Erwartungswerte berechnen

Präsentation zum Thema: "Erwartungswerte berechnen"—  Präsentation transkript:

1 Erwartungswerte berechnen
Glücksrad Tom und Ida spielen mit dem Glücksrad. Es hat gerade Taschengeld gegeben. Tom schlägt Ida ein Spiel vor: „Wenn du das Rad drehst und es kommt GRÜN (G), gibst du mir 50 Cent, kommt ROT (R), gebe ich dir 20 Cent.“ Was meinst du, sollte sich Ida auf dieses Spiel einlassen? Du siehst die Wahrscheinlichkeit für die Farben im Glücksrad. Wenn Tom und Ida etwa 100mal drehen, wird Tom 40mal 50 Cent, also 2000 Cent oder 20 € von Ida erwarten. Ida hingegen wird von Tom 60mal 20 Cent, also 1200 Cent oder 12 € erwarten können. Das Spiel lohnt sich für Ida nicht. Was steckt dahinter? Hier kommt der Blick auf die Mathematik.

2 Wird ein Zufallsexperiment durchgeführt, so nimmt eine für dieses Experiment festgelegte so genannte Zufallsgröße mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit p(X) einen Wert an. Zufallsgrößen werden meist mit X, Y oder Z bezeichnet. Die Zuordnung der Werte der Zufallsgrößen zu ihren Wahrscheinlichkeiten wird Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt. Der Erwartungswert E(X) der Zufallsgröße X ist der Wert, der bei der mehrfachen Durchführung eines Zufallsexperiments im Durchschnit zu erwarten ist. Die Berechnung erfolgt durch Multiplikation der Werte der Zufallsgröße mit ihren Wahrscheinlichkeiten und der anschließenden Addition der Ergebnisse. In unserem Beispiel ist der Erwartungswert, also der durchschnittliche Gewinn pro Spiel 8 Cent für Tom.

3 Wert von X (in Cent) 50 -20 p(X) 0,4 0,6
Zufallsgröße: X: Gewinn oder Verlust pro Spiel (in Cent) Wahrscheinlichkeitsverteilung von X: Erwartungswert von X: E(X) = 50 ⋅ 0,4 + (-20) ⋅ 0,6 = 8

4 Abzocke am Spielautomat
Ein Spielautomatenbesitzer wirbt bei einem Einsatz von 1 € pro Spiel mit nachfolgendem Gewinnplan. Mathematisch ist das die Wahrscheinlichkeitsverteilung : Gewinn in € 0,10 0,30 1,50 Wahrscheinlichkeit 0,3 0,4 0,2 0,1 Was meinst du? Ist das ein faires Spiel? Berechne dazu den Erwartungswert!

5 Zufallsgröße X: Gewinn bzw. Verlust pro Spiel Erwartungswert von X:
Bei dem Einsatz von 1 € pro Spiel ist der Erwartungswert, also der durchschnittliche Gewinn 25 Cent. Der Besitzer gewinnt damit pro Spiel etwa 75 Cent. Ein solches Spiel ist nicht fair, es ist reine Abzocke - hüte dich vor solchen Spielautomaten.

6 Jedes Los gewinnt! Auf einer Wohltätigkeitsveranstaltung, an der 100 Personen teilnehmen, kauft jeder Teilnehmer ein Los. Der erste Preis beträgt 200 €, der zweite Preis 100 € und der dritte Preis 50 €. Die restlichen Preise betragen 1 €. Berechne den Erwartungswert!

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9 Es gibt einige statistische Parameter die für ein Glücksspiel (nicht zwangsläufig ein Spiel in einem Automaten) wichtig sind. Dazu zählen die Gewinn-Häufigkeit (Trefferquote) der Erwartungswert (die mittlere Auszahlung) und die Varianz. Diese drei Werte sind auch Paramter, die beim Entwurf eines Spieles berücksichtigt werden. Ein Spiel mit gar keiner Varianz (z.B. man gewinnt immer 90 ct bei 100 ct Einsatz) ist ziemlich langweilig, und niemand würde dieses Spiel spielen. Ein Spiel mit einer extrem hohen Varianz (z.B € Gewinn mit Wahrscheinlichkeit 0,0001% bei 1 € Einsatz) wäre für den Spieler auf Dauer nicht zu bezahlen. Man muss also als einen guten Mittelweg finden.

10 Wenn man jetzt von diesen extremen Beispielen absieht, dann ist eine zu hohe Varianz immer noch schädlich, da die schlechten Phasen zu häufig sind, und eben auch zu schlecht, so dass sich der Spieler frustriert abwenden wird. Ist die Varianz zu niedrig, so gibt es kaum eine Chance auch mal einen richtigen Lauf zu haben, und auch mal einen höheren Gewinn einzustreichen. Das Spiel wäre dann wie gesagt zu langweilig. Die Varianz ist also ein wichtiges Designkriterium, und je nachdem, auf welche Zielgruppe und welches Thema man abzielt, wird man die Varianz des Spieles entsprechend einstellen. Spiele in denen man Freispiele gewinnen kann, haben eine höhere Varianz als Spiele ohne Freispiele, da durch die Feispiele ein hoher Gewinnanteil in seltene Ereignisse verpackt wird. Gewinnt man sehr häufig Freispiele mit kleineren Gewinnen, so ist die Varianz natürlich niedriger als bei Spielen in denen die Freispiele sehr selten sind, und dann sehr viel Gewinn geben.