... mit uns können Sie rechnen!

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1 ... mit uns können Sie rechnen!
KURZPROGRAMM basic-modul ... mit uns können Sie rechnen! Gernot Mühlbacher Geometrie Grundlagen: Winkel Wollen Sie auch werben? Die Kurzprogramme kannst du kostenlos herunterladen: © Gernot Mühlbacher Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt. Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe

2 WINKEL 1 überstumpfer ≮ Modell eines Ferienhauses
Dachsparren First-Balken Bodenlinie Zwischendecke Bodenlinie = Dachtraufe Modell eines Ferienhauses WINKEL Dies ist nur einmal ein Test im Voraus. Geh locker dran! Betrachte das Ferienhaus genau! Uns interessieren die vielfältigen Winkel, die du an den fünf verschiedenen Glasflächen an der Vorderseite sehen kannst. Dazu unsere Fragen: Wieviele Winkel kannst du dort insgesamt zählen? Richtig: 17 Wieviele rechte Winkel findest du dort? Richtig: 10 Wieviele spitze Winkel findest du dort? Richtig: 7 stumpfer ≮ überstumpfer ≮ Welche Art von Winkeln fehlt dort? Wechsle nach jeder Frage zu deinem Notizblock und beantworte sie dort. (Kontrolliere dann hier gleich die Lösung!) Auf der Rückseite des Hauses befindet sich ein dekoratives Fenster. Jetzt betrachten wir einmal die Dachfläche (ohne dreieckiges Fenster): Wieviele rechte Winkel findest du dort? Richtig: Falsch: 4 Wieviele stumpfe Winkel findest du dort? Falsch: Richtig: 2 überstumpfer ≮ Das Schrägbild stellt die Verhältnisse verzerrt dar. 𝛃 = 253 ° 𝛃 = ° 𝛃 Wir müssen auf die Wiese rechts vom Haus laufen und von dort das Dach betrachten. 𝛂 𝛂 = ° 𝛂 = 107° Berichtige ggf. die falschen Werte oben! stumpfer ≮ Jetzt betrachten wir das Dreieckfenster in der Dachfläche. (... auch von der Wiese aus gesehen) Die Summe (überstumpfer ≮ und zugehöriger stumpfer ≮ beträgt: Wie groß ist die Summe der beiden zusammen gehörenden Winkel? Welche Arten von Winkeln siehst du dort? 𝛂 + 𝛃 = 360° Anzahl: Dies wird für uns noch eine bedeutende Entdeckung sein! Test hier beendet! Wie groß sind die Winkel? rechte ≮? spitze Winkel ≮? stumpfe ≮? 2 1 1

3 WINKEL äußeres Winkelfeld ° ≮ASB WINKEL als Größen - ≮ASC 1
Dachsparren First-Balken Bodenlinie Zwischendecke Bodenlinie = Dachtraufe WINKEL Zwei Strahlen (auch Halbgeraden) liegen in der gleichen Ebene In unserer Umwelt wimmelt es von Winkeln. Wir haben auf der vorigen Folie vielleicht gesehen, dass eine sichere Kenntnis der Sachverhalte –also eine Wiederholung und Vertiefung- wichtig ist. äußeres Winkelfeld und haben einen gemeinsamen Anfangspunkt, den Scheitelpunkt S. Schenkel 2 Winkel Vorstellung 1 Die Strahlen bilden die zwei Schenkel eines Winkels. inneres Winkelfeld S 34 Die Strahlen des Winkels teilen die Ebene in zwei Winkelfelder. Schenkel 1 Meist spricht man nur vom ‚Winkel‘ und meint damit das ‚innere Winkelfeld‘. ≮𝛂 (alpha) Winkelfelder benennt man mit kleinen Buchstaben des griechischen Alphabets. ≮𝛃(beta) Du kannst dir die Entstehung eines Winkelfeldes auch so vorstellen: ≮𝛄 (gamma) Die zwei Schenkel (1 und 2) liegen zunächst übereinander. ≮𝞭 (delta) B Schenkel 2 dreht sich langsam um den Scheitelpunkt S gegen den Uhrzeigersinn (also links herum von A nach B). ≮ASB Vorstellung 2 Oder: Schenkel 2 dreht sich langsam um den Scheitelpunkt S mit dem Uhrzeigersinn (also rechts herum von A nach C). Schenkel 2 +39° S Schenkel 1 WINKEL als Größen A - 39° Größenangaben für die Winkelweite bestehen immer aus einer Maßzahl (z.B. 34) ≮ASC und der Maßeinheit ° (Winkel-Grad). Schenkel 2 Meist werden sie in einen Winkelbogen eingeschlossen. C Bei Drehung im Uhrzeigersinn (Rechtsdrehung) bekommt die Maßzahl ein negatives Vorzeichen. Man kann auch die drei Punkte angeben, die den Winkel definieren. Der Scheitelpunkt (hier S) steht immer in der Mitte, z. B. ≮ASB. 1

