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Veröffentlicht von:Beate Keimig Geändert vor über 11 Jahren
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Übung zur Vorlesung Theorien Psychometrischer Tests I
Ulf Kröhne Norman Rose Session 1/13
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Organisatorisches Buch: Messen und Testen Benutzername: stud_user Passwort: steyer_ss_04 Gruppen: Dienstag 18:15– 19:45 Uhr Freitag 10:15 – 11:45 Uhr
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Aufbau der Übungen Fragen zur Vorlesung Übungs-aufgaben
Computer- programm Interaktion
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Agenda Fragen zur Vorlesung Wiederholung Rechenregeln Pfaddiagramme
in Regressionsgleichungen umwandeln Varianzen und Kovarianzen ermitteln Implizierte Varianz-Kovarianzmatrix Aufgaben
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Fragen zur Vorlesung Mengenlehre, Potenzmenge, …:U, O,
Variablen vs. Wert einer Variablen Definition True-Score Variable: i := E(Yi |U ) Definition Residuum: i := Yi i Eigenschaften von Residuum und True-Score Varianzzerlegung: Var(Yi) = Var(i) + Var(i) Reliabilität: Rel(Yi) = Var(i) / Var(Yi) Parametrisierung: i = ij0 + ij1j ij0, ij1IR, ij1>0 Wichtig: Was folgt aus der Definition und was sind zusätzliche Annahmen eines Modells!
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Wiederholung Rechenregeln .1
Wichtige Definitionen:
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Wiederholung Rechenregeln .2
Regel für unbedingte Erwartungswerte: (i) E() = (ii) E( X + Y ) = E(X ) + E(Y )
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Wiederholung Rechenregeln .3
Regel für Varianzen: (i) Var (X ) = E(X 2) – E(X ) 2 (ii) Var (X ) = 0, if X = (iii) Var ( X ) = 2 Var(X ) (iv) Var ( + X ) = Var (X ) (v) Var ( X + Y ) = 2 Var (X ) + 2 Var (Y ) Cov(X, Y )
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Wiederholung Rechenregeln .4
Regel für Kovarianzen: (i) Cov ( X, Y ) = E( X Y ) – E( X ) E( Y ) (ii) Cov ( X, Y ) = 0, if X = (iii) Cov ( X, Y ) = Cov ( X, Y ) (iv) Cov ( + X, + Y ) = Cov ( X, Y ) (v) Cov(1 X1 + 2 X2, 1 Y1 + 2 Y2) = 1 1 Cov(X1, Y1) + 1 2 Cov(X1, Y2 ) + 2 1 Cov(X2, Y1) + 2 2 Cov(X2, Y2 ))
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Wiederholung Rechenregeln .5
Regel für Bedingte Erwartungen (Regressionen): (i) E( X ) = (ii) E( Y1 + Y2 X ) = E(Y1 X ) + E(Y2 X ) (iii) E[E(Y X )] = E(Y ) (iv) E[f (X) X ] = f (X ), if f (X ) is numeric (v) E[E(Y X ) f (X )] = E[Y f (X )] (vi) E[f (X ) Y X ] = f (X ) E(Y X ), if f (X ) is numeric
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Wiederholung Rechenregeln .6
Eigenschaften des Residuums: (i) E() = 0 (ii) Cov[, E(Y X )] = 0 (iii) Var(Y ) = Var[E(Y X )] + Var() (iv) E( X ) = 0 (v) E [ f (X )] = 0 (vi) Cov[, f (X )] = 0, if f (X ) numeric
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Heimstudium ;-( ! M&T, Anhang M&T, Kapitel 1
Anhang B Mengenlehre Anhang C Karthesisches Produkt Box F.1 E( X ), Var( X ), Cov( X, Y ) Box G.1 E( Y | X) M&T, Kapitel 1 - Beschreibt Ziel und Anliegen der Vorlesung Aktuelle Vorlesung: M&T Kapitel 9
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Üben Pfaddiagramme Prinzip:
1. Schritt: Pfaddiagramm in Regressions-gleichungen zerlegen 2. Schritt: Varianz der Regressions- gleichung bestimmen 3. Schritt: Kovarianzen der Regressions- gleichungen bestimmen Häufig: Namen der Parameter Programmen zur Analyse (LISREL oder Mplus) einsetzen Als Matrix aufschreiben.
