kinematisches Gleichgewicht
x = u/x u v w y = v/y z = w/z xy = v/x + u/y xz = w/x + u/z yz = w/x + v/z Mathematische Ansätze

20 Mathematische Ansätze
iklm= 0 Kompatibilitäts- bedingung: Riemann Tensor 4. Stufe Mathematische Ansätze

21 Mathematische Ansätze
σ Stoffgesetze: 1-starres Material 2-linear-elastisch 3-nichtlinear-elast. 4-linear-elastisch-ideal- plastisch 5-starr-plastisch 6-viskoses Material: Kriechen 7-viskoses Material: Relaxieren 5 4 3 2 1 6 7 ε Mathematische Ansätze

22 Mathematische Ansätze
Stoffgesetze: Verzerrungstensor Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungstensor Spannungsgeschwindigkeit Mathematische Ansätze

23 Mathematische Ansätze
Elastisches Materialverhalten Stoffe ohne Gedächtnis Verzerrungstensor Spannungstensor Mathematische Ansätze

24 Mathematische Ansätze
plastisches Materialverhalten Stoffe mit permanentem Gedächtnis Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungsgeschwindigkeit Mathematische Ansätze

25 Mathematische Ansätze
viskoses Materialverhalten Stoffe mit schwindendem Gedächtnis Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungstensor Mathematische Ansätze

26 Mathematische Ansätze
3. Schwingkopf 1. Kopf für Zellsuspension 2. Hülse 4. Sockel M6 5. Zylinderschraube 6. Beschleunigungssensor Mathematische Ansätze

27 Mathematische Ansätze
3. Schwingkopf • Gesamtansicht Mathematische Ansätze

28 Mathematische Ansätze
3. Schwingkopf • FEM - Simulation Mathematische Ansätze

29 Mathematische Ansätze
3. Schwingkopf • FEM - Analyse Mathematische Ansätze

30 Mathematische Ansätze
Näherungsverfahren: Diskretisieren des Zellen und der Zellstrukturen des Materialverhaltens der Belastungsfunktionen der Zeit, direkte Zeitintegration Mathematische Ansätze