4 Winkel an sich schneidenden Geraden
Zwei Geraden g und h schneiden sich. Es entsteht ein Schnittpunkt. Gegenwinkel haben keine gemeinsamen Schenkel. Gegenwinkel an sich schneidenden Geraden sind gleich groß. h blau 𝛂 = 𝛄 blau grün 𝛃 = 𝞭 grün 𝞭 𝛄 Gegenwinkel heißen auch Scheitelwinkel, da sie einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben. S 𝛂 g 𝛃 Zeige durch geschicktes Falten deiner Zeichnung die Richtigkeit der Aussage(n)! ... dann hier weiterarbeiten! Dieser Schnittpunkt ist gleichzeitig Scheitelpunkt S von vier Winkeln 𝛂 , 𝛃 , 𝛄 und 𝞭. (alpha, beta, gamma, delta) Nebenwinkel haben einen gemeinsamen Scheitelpunkt ... und ihre Winkelfelder haben einen gemeinsamen Schenkel. Welche Winkel in unserer Zeichnung sind Gegenwinkel? ... dann zurück zum Bildschirm! Die zwei anderen Schenkel bilden eine Gerade. (Gestreckter Winkel ➞ 180°) Fertige auf einem leeren Blatt Papier eine Zeichnung an, die der gezeigten entspricht! ... dann zurück zum Bildschirm! Erforsche die Bedeutung der Begriffe Scheitelwinkel, Gegenwinkel, Ergänzungswinkel und Nebenwinkel! Gehe zum Notizblock! Halte dort die Ergebnisse schriftlich fest! ... dann zurück zum Bildschirm! Auf nachfolgendem Bild siehst du eine Treppe, die zwei Ebenen mit- einander verbindet. Nebenwinkel an sich schneidenden Geraden ergänzen sich zu einem gestreckten Winkel (180°). Deswegen tragen sie auch den Namen Ergänzungswinkel. 𝛂 + 𝛃 Welche Winkel in unserer Zeichnung sind Nebenwinkel? Gehe zum Notizblock! Halte dort die Ergebnisse schriftlich fest! Begründe deine Aussage. ... dann zurück zum Bildschirm! = 180° 𝞭 + 𝛄 = 180° blau grün grün blau 𝛄 + 𝛃 = 180° 𝞭 + 𝛂 = 180° Wie steil steigt die Treppe an? Gib den Steigungswinkel an! Wie groß ist der entsprechende Nebenwinkel? ... dann zurück zum Bildschirm! Der Steigungswinkel beträgt 𝛄 = 35°. 145° 35° Der Ergänzungswinkel beträgt 𝞭 = 145°.(Nebenwinkel) 1

