Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 05/ /23.1.

Untere Schranken im Black Box Modell

Das Black Box Modell Eine Eingabe x 1,…,x n ist als Orakel gegeben Es kann nach Eingabe x i gefragt werden Ein Algorithmus berechnet eine Funktion f(x 1,…,x n ) Bsp: Deutsch Problem: x 1,x 2 sind Werte einer Funktion auf 0 und 1 Frage ab Funktion balanciert oder nicht ) Berechnen Parität von x 1,x 2 Beispiel Grover: Finde i mit x i =1 Beispiel OR: Entscheide, ob es x i =1 gibt

Das Black Box Modell Kosten eines Algorithmus sind durch die maximale Anzahl Fragen auf einer Eingabe gegeben Komplexität einer Funktion sind die minimalen Kosten eines Algorithmus, der die Funktion berechnet

Typen von Algorithmen Deterministische Algorithmen: immer korrekt, keine Randomisierung, Komplexitätsmass D(f) Randomisierte Algorithmen: haben Fehlerwahrscheinlichkeit 1/3 über verwendete Zufallsbits, R(f) Quantenalgorithmen: Verwenden Quantenfragen etc. Mit Fehler 1/3: Q(f) Ohne Fehler: Q E (f)

Beispiele Wir haben bereits gesehen: Q E (XOR 2 )=1, aber R(XOR 2 )=2 Q E (XOR n ) · n/2 Q(OR)=O(n 1/2 ) R(OR)= (n) Q(OR)= (n 1/2 ) Q(Element Distinctness)=O(n 2/3 ) Weitere untere Schranken für Quantenalgorithmen? Wieviel schneller können Quantenalgorithmen sein im Vergleich zu randomisierten Algorithmen?

Beispiele Unsere untere Schranke für OR wurde mit einem Adversary Argument gezeigt Andere Techniken? Exponentielle Speedups haben wir für bestimmte Suchproblem gesehen (Finden von Perioden) Für Boolesche Funktionen?

Die Mutter aller Funktionen Betrachte ID mit ID(x)=x Wie viele Fragen braucht ID? R(ID)=n Denn, wenn eine Position nicht gefragt, kann sie nicht ausgegeben werden Formal: wende Yao Prinzip an: Fixiere Zufallsstring, deterministischer Algorithmus mit n-1 Fragen muss Fehler ½ haben

Q(ID) · n/2+O(n 1/2 ) Ansatz: Verwende Orakeltransformtion wie bei D-J oder Grover (-1) x i |i i Formel für Hadamard Transformation: Erneute Hadamard Transformation bildet zurück ab auf |x i Es reicht also die obige Superposition zu erzeugen Dies braucht allgemein n Fragen Anzahl Fragen abhängig von |y|, Hamming Gewicht Verwende nur die y, die kleines |y| haben, das sind fast alle y wenn |y| · n/2+O(n 1/2 )

Der Algorithmus Erzeuge eine uniforme Superposition über alle y mit |y| · n/2+O(n 1/2 ) Verwende Transformation, die für Zustand |y i alle Bits x i fragt, wenn y i =1 Bilde Zustand mit Hadamard ab und messe Was ist die Erfolgswahrscheinlichkeit?

Analyse Man kann zeigen, dass 1- aller Strings y Hamming Gewicht · n/2 + O(n 1/2 ) haben Daher ist der erreichte Zustand beliebig nah am gewünschten |x i Fehler ist 5% bei n/2+n 1/2 Fragen

Schlussfolgerung n/2 · Q(ID) · n/2+n 1/2 …wenn wir untere Schranke Q(XOR) ¸ n/2 zeigen können

Die Polynom Methode Ein Quanten Black Box Algorithmus ist formal eine Folge von alternierenden unitären Operationen und Orakeltransformationen Wir wollen einen Algorithmus mit wenigen Fragen auf ein Polynom mit geringem Grad abbilden Dann untersuchen wir den notwendigen Grad um eine Funktion als Polynom darzustellen

Die Polynom Methode Gegeben sei also ein Quantenalgorithmus im Black Box Modell mit T Fragen Wir behaupten, dass sich die Amplituden des Endzustandes als Polynom vom Grad T darstellen lassen Beweis durch Induktion: T=0: Amplituden sind Konstanten T ! T+1: Seien die i (x) jeweils durch ein Polynom mit Grad T gegeben Es folgt eine unitäre Transformation, unabhängig von der Eingabe x: aufgrund der Linearität ist das neue i (x) einer Summe von vorherigen, also steigt der Grad nicht Die Fragetransformation: Zustand |i i |a i |k i wird auf |i i |a © x i i |k i abgebildet Damit ist iak (x) danach gleich x i ¢ i, a © 1, k +(1-x i ) ¢ i, a, k Also ein Polynom vom Grad T+1

