Klassischen Probleme der Geometrie

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1 Klassischen Probleme der Geometrie
Von Jonas Funk, Felix Monninger und Christian Waibel

2 Gliederung Rekapitulation Winkeldreiteilung Quadratur des Kreises
Einführung Beweis der Winkeldreiteilung Lösungen Quadratur des Kreises Der goldene Schnitt und Φ

3 Rekapitulation

4 Winkeldreiteilung

5 Beispiele der Winkeldreiteilung
Beispiele wo es klappt: 360°, 270°, 180°, 90°, 45°, usw. Jedoch nicht bei: (z.B.) 37°, 178°, 54° → Nicht verallgemeinerbar Bei 360° kann man 2 gleichseitige Dreiecke machen 270° 1 gleichseitiges Dreieck und dazu ein rechter winkel der mit einem glecihseitigen Dreieck subtrahiert wird 180° 1 gleichseitiges Dreieck 90° rechter winkel mit gleichseitiges dreieck 45° gleichseitiges Dreicke, das mit dem winkel subtrahiert wird

6 Trigonometrie y 1 sin α α cos α x

7 Probleme sin (α/3) ≠ sin (α) ÷ 3 Additionstheoreme:
cos(α+β)= cos(α)*cos(β)-sin(α)*sin(β) sin (α+β)= sin(α)*sin(β)+cos(α)*cos(β)  cos(3 α) = cos(2 α + α)

8 Der Beweis  0 = 4cos³ (α/3) – 3cos (α/3) – cos(α)
Substitution: x = cos(α/3)  0 = 4x³ - 3x - cos α

9 Der Beweis II a= 60° 0 = 4x³ - 3x - 0,5 | *2
0 = 8x³ - 6x | Subst: z = 2x 0 = z³ - 3 z | Subst: a/b = z 0 = (a/b)³ - 3(a/b) | * b³ 0 = a³ - 3ab² - b³ | + 3ab²+ b³ a³ = 3ab² + b³ a³ = (3a + b) b² a³ = 3a + 1 Nun wählen wir ein Beispiel wie 60° um ein Gegenbeispiel für die allgemeine Konstruktion der Winkeldreiteilung zu liefern. Da cos 60° ein hal entspricht können wir dies auch in unserer Gleichung anwenden. So Bekommen wir die Gleichung 0= 4x³-3x-0,5. Wenn diese noch verdoppeln Können wir diese Gleichung aus Ästhetik-Gründen noch einmal Substitionieren indem wir für 2x z einsetzen um so 0= z³-3z-1 zu erhalten. Da die rechte Seite der Gleichung reduzibel sein über die rationalen Zahlen muss. Nun ersetzen wir z mit a/b, da diese Nullstelle sein muss. Ausserdem müssen a und b teilerfremd sein. Und b ungleich null sein da man ja nicht durch null teilen darf. So erhalten wir folgende Gleichung.

10 Der Beweis III Nun wählen wir ein Beispiel wie 60° um ein Gegenbeispiel für die allgemeine Konstruktion der Winkeldreiteilung zu liefern. Da cos 60° ein hal entspricht können wir dies auch in unserer Gleichung anwenden. So Bekommen wir die Gleichung 0= 4x³-3x-0,5. Wenn diese noch verdoppeln Können wir diese Gleichung aus Ästhetik-Gründen noch einmal Substitionieren indem wir für 2x z einsetzen um so 0= z³-3z-1 zu erhalten. Da die rechte Seite der Gleichung reduzibel sein über die rationalen Zahlen muss. Nun ersetzen wir z mit a/b, da diese Nullstelle sein muss. Ausserdem müssen a und b teilerfremd sein. Und b ungleich null sein da man ja nicht durch null teilen darf. So erhalten wir folgende Gleichung.

11 Mögliche Lösungen

12 Mögliche Hilfsmittel Gelenkmechanismen Rechtwinkelhaken
Einschiebelineal Quadratrix Falten

13 Einschiebelineal

14 Einschiebelineal r r r α α/3 α/3 r r

15 Der Beweis

16 Einschiebelineal D F E α A B M C 2 * α/3 2 * α/3 180°-(2 * α/3) r r r
2*α/3 180°-2*2*α/3

17 Einschiebelineal α α/3 α/3

18 Zwei beispiele für Gelenkmechanismen

19 Rechtwinkelhaken Begründung: Drei identische rechtwinklige Dreiecke

20 Falten D C α A B

21 Falten D C E F α α A B

22 Falten D C E F G H α α A B

23 Falten D C E F G H α α A B

24 Falten D C E F G H α α A B

25 Falten D C E F G H α α A B

26 Falten D C E F G H α α A B

27 Falten D C E F G H α/3 α/3 α α α/3 A B

28 Der Beweis

29 Falten D C E F K J I G H α α α/3 A B M L

30 Falten D C E F K J I G H α α α/3 A B M L

31 Falten D C E F K J I G H α/3 α α α/3 A B M L

32 Falten D C E F K J I G H 90-α/3 α α α/3 A B M L

33 Falten D C E F K α/3 J I G H 90-α/3 α α α/3 A B M L

34 Falten D C E F K α/3 J I G H 90-α/3 α/3 α α α/3 A B M L

35 Quadratur des Kreises Voraussetzungen: r² π = x² x = √r² π
π ist eine transzendente Zahl r² π = x² x = √r² π  um eine Seite des Quadrates zu konstruieren muss man π konstruieren ≠ Vorraussetzung

36 Das Pentagramm und Φ Fibonacci-Folge: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…
Verhältnis zur vorherigen Zahl nähert sich F an Goldener Schnitt: a/b = (a+b)/a = F Im Pentagramm findet sich zu jeder (Teil-)Strecke eine Passende Strecke, die im Verhältnis des goldenen Schnittes zu ihr steht

37 Φ in der Natur Da Φ in „hohem Maße“ irrational ist, überdecken sich die Blätter nie komplett (Abb.1) Ψ≈137,5° (goldener Winkel) 1 2

38 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit
Ende Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit