Algebraische Schleifen und Strukturelle Singularitäten Der bisher aufgezeigte Sortieralgorithmus funktioniert nicht immer so reibungslos, wie dies in den bisher gezeigten Beispielen den Anschein machte. In dieser Vorlesung werden die Probleme der sogenannten algebraischen Schleifen und der singulären Strukturen behandelt. 27. Oktober, 2004

Übersicht Algebraische Schleifen Strukturdiagramme Strukturelle Singularitäten Ableitung 27. Oktober, 2004

Algebraische Schleifen: Ein Beispiel Komponentengleichungen: U0 = f(t) u3 = R3· i3 u1 = R1· i1 uL = L· diL/dt u2 = R2· i2 Knotengleichungen: i0 = i1 + iL i1 = i2 + i3 Maschengleichungen: U0 = u1 + u3 uL = u1 + u2 u3 = u2 Das Netzwerk enthält 5 Komponenten  Wir benötigen 10 Gleichungen in 10 Unbekannten 27. Oktober, 2004

Horizontales Sortieren I 1. U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 = R2· i2 u3 = R3· i3 uL = L· diL/dt i0 = i1 + iL i1 = i2 + i3 U0 = u1 + u3 u3 = u2 uL = u1 + u2 2. U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 = R2· i2 u3 = R3· i3 uL = L· diL/dt i0 = i1 + iL i1 = i2 + i3 U0 = u1 + u3 u3 = u2 uL = u1 + u2 3. U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 = R2· i2 u3 = R3· i3 uL = L· diL/dt i0 = i1 + iL i1 = i2 + i3 U0 = u1 + u3 u3 = u2 uL = u1 + u2 4. U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 = R2· i2 u3 = R3· i3 uL = L· diL/dt i0 = i1 + iL i1 = i2 + i3 U0 = u1 + u3 u3 = u2 uL = u1 + u2 27. Oktober, 2004

Horizontales Sortieren II U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 = R2· i2 u3 = R3· i3 uL = L· diL/dt i0 = i1 + iL i1 = i2 + i3 U0 = u1 + u3 u3 = u2 uL = u1 + u2 Bei den sechs noch a-kausalen Gleichungen (d.h. den Gleichungen ohne rote Variable) enthält jede Gleichung mindestens zwei Unbe-kannte, und jede Unbekannte taucht in mindestens zwei Gleichungen auf.  Eine solche Situation deutet immer auf das Vorhandensein algebraischer Schleifen hin. 27. Oktober, 2004

Algebraische Schleifen I Wir wählen eine Variable in einer Gleichung, z.B. Variable i1 in Gleichung 4. Wir nehmen diese Variable nun als bekannt an und fahren fort wie bis anhin. 1. u1 = R1· i1 2. u2 = R2· i2 3. u3 = R3· i3 4. i1 = i2 + i3 5. U0 = u1 + u3 6. u3 = u2 1. 1. u1 = R1· i1 2. u2 = R2· i2 3. u3 = R3· i3 4. i1 = i2 + i3 5. U0 = u1 + u3 6. u3 = u2 2. 1. u1 = R1· i1 2. u2 = R2· i2 3. u3 = R3· i3 4. i1 = i2 + i3 5. U0 = u1 + u3 6. u3 = u2 3. 1. u1 = R1· i1 2. u2 = R2· i2 3. u3 = R3· i3 4. i1 = i2 + i3 5. U0 = u1 + u3 6. u3 = u2 4. 1. u1 = R1· i1 2. u2 = R2· i2 3. u3 = R3· i3 4. i1 = i2 + i3 5. U0 = u1 + u3 6. u3 = u2 27. Oktober, 2004

Algebraische Schleifen II 1. u1 = R1· i1 2. u2 = R2· i2 3. u3 = R3· i3 4. i1 = i2 + i3 5. U0 = u1 + u3 6. u3 = u2 Strukturdiagramm Algebraische Schleifen i2 i1 u1 u3 i3 u2 U0 4. 1. 2. 3. 5. 6. 27. Oktober, 2004