5 Winkel an geschnittenen Parallelen
Stufenwinkel liegen immer paarweise links (oder rechts) der Geraden g und gleichzeitig paarweise über (oder unter) den Parallelen p1 und p2. Die parallelen Geraden p1 und p2 werden von einer dritten Geraden g geschnitten. Das Beispiel mit der Treppe hat bereits die nächste Fragestellung berührt. g Stufenwinkel sind gleich groß. ( ... wenn p1 und p2 parallel verlaufen). 𝛂‘ 𝛃‘ 𝛄‘ 𝞭‘ p2 blau 𝛂 = 𝛂‘ blau grün 𝞭 = 𝞭‘ grün blau 𝛄 = 𝛄‘ blau grün 𝛃 = 𝛃‘ grün 𝛂 𝛃 𝛄 𝞭 Umgekehrt können wir auch folgern: Wenn Stufenwinkel gleich groß sind, dann müssen die geschnittenen Geraden auch parallel verlaufen. p1 Vier Winkel entstehen an jedem Schnittpunkt. Wechselwinkel liegen paarweise immer einer links, der andere rechts der Geraden g und gleichzeitig immer einer über der Parallelen p1, der andere unter p2. Wir reduzieren das Bild auf wesentliche Elemente. Trage alle fehlenden Winkelgrößen unten ein! ... dann zurück zum Bildschirm! g Wechselwinkel sind gleich groß. ( ... wenn p1 und p2 parallel verlaufen). p2 p1 Gezeichnete und angegebene Winkelwerte stimmen hier nicht überein! Welche Winkel in unserer Zeichnung sind Stufenwinkel? ... dann zurück zum Bildschirm! blau 𝛂 = 𝛄‘ blau grün 𝞭 = 𝛃‘ grün 𝛃 = 101° 𝛂 =79° 𝛂‘ =79° 𝛄‘ =79° 𝛄 =79° 𝞭 = 101° 𝛃‘ = 101° 𝞭‘= 101° Erforsche die Bedeutung der Begriffe Stufenwinkel Wechselwinkel! Gehe zum AB Notizblock! Halte dort die Ergebnisse schriftlich fest! ... dann zurück zum Bildschirm! blau 𝛄 = 𝛂‘ blau grün 𝛃 = 𝞭‘ grün 𝛄 = 𝛄‘ Begründung: Stufenwinkel Welche Winkel in unserer Zeichnung sind Wechselwinkel? ... dann zurück zum Bildschirm! 𝞭‘ 𝛃‘ = Begründung: Begründe jeweils! ... dann zurück zum Bildschirm! Gegenwinkel 𝞭 𝛃‘ = Begründung: Wechselwinkel 𝛃 = 101° 𝛄‘ 𝛂 = Begründung: Wechselwinkel 1

6 DAS GEODREIECK 1 (erstmals 1964 von der Firma Aristo)
Das Geodreieck kann vielseitig benutzt werden: als Lineal zum Zeichnen von Geraden und Messen der Länge von Strecken, Winkelskala (außen) zum parallelen Verschieben von Geraden und als Winkelmesser Winkelskala (innen) Winkelskala (außen) Zeichnen eines Winkels 𝛂 = 53°: 0°↓ Grundlinie ↑ Nullpunkt S 53°↓ Folgende Benennungen werden immer wieder gebraucht: Wichtige Hinweise: Beachten beim Messen oder Zeichnen von Winkeln: Anlegen des Nullpunktes immer am Scheitelpunkt S! Nullpunkt Grundlinie genau entlang des ersten Schenkels des zu zeichnenden Winkels anlegen Winkelskala (innen) ... nutze immer die Skala, die am noch anliegenden Schenkel bei Null beginnt! Drehen bis zum gewünschten Winkelmaß. Winkelskala (außen) Schau dir (z.B. auf YouTube) am besten mehrere Videos zum Thema „Zeichnen und Messen von Winkeln“ an! 1

7 WINKEL im Vollkreis ° ° ° ° ° 1
Verständliche Darstellung mit 2 Geodreiecken: Der Drehsinn (Folie 3) steht im Widerspruch zu der Beschriftung der Gradeinteilung auf diesem Vollkreis! Auf dem unteren Geodreieck sollten eigentlich die Winkel von 180° bis ? stehen! Beschrifte richtig! Die Beschriftung folgt dem Uhrzeigersinn! Versuche auf deinem Notizblock den Widerspruch aufzudecken und schlage eine Lösung vor! Begründe diese! Fertig? ... dann KLICK! ↑ 90° Also: Die positiven Winkelwerte müssten deshalb im gegenläufigen Sinn angeschrieben werden. Oder: Alle Winkelwerte müssten mit negativen Vorzeichen versehen sein! ←gegen den Uhrzeigersinn← ↓180° ↓ 0° ← 30° Schenkel 2 ↑360° ← 20° ←190° 50° ← 10° ← -350° Schenkel 1 ←225° ←315° Die ursprüngliche Benennung der Winkelwerte kann hier nicht im Zusammenhang mit Drehung eines Schenkels gesehen werden! (Vorstellung 1) ← -10° weiterzählen ← -20° ← -30° ↓ 270° Recherchiere, weshalb die Winkelskala nicht nach dem Dezimalsystem aufgeteilt wird? (z.B. in 100 oder 400 Teile im Vollkreis) Fertig? ... dann KLICK! Diese Einteilung geht auf die Babylonier zurück. Ihr Zahlsystem beruhte auf der Zahl 60. Diese Kultur bestand vor über 4000 Jahren im heutigen Irak. Beschreibe auf deinem AB, wie viel Grad der feste Winkel zwischen den Schenkeln 1 und 2 misst! Fertig? ... dann KLICK! Dieser in Grad eingeteilte Vollkreis ist unkorrekt beschriftet und eignet sich nicht gut für das Zeichnen oder Messen von Winkeln. Aber es gilt: Das Winkelfeld des Vollwinkels erfasst den ganzen Kreis. Es misst 360°. 𝛂 + 𝛃 = 360° 1

