Institut für Theoretische Informatik Diskrete Mathematik Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik steger@inf.ethz.ch TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAAAAAAAAAAAAAA

Kapitel 3: Algebra Kapitel 3.1: Modulare Arithmetik

kongruent modulo m a ≡ b (mod m) gdw. m teilt a-b Schreibweise: a mod m := Zahl r Î {0,…,m-1} mit a ≡ r (mod m) „Rest von a modulo m“ Beachte: a ≡ b (mod m) gdw. (a mod m) = (b mod m)

Multiplikation & Kürzen Für Zahlen a,b,c,d ÎZ, c ¹ 0, gilt: a ∙ c = b ∙ c gdw. a = b Bei der Modulo-Rechnung folgt aus a ∙ c ≡ b ∙ c (mod m) im Allgemeinen nicht, dass a ∙ c ≡ b ∙ c (mod m). Bsp: 1 ∙ 2 ≡ 4 ∙ 2 (mod 6), aber 1 ≡ 4 (mod 6). Dies gilt nur, wenn ggT(c,m)=1 und m ³ 2.

Modulorechnung - Beispiele ISBN International Standard Book Number EAN European Article Number MDi Message-Digest Verfahren

ISBN 10 – stellige Nummer, bestehend aus einem Länder- bzw. Sprachgruppenkode, z.B. 0 für Verlage aus englischsprachigen Ländern und 3 für Verlage aus Deutschland, Österreich und der Schweiz, einer Verlagsnummer, einer laufenden Nummer innerhalb des Verlagprogramms, die von den Verlagen selbst vergeben werden kann, und einer Prüfziffer.

ISBN - Beispiel ISBN 3-540-67597-3 Berechnung der Prüfziffer: 1∙3 + 2∙5 + 3∙4 + 4∙0 + 5∙6 + 6∙7 + 7∙5 + 8∙9 + 9∙7 mod 11

Die Prüfziffer erkennt Tippfehler Bsp: Schreibt man ISBN - Eigenschaften Die Prüfziffer erkennt Tippfehler Bsp: Schreibt man 3-540-67587-3 statt 3-540-67597-3 so stimmt die Prüfziffer nicht. Zahlensturz (Vertauschung zweier Ziffern) 3-540-67579-3 statt 3-540-67597-3

EAN 13-stellige Nummer, bestehend aus der so genannten Basisnummer, die in der Schweiz von der Organisation GS1 Schweiz vergeben wird, eine vom Hersteller vergebene Artikelnummer und eine Prüfziffer.

EAN - Beispiel EAN 7-617400-010022 Prüfziffer Berechnung der Prüfziffer: (von hinten lesen) 10 - 1∙2 + 3∙2 + 1∙0 + 3∙0 + 1∙1 + 3∙0 + 1∙0 + 3∙0 + 1∙4 + 3∙7 + 1∙1 + 3∙6 mod 10

EAN - Eigenschaften Die Prüfziffer erkennt Tippfehler und manchmal einen Zahlensturz …

MDi Idee: Berechne einen „Fingerabdruck“ einer Nachricht durch geschickte Kombination von Modulo-Berechnungen und Bitoperationen wie Shifts und ANDs und ORs ….

Euklidischer Algorithmus Kapitel 3.1.2: Euklidischer Algorithmus

Euklidischer Algorithmus

Erweiterter Euklidischer Algorithmus

Lösen linearer Gleichungen

Chinesischer Restsatz

Der „kleine“ Satz von Fermat

Kapitel 3.2: Gruppen

Beispiel Neutrales Element: c

Permutationen

Rechenregeln