Das Königsberger Brückenproblem Richard Kemmerzehl Philipp Kreis Unser Thema Königberger Brückeproblem und indirekter Beweis.

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1 Das Königsberger Brückenproblem Richard Kemmerzehl Philipp Kreis Unser Thema Königberger Brückeproblem und indirekter Beweis

2 Das Königsberger Brückenproblem Richard Kemmerzehl Philipp Kreis 1 Kaliningrad

3 Das Königsberger Brückenproblem Richard Kemmerzehl Philipp Kreis 1 Kaliningrad

4 Das Königsberger Brückenproblem Richard Kemmerzehl Philipp Kreis 2 Kaliningrad Problematik Jede Brücke nur genau einmal betreten !

5 Das Königsberger Brückenproblem Richard Kemmerzehl Philipp Kreis 2 Kaliningrad Problematik Arbeitsblatt

6 Das Königsberger Brückenproblem Richard Kemmerzehl Philipp Kreis 3 Kaliningrad Problematik Arbeitsblatt Lösung Die Lösung ist: Es gibt keine Lösung ! Klingt komisch… ist aber so!

7 Das Königsberger Brückenproblem Richard Kemmerzehl Philipp Kreis 3 Kaliningrad Problematik Arbeitsblatt Lösung Ich hab‘s euch bewiesen! Also passt auf…

8 Das Königsberger Brückenproblem Richard Kemmerzehl Philipp Kreis 3 Kaliningrad Problematik Arbeitsblatt Lösung Hinführung 1. Schritt: Durch ein Schema die Darstellung vereinfachen

9 Das Königsberger Brückenproblem Richard Kemmerzehl Philipp Kreis 3 2. Schritt: Gebiete und Brücken bezeichnen Kaliningrad Problematik Arbeitsblatt Lösung Hinführung

10 Das Königsberger Brückenproblem Richard Kemmerzehl Philipp Kreis 3 3. Schritt: Wann ist eine Buchstabenfolge ein Weg? CAACCDDB Kaliningrad Problematik Arbeitsblatt Lösung Hinführung

11 Das Königsberger Brückenproblem Richard Kemmerzehl Philipp Kreis 3 3. Schritt: Wann ist eine Buchstabenfolge ein Weg? CAACCDDB 1. Folgerung Kaliningrad Problematik Arbeitsblatt Lösung Hinführung

12 Das Königsberger Brückenproblem Richard Kemmerzehl Philipp Kreis 3 4. Schritt: Wann ist eine Buchstabenfolge unser RUNDWEG? Wenn JEDE Brücke genau EINMAL überquert wird. 2. Folgerung Kaliningrad Problematik Arbeitsblatt Lösung Hinführung

13 Das Königsberger Brückenproblem Richard Kemmerzehl Philipp Kreis 3 5. Schritt: Buchstaben zählen… Kaliningrad Problematik Arbeitsblatt Lösung Hinführung

14 Das Königsberger Brückenproblem Richard Kemmerzehl Philipp Kreis 3 Widerspruch Die Anzahl der Buchstaben aus Folgerung 2 widerspricht der Aussage von Folgerung 1 ES GIBT ALSO KEINEN RUNDWEG, BEI DEM JEDE BRÜCKE GENAU EINMAL ÜBERQUERT WIRD UND DER AUSGANGSPUNKT WIEDER ERREICHT WIRD! Kaliningrad Problematik Arbeitsblatt Lösung Hinführung

15 Das Königsberger Brückenproblem Richard Kemmerzehl Philipp Kreis 3 Der Indirekte Beweis (Widerspruchsbeweis) Man nimmt die Aussage an, die widerlegt werden soll. Kaliningrad Problematik Arbeitsblatt Lösung Hinführung Der Beweis Formuliere eine zu beweisende Aussage = Behauptung. Negation der Behauptung = Annahme. Stelle gültige Vorraussetzungen (Bedingungen) zusammen, das können z.B. bereits bewiesene Sätze und Regeln oder logische Folgerungen sein. Diese stellen notwendige und hinreichende Bedingungen dar. Wenn sich die Vorraussetzungen widersprechen, dann ist die Annahme falsch und somit die Behauptung als richtig bewiesen.

16 Das Königsberger Brückenproblem Richard Kemmerzehl Philipp Kreis 3 Oben: Bezeichnung für die Eulerbedingung Wir nennen die 1. Folgerung EULERBEDINGUNG Kaliningrad Problematik Arbeitsblatt Lösung Hinführung Der Beweis Eulerbed.

17 Das Königsberger Brückenproblem Richard Kemmerzehl Philipp Kreis 3 Da in Königsberg die Eulerbedingung nicht gilt, gibt es keinen Rundweg. Es gibt einen gesuchten Weg nur dann, wenn die Eulerbedingung erfüllt ist. (Notwendige Bedingung) Kaliningrad Problematik Arbeitsblatt Lösung Hinführung Der Beweis Eulerbed. Folgerung

18 Das Königsberger Brückenproblem Richard Kemmerzehl Philipp Kreis 3 Aber so einfach ist es dann doch nicht ! Guckst du hier… Kaliningrad Problematik Arbeitsblatt Lösung Hinführung Der Beweis Eulerbed. Folgerung Anwendung

19 Das Königsberger Brückenproblem Richard Kemmerzehl Philipp Kreis 3 Ergebnis: Die Eulerbedingung ist nicht hinreichend. Zusätzliche Bedingung (Zusammenhangsbedingung): Von jedem Gebiet X gibt es einen Weg ins Gebiet Y (Notwendige Bedingung) Eulerbed. und Zusammenhangsbed. sind zusammen hinreichend. Kaliningrad Problematik Arbeitsblatt Lösung Hinführung Der Beweis Eulerbed. Folgerung Anwendung Eulerbed. II

20 Das Königsberger Brückenproblem Richard Kemmerzehl Philipp Kreis 3 Leonhard Euler Einer der bedeutendsten Mathematiker „Euler rechnete so mühelos, wie andere Menschen atmen oder der Adler in den Lüften schwebt“ 15. April 1707 in Riehen (CH) Studium in Basel ab 1720 1723 Magisterwürde 1727 Akademie St. Petersburg 1730 Professur Physik 1733 Professur Mathematik 1740 Erblindung 1741 Berliner Akademie 1766 zurück nach St. Petersburg 17. September 1783 verstorben Kaliningrad Problematik Arbeitsblatt Lösung Hinführung Der Beweis Eulerbed. Folgerung Anwendung Eulerbed. II Biografie

21 Das Königsberger Brückenproblem Richard Kemmerzehl Philipp Kreis 3 Leonhard Euler Seine Symbole bestimmen die Mathematik = 3,1415926… e = 2,718281828459... f(x) Summenzeichen Kaliningrad Problematik Arbeitsblatt Lösung Hinführung Der Beweis Eulerbed. Folgerung Anwendung Eulerbed. II Biografie