Auflösen algebraischer Schleifen I 1. u1 = R1· i1 2. u2 = R2· i2 3. u3 = R3· i3 4. i1 = i2 + i3 5. U0 = u1 + u3 6. u3 = u2 1. u1 = R1· i1 2. i2 = u2 / R2 3. i3 = u3 / R3 4. i1 = i2 + i3 5. u3 = U0 - u1 6. u2 = u3 Gleichung 4. wird durch die neue Gleichung ersetzt.  i1 = i2 + i3 = u2 / R2 + u3 / R3 = u3 / R2 + u3 / R3 = ((R2 + R3 ) / (R2 · R3 )) · u3 = ((R2 + R3 ) / (R2 · R3 )) · (U0 - u1 ) = ((R2 + R3 ) / (R2 · R3 )) · (U0 - R1· i1 )  i1 = R2 + R3 R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 · U0 27. Oktober, 2004

Auflösen algebraischer Schleifen II U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 = R2· i2 u3 = R3· i3 uL = L· diL/dt i0 = i1 + iL U0 = u1 + u3 u3 = u2 uL = u1 + u2 i1 = R2 + R3 R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 · U0  Die algebraischen Schleifen sind jetzt aufgelöst, und es kann mit dem Sortieralgorithmus in der üblichen Weise fortgefahren werden. 27. Oktober, 2004

Horizontales Sortieren III U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 = R2· i2 u3 = R3· i3 uL = L· diL/dt i0 = i1 + iL U0 = u1 + u3 u3 = u2 uL = u1 + u2 i1 = R2 + R3 R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 · U0 U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 = R2· i2 u3 = R3· i3 uL = L· diL/dt i0 = i1 + iL U0 = u1 + u3 u3 = u2 uL = u1 + u2 i1 = R2 + R3 R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 · U0 27. Oktober, 2004

Mehrere gekoppelte Schleifen 4. 6. 1. 2. 3. 5. c d h g b f a e 7. 8. c = b + d = 3·f + h = 3·f + g = 3·f + 2·c f = e + g = a + 2·c = b + 2·c + 1 = 3·f + 2·c + 1 1. a = b + 1 2. b = 3·f 3. c = b + d 4. d = h 5. e = a 6. f = e + g 7. g = 2·c 8. h = g 1. a = b + 1 2. b = 3·f 3. c = b + d 4. d = h 5. e = a 6. f = e + g 7. g = 2·c 8. h = g  1. a = b + 1 2. b = 3·f 3. c = b + d 4. d = h 5. e = a 6. f = e + g 7. g = 2·c 8. h = g  c + 3·f = 0 2·c + 2·f = -1 c = - 0.75 f = + 0.25 27. Oktober, 2004

Strukturelle Singularität: Ein Beispiel Das gemischt rotatorische und translatorische System weist drei Körper auf: die Träg-heiten J1 und J2 sowie die Masse m. Somit würden wir erwarten, dass es sich um ein System 6er Ordnung handelt. 3 Körper  6 Differentialgleichungen + 3 algebraische Gleichungen (D’Alembert) 3 Reibungen  3 algebraische Gleichungen (Reibungskräfte) 2 Federn  2 algebraische Gleichungen (Federkräfte) 1 Getriebe  2 algebraische Gleichungen (Übertragung)  16 Gleichungen 16 Unbekannte 27. Oktober, 2004

Modellieren des Getriebes Wir schneiden das Getriebe auf. Dafür wird die Schneidekraft F eingeführt.  Das Drehmoment t ist proportional zur Schneidekraft F, und der Weg x ist proportional zum Drehwinkel . t = r · F x = r ·  27. Oktober, 2004

Aufschneiden des Systems t (t) = tT1 + tB1 + tB3 tB1 = tT2 + tk1 + tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g tT1 = J1· d1 dt d1 = 1 tT2 = J2· d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG x = r · 2 tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x  16 Gleichungen 16 Unbekannte 27. Oktober, 2004

Horizontales Sortieren I t (t) = tT1 + tB1 + tB3 tB1 = tT2 + tk1 + tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g tT1 = J1· d1 dt d1 = 1 tT2 = J2· d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG x = r · 2 tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x Diese Gleichung kann nicht verwendet werden, da sie keine Unbekannte enthält. Idee: Wenn eine Gleichung für alle Zeiten gilt, dann gilt auch jede Ableitung davon.  Man ersetze die unverwend-bare Gleichung durch ihre Ableitung. 27. Oktober, 2004

Ableiten I t (t) = tT1 + tB1 + tB3 tB1 = tT2 + tk1 + tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g tT1 = J1· d1 dt d1 = 1 tT2 = J2· d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG v = r ·  2 tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x Die Gleichung ist leider immer noch nicht verwendbar, da sie immer noch keine Unbekannte enthält.  Man leite die unverwend-bare Gleichung nochmals ab. 27. Oktober, 2004