8 WINKELARTEN und ihre Benennung
Über diesen Kreis mit dem Radius r = 1 legen wir ein Achsenkreuz. E Winkel werden mit kleinen Buchstaben des griechischen Alphabets benannt: 𝛂 (alpha) Der Radius rotiert um den Mittelpunkt 𝛃 (beta) Alle Winkel, die wir im 1. Quadranten einzeichnen, erscheinen uns mehr oder weniger spitz. 𝛄 (gamma) 𝞭 (delta) 𝛂 = 180° Alle Winkel, die wir im 2. Quadranten einzeichnen, erscheinen uns mehr oder weniger stumpf. 2. Quadrant 1. Quadrant 𝛂 = 153° gestreckter Winkel 𝛂 = 105° 𝛂 = 310° 𝛂 = 82° 𝛂 = 55° 𝛂 = 210° 𝛂 = 90° 𝛂 = 28° 𝛂 = 15° Misst ein Winkel genau 180°, dann ist er gestreckt. r = 1 Winkel, die größer als 180° sind, nennt man überstumpf oder erhaben. 3. Quadrant 4. Quadrant spitze Winkel: 0° < 𝛂 < ° rechter Winkel: 𝛂 = 90° stumpfe Winkel: 90° < 𝛂 < ° EINHEITSKREIS gestreckter Winkel: 𝛂 = ° Dieser Radius hat jetzt für alle unsere Überlegungen den Wert von 1 Einheit (1E). überstumpfe Winkel: 180° < 𝛂 < ° voller Winkel: 𝛂 = ° r = 1 E Der Durchmesser misst also zwei Einheiten (2E). Der volle Kreis überdeckt einen vollen Winkel. Der Vollwinkel misst 360°. d = 2 E 1

9 WINKEL zeichnen, messen
76° 0°➞ 35° 0°↓ 76° 76°↑ S 35° S 35°↑ 125° 90° 0°→ Wechsle zu deinem Notizblock und zeichne mit dem Geodreieck die Winkel! (Kontrolliere dann hier die Lösungen.) Wenn Probleme auftauchen, dann kehre kurzzeitig zum Bildschirm zurück, betrachte den Lösungsgang und zeichne dann aus dem Gedächtnis den Winkel. 0°➞ 125° S 90° 125°↑ S 90° 1

10 WINKEL zeichnen (Übung2)
250° 1. Weg: 2. Weg: 250° 250° = 360° ? 110° 250° = 180° ? 70° 250° ↓110° 180° 70° S 180°↑ S -110° 0°➞ Winkelskala (außen) Winkelskala (außen) 0°➞ Mit dem Winkelmesser kann man nur 180° messen und abtragen. Mit dem Winkelmesser kann man nur 180° messen und abtragen. Zur Fortsetzung: Geodreieck auf der Gegenseite anlegen. Den Rest zum Vollwinkel 360° berechnen. Den Rest zum geforderten Winkel berechnen. Diese beiden Übungen musst du zuerst hier anschauen und genau überdenken! Geh dann auf den Notizblock! (Kontrolliere dann hier noch einmal deine Ergebnisse.) Das Geodreieck mit dem negativen Betrag des Restwinkels (im Uhrzeigersinn) einrichten. Berechneten Winkelbetrag durch Anlegen des Geodreiecks im Gegenuhrzeigersinn einrichten. Schenkel des geforderten Winkels einzeichnen. Gesuchten Schenkel des Winkels als Gegenwinkel einzeichnen. Hier fällt es schwer, zwischen dem ‚inneren Winkelfeld‘ und dem ‚äußeren Winkelfeld‘ zu unterscheiden. 1 Wir haben nur ein Geodreieck also müssen wir trickreich arbeiten.