Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 05/
Einige Anwendungen
Exaktes Suchen Wenn Anzahl der Lösungen bekannt ist, kann im Prinzip mit der richtigen Anzahl Iterationen Erfolgswahrscheinlichkeit 1 erzielt werden Problem: Anzahl ist integer Lösung: Abwandlung der Iteration im letzten Schritt, die um genau den richtigen Winkel dreht D.h. Suchproblem bei gegebener Anzahl t von Lösungen in Zeit O((N/t) 1/2 ) exakt lösbar Gilt nicht z. Beispiel für das Entscheiden des ODERs von N Bits: hier Fehler unumgänglich
Finden von mehreren markierten Elementen Angenommen unter x 0,...,x N-1 gibt es t mal x i =1, finde alle solche Positionen Verwende Grover Algorithmus t mal Zeit: s=1,...,t O((N/s) 1/2 ) · O(N 1/2 s=1,...,t 1/s 1/2 ) · O(N 1/2 s 1...t 1/s 1/2 ds) · O(N 1/2 t 1/2 )
Minima Gegeben: Zahlen z 0,...,z N-1, gesucht wird das Minimum [Dürr/Hoyer]: kann in Zeit O(N 1/2 ) gefunden werden Algorithmus: ziehe zufälliges j aus 0...N-1 Wiederhole: Suche z i : z i < z j mit Grover-suche Abbruch wenn kein i gefunden Setze j=i
Analyse O.B.d.A. seien alle z i paarweise verschieden Rang r(i) sei Anzahl z j · z i p(r,t) sei Wahrscheinlichkeit, dass Element von Rang r irgendwann gefunden wird, wenn bereits Element von Rang t+1 gefunden p(r,t)=0 wenn t+1 · r Ansonsten p(r,t)=1/r Induktion: t=r: trivial t->t+1: p(r,t+1)=1/(t+1)+ k=r+1....t+1 p(r,k-1)/t+1 =1/(t+1)+ (t+1-r) (1/r) (1/t+1)=1/r
Analyse Erwartete Laufzeit höchstens: r=1...N p(r,N) O((N/r) 1/2 ) · O(N 1/2 r=1...N (1/r)/r 1/2 ) · O(N 1/2 (1+ s r=1...N 1/r 3/2 dr) ) · O(N 1/2 ) Anzahl der Suchen insgesamt · r=1...N p(r,N) · O(log N) erwartet, Daher Speicherplatz O(log 2 N)