Die Polynom Methode Akzeptanzwahrscheinlichkeit ist eine Summe von quadrierten Amplituden, also ein Polynom von Grad 2T Polynom kann multilinear gemacht werden durch Ersetzung von x i k durch x i Polynom hat nur reelle Werte

Schlussfolgerung Wenn es einen Quantenalgorithmus gibt, der f mit T Fragen exakt berechnet, so gibt es ein Polynom p(x) vom Grad 2T, das auf allen Booleschen x erfüllt: p(x)=f(x). Wenn der Quantenalgorithmus Fehler 1/3 hat, dann gibt es ein solches Polynom mit p(x) 2 [0,1/3] für f(x)=0 und p(x) 2 [2/3,1] für f(x)=1 Betrachte den Grad solcher Polynome!

Exakte Quantenalgorithmen Zu einer totalen Booleschen Funktion gibt es genau ein multilineares Polynom, dass die Funktion exakt darstellt deg(f) sei der Grad dieses Polynoms Q E (f) ¸ deg(f)/2 Beispiel: XOR, Polynom ist Also Grad n, und somit Q E (XOR) =n/2

Multilineare Polynome Behauptung: Zu jeder Booleschen Funktion gibt es genau ein multilineares Polynom, das f exakt darstellt, d.h. f(x)=p(x) für alle Booleschen x. Beweis: Sei f(x)=p(x)=q(x) für alle Booleschen x, aber p q Dann ist p-q ein multilineares Polynom für g(x)=0, aber nicht das Polynom mit nur Nullkoeffizienten Sei m ein Monom minimalen Grades mit Koeffizient a 0 in p-q Sei z der String, der alle z i in m als Einsen enthält und sonst keine Einsen m(z)=1, und ebenfalls p(z)=a, Widerspruch

Weiteres Beispiel Polynom für OR: Also Grad n Daher Q E (OR) ¸ n/2 Tatsächlich: Q E (OR)=n

Q E (OR) Betrachte Amplituden des Endzustandes eines optimalen Algorithmus für OR ohne Fehler als Polynome vom Grad T Basiszustände |0y i seien verwerfend. Menge B solcher Zustände Für i aus B ist p i (x)=0 wenn x nicht 0 n Es gibt ein j aus B mit p j (0 n ) 0 Betrache reellen Teil q(x) von 1-p j (x)/p j (0 n ) Klar: deg (q) · T= Q E (OR) und q(0 n )=0 und q(x)=1 sonst, daher deg(q) ¸ deg(OR)=n

Weitere Fakten über exakte Polynome Wenn f von n Variablen abhängt, ist deg(f) ¸ log n-loglog n Nicht konstante symmetrische f haben Grad n-o(n) Also Q E (f) ¸ (log n)/2 –o(log n) Und Q E (f) ¸ n/2-o(n) für symmetrische nichttriviale f

Approximative Polynome Wenn der Quantenalgorithmus mit T Fragen Fehler 1/3 hat, dann gibt es ein Polynom p mit Grad 2T mit p(x) 2 [0,1/3] für f(x)=0 und p(x) 2 [2/3,1] für f(x)=1 adeg(f) sei der minimale Grad eines solchen Polynoms Wir erhalten: Q(f) ¸ adeg(f)/2 Beispiel OR von 2 Bits: x 1 /3+x 2 /3+1/3, somit adeg(OR 2 )=1

Symmetrisierung Sei f eine symmetrische Funktion, also f konstant auf allen x mit |x|=k, d.h. es existieren Funktionswerte f 0,…,f n Betrachte Polynom p mit einer reellen Variablen, das p(k) 2 [0,1/3] für f k =0 und p(k) 2 [2/3,1] für f k =1 Aus einem Polynom für f erhalten wir ein solches Polynom gleichen Grades

Betrachten wir XOR Wir erhalten also ein Polynom mit Grad T in einer Variablen, das erfüllt p(k) 2 [0,1/3] für k gerade und p(k) 2 [2/3,1] für k ungerade, mit k 2 {0,…,n} Beobachtung: p(k)-1/2 hat n Nullstellen! Also Grad n Daher Q(XOR)=n/2

Symmetrisierung Seien Permutationen von [1,…,n], p Polynom in n Var. Setze p sym (x)= Lemma: Wenn p ein multilineares Polynom vom Grad d ist, dann gibt es ein Polynom mit einer Variable mit q(|x|)=p sym (x) für alle x Beweis: Sei V j die Summe aller Produkte von j Variablen p sym (x) kann als Summe geschrieben werden Wert von V j auf x ist Also Polynom vom Grad j abhängig von |x| Das gesuchte Polynom ist also