Komplexitätstheorie Beispiel Matrixmultiplikation  Eingabe: Zwei nn-Matrizen A und B,  Ausgabe: die nn-Matrix C := A · B.  n²-mal "Zeile-mal-Spalte"

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1 Komplexitätstheorie Beispiel Matrixmultiplikation  Eingabe: Zwei nn-Matrizen A und B,  Ausgabe: die nn-Matrix C := A · B.  n²-mal "Zeile-mal-Spalte" á O(n): O(n³) C 2,2 C 2,1 C 1,2 C 1,1 B 2,2 B 2,1 B 1,2 B 1,1 A 2,2 A 2,1 A 1,2 A 1,1 · = T 1 :=(A 2,1 +A 2,2 )·B 1,1 T 2 :=(A 1,1 +A 1,2 )·B 2,2 T 3 :=A 1,1 ·(B 1,2 -B 2,2 ) T 4 :=A 2,2 ·(B 2,1 -B 1,1 ) T 5 :=(A 1,1 +A 2,2 )·(B 1,1 +B 2,2 ) T 6 :=(A 2,1 -A 1,1 )·(B 1,1 +B 1,2 ) T 7 :=(A 1,2 -A 2,2 )·(B 2,1 +B 2,2 ) C 1,1 =T 5 +T 4 -T 2 +T 7 C 1,2 =T 3 +T 2 C 2,1 =T 1 +T 4 C 2,2 =T 5 -T 1 +T 3 +T 6 L(n) = 7·L(  n/2  ) + 18·(n/2)² L(n) = O(n log 2 7 ), log 2 7  2,8

2 Martin Ziegler 2 Komplexitätstheorie A NP -vollständig, B 2 NP und A ≼ p B. Dann auch B NP -vollständig. SubsetSum NP -vollständig SubsetSum  NP √ Zeige: 3SAT ≼ p SubsetSum In polynom. Zeit: 3KNF Φ → X   und b   mit:  erfüllend. Belegung von Φ   Y  X: b=Σ a  Y a {  a 1,…,a N,b  | a 1,…,a N,b  ,  α 1,…,α N  {0,1} : b= Σ i a i ·α i } Bsp Φ = (x 1   x 3  x 5 )  (  x 1  x 5  x 4 )  (  x 2   x 2   x 5 ) v 1 := 100 10000 v 2 := 000 01000 v 3 := 000 00100 v 4 := 010 00010 v 5 := 110 00001 v 1 ‘ := 010 10000 v 2 ' := 002 01000 v 3 ' := 100 00100 v 4 ' := 000 00010 v 5 ' := 001 00001 b := 444 11111 c 1 := 100 00000 d 1 := 200 00000 c 2 := 010 00000 d 2 := 020 00000 c 3 := 001 00000 d 3 := 002 00000 m Klauseln in n Var. → 2n+2m+1 Werte à n+m Dez.ziffern

3 Martin Ziegler 3 Komplexitätstheorie Beispielinstanz MTSP 1. Berechne Minimalen Spannbaum T 2. Zähle Knoten von T in Preorder ( W, L, R ) auf H* H