Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 04/05 10.11. Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 04/05 10.11.

I) BQP vs. PSPACE BQP: Klasse von Funktionen f:{0,1}*!{0,1}, die durch uniforme Quantenschaltkreise mit Fehler 1/3 berechenbar sind (Gatterfunktionen aus endlicher Menge) PSPACE: Klasse von Funktionen f:{0,1}*!{0,1}, die durch deterministische Turingmaschinen mit polynomiellem Speicherplatz berechenbar sind Heute: BQP µ PSPACE BQP  PSPACE nicht bekannt, würde P  PSPACE implizieren (schwierig)

I) Simulation in PSPACE Gegeben ist uniforme Quantenschaltkreisfamilie (d.h. „Bauanleitung“) für Schaltkreise für alle Eingabelängen n2N mit polynomieller Grösse für eine Funktion f Gesucht ist polynomiell platzbeschränkter Algorithmus für f Auf Eingabe x2{0,1}n simuliere Schaltkreis und berechne für Ausgaben a Prob(a)= |ha|U|x0i|2

I) Simulation in PSPACE Idee 1: Stelle Zustand als Vektor da, beschränkte Präzision der Einträge, Matrixmultiplikation Problem: Zustand ist Vektor mit dim exp(n) ha|U|x0i=ha|UT U1|x0i = z(1),…,z(T-1) h a | UT | z(T-1)i hz(T-1) |UT-1| z(T-2)i  hz(2) |U2 | z(1)i hz(1) |U1 | x0i z(j)2{0,1}n+s hz(i) |Ut | z(j)i ist ein Eintrag in Ut [Zeile z(i), Spalte z(j) ]

I) Simulation in PSPACE Es ist also eine Summe mit 2(n+s)(T-1) Termen zu evaluieren. Jeder Term ist Produkt von T Matrixeinträgen, aus den T Matrizen Ui Wert jedes Terms mit Präzision 1/(10 ¢ 2(n+s)(T-1)) ausreichend Term Produkt von T Zahlen, jede mit Präzision 1/(20 ¢ 2(n+s)(T-1)) ausreichend Runde Matrixeinträge, komplexe Zahlen als Paar reeller Zahlen, O((n+s)T) Bits pro Zahl

I) Simulation in PSPACE Simulationsalgorithmus: Laufe durch alle z(1),...,z(T-1) Berechne h a | UT | z(T-1)i hz(T-1) |UT-1| z(T-2)i  hz(1) |U1 | x0i Addiere zu bisher berechnetem Wert Für jeden Matrixeintrag hz(T-1) |UT-1| z(T-2)i benutze Turingmaschine aus der Uniformitätsbedingung, d.h. in polynomieller Zeit berechenbar Platz insgesamt: O(T(n+s)) für z(j) und für zu speichernden Wert der Teilsumme, poly(n) zur Berechnung der Matrixeinträge Zeit insgesamt: exp(T(n+s))

II) Beschränkte Präzision Schaltkreis berechnet |Ti=UT UT-1  U1 |xi |0…0i Ui unitäre Transformationen Angenommen statt UT wird VT angewendet Wegen unpräziser Implementierung Wegen Simulation mit beschränkt genauer Arithmetik Ergebnis VT|T-1i=|Ti+|ETi, wobei |ETi=(VT-UT) |T-1i (nicht normiert)

II) Beschränkte Präzision Ergebnis VT|T-1i=|Ti+|ETi, wobei |ETi=(VT-UT) |T-1i (nicht normiert) Wenn Vi statt Ui für alle i: |1i=V1|0i=|1i+|E1i |2i=V2|1i=|2i+|E2i+V2|E1i |Ti=VT|T-1i =|Ti +|ETi +VT|ET-1i + + VTV2 |E1i Daher ist k |Ti - |Ti k · i=1…T k |Eii k =i=1…T k (Vi-Ui) |i-1i k

II) Approximation von Transformationen Sei U ein beliebiger unitärer Operator auf n Qubits Gegeben sei ein Operator U‘ Wir sind an der Approximationsqualität interessiert Spektralnorm kUk=maxx: kxk =1 k U x k Approximationsfehler: k U – U‘ k

II) Approximationsfehler gesamt i=1…T k (Vi-Ui) |i-1i k · i=1…T k (Vi-Ui) k Wenn also der Approximationsfehler pro Transformation /T ist, dann ist der Abstand zwischen korrektem und erreichtem Zustand  k |Ti - |Ti k · , wie gross ist der Fehler der Berechnung? Messung Standardbasis (n+s Qubits) Messergebnis a mit Wahrscheinlichkeit P(a)=|h a|Ti|2 bzw. Q(a)=|h a|Ti|2

II) Approximationsfehler gesamt Messergebnis a mit Wahrscheinlichkeit P(a)=|h a|Ti|2 bzw. Q(a)=|h a|Ti|2 Approximationsfehler fürjede Berechnung höchstens a|P(a)-Q(a)|· 2 k |Ti - |Ti k · 2