Ableiten II t (t) = tT1 + tB1 + tB3 tB1 = tT2 + tk1 + tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g tT1 = J1· d1 dt d1 = 1 tT2 = J2· d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x = r · Die Gleichung ist jetzt verwend-bar geworden, da jetzt beide der darin erwähnten Variablen unbekannt sind. Die beiden Ableitungen waren bisher rot, da beide nur einmal im Gleichungssystem auftauchten. Jetzt sind sie aber zweimal vorhanden und müssen darum wieder schwarz gemacht werden. 27. Oktober, 2004

Horizontales Sortieren II t (t) = tT1 + tB1 + tB3 tB1 = tT2 + tk1 + tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g tT1 = J1· d1 dt d1 = 1 tT2 = J2· d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x = r · t (t) = tT1 + tB1 + tB3 tB1 = tT2 + tk1 + tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g tT1 = J1· d1 dt d1 = 1 tT2 = J2· d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x = r ·  27. Oktober, 2004

Horizontales Sortieren III t (t) = tT1 + tB1 + tB3 tB1 = tT2 + tk1 + tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g tT1 = J1· d1 dt d1 = 1 tT2 = J2· d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x = r · Es bleiben immer noch 6 Gleichungen in 6 Unbekannten. Jede der Gleichungen enthält min-destens zwei der Unbekannten. Jede Unbekannte taucht in mindestens zwei der Gleichungen auf.  Wir haben es wieder mit mindestens einer algebrai-schen Schleife zu tun. 27. Oktober, 2004

Algebraische Schleife t (t) = tT1 + tB1 + tB3 tB1 = tT2 + tk1 + tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g tT1 = J1· d1 dt d1 = 1 tT2 = J2· d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x = r · t (t) = tT1 + tB1 + tB3 tB1 = tT2 + tk1 + tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g tT1 = J1· d1 dt d1 = 1 tT2 = J2· d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x = r ·  Wahl 27. Oktober, 2004

Horizontales Sortieren IV t (t) = tT1 + tB1 + tB3 tB1 = tT2 + tk1 + tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g tT1 = J1· d1 dt d1 = 1 tT2 = J2· d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x = r · tT1 = t (t) - tB1 - tB3 tT2 = tB1 - tk1 - tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g = tT1 / J1 d1 dt d1 = 1 = tT2 / J2 d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x = r ·  27. Oktober, 2004

Auflösen der algebraischen Schleife I tT1 = t (t) - tB1 - tB3 tT2 = tB1 - tk1 - tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g = tT1 / J1 d1 dt d1 = 1 = tT2 / J2 d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x = r · d2 dt = tT2 / J2 = (tB1 - tk1 - tG ) / J2 = (tB1 - tk1 ) / J2 - tG /J2 = (tB1 - tk1 ) / J2 - (r /J2 ) · FG = (tB1 - tk1 ) / J2 - (r /J2 ) · (FI + Fk2 + FB2 + m·g) = (tB1 - tk1 ) / J2 - (r /J2 ) · (Fk2 + FB2 + m·g) - (r /J2 ) · FI = (tB1 - tk1 ) / J2 - (r /J2 ) · (Fk2 + FB2 + m·g) - (m·r /J2 ) · dv/dt = (tB1 - tk1 ) / J2 - (r /J2 ) · (Fk2 + FB2 + m·g) - (m·r2 /J2 ) · d2 /dt 27. Oktober, 2004

Auflösen der algebraischen Schleife II tT1 = t (t) - tB1 - tB3 tT2 = tB1 - tk1 - tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g = tT1 / J1 d1 dt d1 = 1 d2 = 2 FI = m· dv dx = v d2 = tB1 - tk1 – r · (Fk2 + FB2 ) – m·g·r J2 + m·r2 tG = r · FG dv d2 = r · dt dt tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x 27. Oktober, 2004

Anmerkungen Das Problem der strukturellen Singularität trat auf, weil die Masse m und die Trägheit J2 nicht unabhängig voneinander bewegt werden können. Eigentlich hätte das System deshalb durch 4 Differentialgleichungen beschrieben werden können. Die hier angebotene Lösung zeigt diese mögliche Einsparung der Anzahl Zustände nicht auf. Eine bessere Lösung wird nächste Woche gezeigt. 27. Oktober, 2004

Referenzen Cellier, F.E. and H. Elmqvist (1993), “Automated formula manipulation supports object-oriented continuous-system modeling,” IEEE Control Systems, 13(2), pp. 28-38. 27. Oktober, 2004