Planimetrische Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal Thomas Cassebaum Geometrie Planimetrische Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal

Inhaltsübersicht Punkte und Geraden Halbieren einer Strecke Halbieren eines Winkels Errichtung einer Senkrechten Fällen des Lotes vom Punkt Q auf eine Gerade g Aufgabe zu Punkten und Geraden Winkel und Kreise Sätze zum Kreis 5. Tangenten, die durch einen Punkt P verlaufen Aufgaben zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Punkte und Geraden Punkte: Großbuchstaben A, B, P, S l1 B P h g A S g2 Punkte: Großbuchstaben A, B, P, S Geraden: Kleinbuchstaben g, h, l1, g2 Parallele Geraden: (kein Punkt gemeinsam) g||g1 Schnittgeraden (Punkt P gemeinsam) P = g∩h Punkt p liegt auf den Geraden g und h Pg, Ph Zusammenfall (alle Punkte gemeinsam) g2 = l1 Strecke von A nach B AB = g Orientierte Gerade h, orient. Strecke AB h AB = g

1. Halbieren einer Strecke Zeichne Kreisbögen um die Punkte A, B mit einem Radius r > AB/2 P Die Schnittpunkte der beiden Kreisbögen P, Q werden verbunden. g M A B Der Schnittpunkt der Ge-raden durch P und Q ist der gesuchte Mittelpunkt M Q

2. Halbieren eines Winkels Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt U und kennzeichne die Schnitt-punkte mit den Geraden g1 und g2. g1 S1 Q g2 U S2 Ziehe erneut Kreisbögen, diesmal von den Schnittpunkten S1 und S2 aus. Beide Kreisbögen schneiden sich im Punkt Q. Verbinde die Punkte U und Q und die Winkelhalbierende ist fertig konstruiert.

3. Errichtung einer Senkrechten Zeichne Kreisbögen um M und kennzeichne die zwei Schnittpunkte A,B P Q Vergrößere den Zirkel- radius leicht und zeichne von den Punkten A und B je einem Kreisbogen nach oben. g A M B Verbinde den Schnittpunkt Q der beiden Kreisbö-gen um A und B mit dem Ausgangspunkt M.

4. Fällen eines Lotes vom Punkt Q auf eine Gerade g Zeichne einen Kreisbo-gen um Q und kennzeich-ne zwei Schnittpunkte A,B mit der Geraden. Q g A B Ziehe Kreisbögen mit glei-chem Radius um A und B, die sich in Q und Q‘ schneiden. Q‘ Verbinde die Schnittpunkte der beiden Kreisbö-gen Q und Q‘ zum gesuchten Lot.

Aufgabe Konstruiere zu einem vorgege-benen beliebigen Dreieck die Schnittpunkte aller drei Winkelhalbierenden Mittelsenkrechten Seitenhalbierenden Konstruiere den Außen- und den Innenkreis!

Winkel und Kreise Die Tangente t schneidet k in genau einem Punkt T. Die Sekante s schneidet k in den zwei Punkten S1, S2. Die Strecke S1S2 ist eine Sehne .  M t S1 r T Winkel: griechische Kleinbuchstaben α, β, γ, δ Kreis k aus Mittelpunkt M und Radius r k := KR(M,r) S1, und S2 sind Schnittpunkte von s und k {S1,S2}:= s∩k Dreieck mit den Eckpunkten ABC ∆ABC Winkel α im Eckpunkt M von ∆S1MS2 α = ∢S1MS2 Punkt S1 liegt auf dem Kreis k S1k, S2k

Sätze zum Kreis s S2 Jeder Zentriwinkel  ist doppelt so groß, wie der Peripheriewinkel  über demselben Bogen. Alle Peripheriewinkel x über dem-selben Bogen sind gleich. β M α1 S1 α2 t M  T Jeder Peripheriewinkel  über dem Halbkreis ist ein rechter Winkel. (Satz des Thales). Eine Tangente t, die den Kreis im Punkt T berührt, steht zu dem Radius r rechtwinklig, der den Punkt P schneidet.

5. Tangenten, die durch einen Punkt P verlaufen Verbinde die Punkte P und M und konstruiere deren Mittelpunkt Z. M k S1 Zeichne einen Kreisbo-gen h um den Punkt Z mit dem Radius ZM. S2 Z h Verbinde die Schnitt- punkte S1 und S2 mit dem Punkt P zu den Tangenten. P

Konstruiere mit Zirkel und Lineal! Ein gleichseitiges Sechseck mit Seitenlänge s. Ein gleichseitiges Achteck, das in einen Kreis mit dem Radius r genau hineinpasst. Die Länge des Umfangs eines Dreiecks. Die Länge des Umfangs eines Trapezes. Einen Kreis k, der eine Gerade g in einem Punkt A berührt und durch einen Punkt B (AB) geht. Die Menge der Mittelpunkte aller Kreise kn, die durch zwei gegebene Punkte A und B gehen. Die inneren Tangenten, die sich zwischen zwei gegebenen Kreisen k1,k2 kreuzen.