II) Fehlertoleranz Es ist möglich, zu jedem Quantenschaltkreis einen nur wenig grösseren Quantenschaltkreis zu konstruieren, der noch funktioniert, wenn Gatter unabhängig zufällig jeweils mit konstanter Wahrscheinlichkeit ausfallen Konstruktion verwendet Quantenversion fehlerkorrigierender Codes

III) Schaltkreise mit endlicher Menge von Gatterfunktionen Aus praktischen Gründen wollen wir eine endliche Menge von Gatterfunktionen Fehlertolerante Schaltkreise nur bei endlicher Menge von Gatterfunktionen möglich Definition uniformer Schaltkreisfamilien (damit auch PSPACE Simulation)

III) Resultate zu möglichen Basen CNOT und jedes unitäre Gatter auf 1 Qubit CNOT, Hadamard, einige Rotationsgatter Toffoli Gatter und Hadamard Für all diese gilt, dass ein Schaltkreis mit beliebigen 2-Qubit Gattern durch einen mit Gattern aus der jeweiligen Basis mit geringem Overhead approximiert werden kann CNOT und Hadamard reichen nicht!

III) Rotationsgatter Definieren einige Transformationen auf einem Qubit Diese + CNOT + Hadamard sind ausreichend Inwiefern kann ein Qubit rotiert werden? Qubit: |i = |0i+|1i, |0i ||2+||2=1 Äquivalent: |i=ei [cos(/2) |0i + ei sin(/2) |1i] ei irrelevant, da in keiner Messung feststellbar Also cos(/2) |0i + ei sin(/2) |1i Parameter , 

III) Bloch Sphäre : Winkel x,y Ebene : Winkel z-Achse

III) Rotationsgatter Qubit cos(/2) |0i + ei sin(/2) |1i x-Rotation y-Rotation z-Rotation

IV) Doch vor der Konstruktion einer universellen Basis Bomb Testing!

IV) Bomb Testing [Vaidman] Paket mit oder ohne Bombe Wenn eine Bombe mit nur einem Photon in Berührung kommt, so detoniert sie Oder ist es doch ein Geschenk? Klassische Physik: Entweder Hineinschauen oder nicht. Wenn Bombe dann Explosion

IV) Bomb Testing Quantenphysikalisch „nur ein wenig“ hineinschauen? Angenommen, folgendes kann getan werden: Es gibt ein Kontrollqubit (hineinschauen oder nicht) und ein Ergebnisqubit (Bombe explodierte oder nicht) |0i|ai ! |0i|ai immer |1i|ai ! |1i|ai wenn keine Bombe präsent |1i|ai ! |1i|a©1i wenn Bombe präsent

IV) Bomb Testing Wende Rotation Ry(/N) auf erstes Qubit von |00i an Ergebnis: cos(/(2N)) |00i + sin(/(2N)) |10i Jetzt Test-Transformation Gefolgt von Messung des zweiten Qubits (Explosion wäre auch nicht zu ignorieren) Keine Bombe: cos(/(2N)) |00i + sin(/(2N)) |10i Bombe: mit Wahrscheinlichkeit cos2(2/(2N)) Zustand |00i und keine Explosion, mit Wahrscheinlichkeit sin2(/(2N)) Explosion sin2(/(2N))¼ O(1/N2) Wiederhole N mal Bombe: Wahrscheinlichkeit einer Explosion O(1/N), sonst Endvektor |00i Keine Bombe: Endvektor |10i

IV) Bomb Testing CNOT oder ID |0i R Test |0i N mal

IV) Bomb Testing Experimentell getestet [ohne Bombe!]

III) Simulation beliebiger unitärer Transformationen U auf n Qubits durch Schaltkreis berechnen Ziel 1: Exakte Berechnung durch CNOT und beliebige 1-Qubit Gatter

III) Kontrollierte Gatter Eine unitäre Operation U auf k+d Qubits heisst kontrolliert von den k Qubits, wenn es eine unitäre Operation U‘ auf d Qubits gibt, so dass U definiert ist durch U|xyi=|xyi, wenn es ein xi  1 gibt U|1k yi=|1k i U‘ |yi d Qubits heissen Ziel Qubits k Qubits Kontroll Qubits

III) Erster Schritt Jede unitäre Transformation U auf m Qubits kann durch einen Schaltkreis aus 22m Gattern exakt simuliert werden, die kontrolliert sind, mit je 1 Ziel Qubit

III) Schritt 2 CNOT, Toffoli und beliebige 1-Qubit Gatter Behauptung: beliebiges kontrolliertes Gatter mit 1 Ziel Qubit und k Kontroll Qubits kann exakt durch Schaltkreis mit O(k) CNOT, Toffoli und 1-Qubit Gattern simuliert werden Daher ist Basis CNOT, Toffoli, 1-Qubit Gatter exakt universell (kann jede Operation berechnen)