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Pfaddiagramm e1 Y1 e2 Y2 h e3 Y3
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Pfaddiagramm + i := E(Yi |U ) i := Yi i 1 1 e1 Y1 t1 1 1 e2 Y2 t2
h 1 1 t3 e3 Y3 i := E(Yi |U ) i := Yi i
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Pfaddiagramm ++ 11 21 31 i = ij0 + ij1j i = i0 + i1 e1 Y1
t1 11 e2 Y2 t2 h 21 31 t3 e3 Y3 i = ij0 + ij1j i = i0 + i1
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Pfaddiagramm! 1 e1 Y1 11 1 e2 Y2 h 21 31 1 e3 Y3
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Pfaddiagramm! Y1 = 11 + 1 Y2 = 21 + 2 Y3 = 31 + 3
1. Schritt: Pfaddiagramm in Regressionsgleichungen zerlegen Y1 = 11 + 1 Y2 = 21 + 2 Y3 = 31 + 3
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Pfaddiagramm! Var(Y1) = Var(11 + 1) = Var(11 )+Var (1)
2. Schritt: Varianz der Regressionsgleichung bestimmen Var(Y1) = Var(11 + 1) = Var(11 )+Var (1) = 112 Var( )+Var (1) Var(Y2) = …
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Pfaddiagramm! Cov(Y1, Y2) = Cov(11 + 1, 21 + 2)
3. Schritt: Kovarianzen der Regressionsgleichungen bestimmen Cov(Y1, Y2) = Cov(11 + 1, 21 + 2) = 11 21 Cov( , ) 11Cov( , 2) + 21Cov(1, ) + Cov(1, 2) = 11 21 Var() + Cov(1, 2) = 11 21 Var()
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Pfaddiagramm! Var(1) 2 Var() 2 …
Optional: Ersetzen mit Parametern… Var(1) 2 Var() 2 …
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Pfaddiagramm! Y1 Var(Y1 ) Y2 Cov(Y1, Y2) Var(Y2 ) Y3 Cov(Y1,Y3)
Aufschreiben in Matrizenform: Y1 Var(Y1 ) Y2 Cov(Y1, Y2) Var(Y2 ) Y3 Cov(Y1,Y3) Cov(Y2,Y3) Var(Y3 ) Y1 Y2 Y3
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Pfaddiagramm! 112 Var( )+Var (1) 11 21 Var()
Aufschreiben in Matrizenform: 112 Var( )+Var (1) 11 21 Var() 212 Var( )+Var (2) 11 31 Var() 21 31 Var() 312 Var( )+Var (3)
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Üben (a) e1 Y1 11=1 h e2 Y2 21=1 31=1 e3 Y3
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Üben (b) e1 Y1 11=1 h e2 Y2 21=1 31=1 e3 Y3
Var(ε1) = Var(ε2) = Var(ε3)
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Üben (c) e1 Y1 11 h e2 Y2 21= 11 31= 11 e3 Y3 Var(η) = 1
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Üben (d) e1 Y1 11 h e2 Y2 21= 11 31=1 e3 Y3
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Aufgaben 1. Leiten Sie die vom Modell implizierte Varianz-Kovarianzmatrix für ein Modell paralleler Tests mit 4 Indikatoren her. 2. Bilden Sie die Potenzmenge zu A = {p, q, r}. 3. Zeigen Sie, dass Cov(i, j) = Cov(Yi, j) gilt. 4. Zeigen Sie, dass Kor(Yi , i)2 = Rel(Yi) gilt.
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(7.7%)
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