III) Schritt 3 Simuliere beliebiges 1-Qubit Gatter durch Folge von konstant vielen Rotationen Exakte Simulation ist unmöglich

III) n-Qubit Operationen U auf n Qubits, Matrix 2n £ 2n ; 2n=M Behauptung: repräsentierbar als Produkt von O(M2) Matrizen der Form 1 0    0 0 1 0  0  0 a b 0  0  0 c d 0   0 1 0    01 ab cd unitär

III) n-Qubit Operationen Zu jedem Einheitsvektor (a,b)T gibt es unitäre Transformation V: V(a,b)T=(1,0)T Zu jedem Vektor aus CM gibt es M-1 Transformationen der notwendigen Form, die zusammen auf den Vektor (100000000)T abbilden Multipliziere U-1 von links mit M(M-1) Transformationen, um die Spalten auf die Vektoren der Standardbasis abzubilden, Produkt mit U-1 ist also I, daher ist Produkt der Transformationen U

III) n-Qubit Operationen Jetzt durch kontrollierte Gatter ersetzen 1 0    0 0 1 0  0  0 a b 0  0  0 c d 0   0 1 0    01 ab cd U, unitär

III) n-Qubit Operationen Operation bildet Basiszustände |si und |ri nichttrivial ab Schreibe Sequenz von Bitflips, die String s auf r transformiert 0010111-> 1010111->1110111 -> 1111111 s -> g1 -> g2 ->  -> gm-1 -> r Idee: Serie von Transformationen, die |gii mit |gi+1i tauschen und sonst nichts tun bis zu n NOT und CCCCNOT (mehrfach konstrolliertes NOT) auf gm-1 wende kontrollierte Operation U an, Ziel: unterschiedliches Bit, Kontrolle: gleiche Bits Vorherige Transformationen wieder umkehren Alle Operationen sind nun kontrollierte Operationen mit 1 Ziel Qubit

III) Schritt 2 Gegeben kontrollierte Operation mit k Kontrollqubits und 1 Zielqubit [Operation U auf einem Qubit] Benutze klassischen Schaltkreis (reversibel, Toffoli Gatter), der das AND der Kontrollqubits berechnet Dann durch Ergebnisqubit kontrolliert U auf Zielqubit anwenden Multiplikation nun wieder invertieren Jetzt nur noch Toffoli, und kontrollierte 1-Qubit Gatter Verwendet Hilfsqubits, auch ohne möglich

III) Effizienz Zerlegung in kontrollierte Gatter: auf n Qubits werden n24n Gatter erzeugt Zerlegung in Toffoli, CNOT und 1-Qubit Gatter weiteren linearen Faktor

III) CNOT und 1-Qubit Gatter Jedes 1-Qubit Gatter kann durch Folge von Rotationen dargestellt werden (Bloch Sphäre) Für jede unitäre Transformation auf 1 Qubit gibt es Rotationen A,B,C, so dass ABC=I eiAXBXC=U D.H. wenn anstelle X=NOT das CNOT vom Kontrollqubit aus angewendet wird, erhalten wir einen Schaltkreis aus Rotationen und CNOT

III) Bloch Sphäre : Winkel x,y Ebene : Winkel z-Achse

III) CNOT und 1-Qubit Gatter

III) Dekomposition Später werden nur Hadamard und Rotationen verwendet Zeigen Dekompositon nur für diese Toffoli durch CNOT, Hadamard und Rotationen auch darstellbar

III) z-Rotation um  C B A A: Rz() B: Rz(-/2) C: Rz(-/2) ABD=I XBXC=XX=I

III) Hadamard C B A D

III) Hadamard ABC=I offensichtlich ei/2 AXBXC = H Ausmultiplizieren sin(/4)=cos(/4)=1/21/2 Additionstheoreme für sin und cos

III) Approximation 1-Qubit Gatter Approximiere beliebiges U auf 1 Qubit durch Folge von H und Rz(/4) und Ry(/4) Gattern mit beliebig guter Qualität U kann immer dargestellt werden als Jedes U kann als Folge von 3 Rotationen (um z,y,z) dargestellt werden

III) Approximation 1-Qubit Gatter Es ist möglich, jede Rotation durch eine Folge von Rotationen um /4 darzustellen [mit Fehler] Idee: Rotation um irrationales Vielfaches von 2 möglich (durch Kobination von Rotation entlang x,z Achse) entlang einer anderen Achse als x,y,z Vielfache dieses Rotationswinkels “füllen” das Intervall [0,...,2] langsam auf, bilden dann eine dichte Teilmenge des Intervalls

III) Effizienz Pro 1-Qubit Gatter abhängig von Präzision Bestes Ergebnis insgesamt: [Solovay, Kitaev] -Approximation mit log2(1/) Gattern Wenn also poly(n) Gatter mit Fehler 1/poly(n) approximiert werden sollen, reicht ein Overhead von log2(n)