Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 05/

Element Distinctness Problem: Gegeben n Zahlen von [1...10n] Sind die n Zahlen paarweise verschieden? Wir wissen: Zeit O(n 3/4 log n) [Shi02] Zeit (n 2/3 ) notwendig [Ambainis03] O(n 2/3 log n) reicht ! [Szegedy04] Spezialfall einer Quantisierung von random walks

Random Walks Gegeben sei ein ungerichteter Graph mit n Knoten Beginne in Knoten i mit Wahrscheinlichkeit p i Folge einer Kante an einem Knoten mit Grad d i mit Wahrscheinlichkeit 1/d i Betrachte resultierende Verteilung auf Knoten, wenn genügend oft iteriert

Random Walks Betrachte resultierende Verteilung auf Knoten, wenn genügend oft iteriert Übergangsmatrix P P [i,j]=1/d j, wenn Kante j,i im Graphen P ist stochastisch, i P[i,j] =1 Verteilung u 1,...u n auf 1...n entspricht Vektor u P k u ist Verteilung nach k Schritten

Random Walks Gute Graphen für random walks: Zusammenhang (jeder Punkt von jedem erreichbar) nicht bipartit (keine Periode in Folge der Wahrscheinlichkeiten) d.h. ergodische Markov Kette Theorem: Dann gibt es eine stationäre Verteilung v, d.h. Pv=v Diese Verteilung ist durch v i =d i /(2m) gegeben für m=Anzahl Kanten: (Pv) i = (j,i) (d j /2m) ¢ (1/d j )= (j,i) 1/2m=d i /2m Random walk konvergiert von jedem Startpunkt aus zu der stationären Verteilung

Random Walks Random walk konvergiert von jedem Startpunkt aus zu der stationären Verteilung Sei G regulär (d.h. d i =d) Dann ist Gleichverteilung stationär P ist symmetrisch Es gibt n reelle Eigenwerte 1 ¸... ¸ n und n orthogonale Eigenvektoren e i zu P Da P stochastisch, sind alle | i | · 1 Pv=v für stationäres v, d.h. 1 =1, e 1 =v stationär Sei w eine beliebige Verteilung auf 1...n w= i i e i P k w= i i P k e i = i i i k e i Wenn |1- 2 | gross, dann schnelle Konvergenz zu e 1

Random Walks Hitting Time: M sei eine Menge markierter Knoten Hitting time ist die erwartete Zeit um einen Knoten in M zu treffen P M sei P nach Streichung der Zeilen und Spalten zu Knoten in M Eigenwerte von P M sind · 1 Erwartete Hitting time ist höchstens 1/(1- ) für grössten EW von P M

Random Walks Erwartete Hitting time ist höchstens 1/(1- ) für grössten EW von P M Beispiel: vollständiger Graph, P(i,j)=1/(n-1), M={1}; P M (i,j)=1/(n-1) wenn i j, P M : Matrix für vollst. Graphen mit n-1 Knoten mult. mit (n-2)/(n-1), EW=1-1/(n-1) Hitting time · O(n) Anders: Prob (spezieller Knoten nach T Schritten nicht getroffen) · (1-1/(n-1)) T

Random Walks Wenn |M|=, EW=1, 2,... dann 1- ¸ (1- 2 )/2 d.h. Hitting time < 2/( (1- 2 )) Beispiel: Element Distinctness Problem Random walk Algorithmus: Wähle A µ {1,...,n}; |A|=r Teste ob x i =x j für zwei Elemente von A Entferne ein zufälliges Element von A, nehme zufälliges neues Element, Wiederhole Betrachte Graph: Knoten Mengen der Grösse r Kanten: Wenn zwei Mengen genau in zwei Elementen unterschiedlich Markierte Knoten: solche mit x i =x j

Random Walks Betrachte Graph: Knoten Mengen der Grösse r Kanten: Wenn zwei Mengen genau in zwei Elementen unterschiedlich Markierte Knoten: solche mit x i =x j Anzahl Knoten ist Wenn es x i =x j gibt, dann ist Anzahl markierter Knoten Damit: Zweitgrösster EW vom Graphen ist 1-1/r Wenn |M|= N, EW=1, 2,... dann 1- ¸ (1- 2 )/2 d.h. Hitting time < 2/( (1- 2 )) Hitting Time also 2(n 2 /r 2 ) ¢ r=n 2 /r Laufzeit: O(r+n 2 /r), bestenfalls O(n)

Random Walks Hitting Time also 2(n 2 /r 2 ) ¢ r=n 2 /r Laufzeit: O(r+n 2 /r), bestenfalls O(n) Behauptung: Quantum walk hat quadratisch kürzere Hitting time Dann Laufzeit O(r+n/r 1/2 ), optimal für r=n 2/3 Vergleiche mit Walk auf vollständigem Graphen, Hitting time n 1/2 entsprechend Grover Algorithmus

Random Walks Klassischer Walk Algorithmus für Element Disctinctness, r=n 2/3 Argument für Hitting time O(n 4/3 ) Fange bei zufälligem Knoten an Prob(Kollision gefunden) ¼ (n 2/3 /n) 2 =n -2/3 Walk für n 2/3 Schritte führt zu fast wieder zufälligem Knoten: Sei Menge A von n 2/3 Indizes gegeben als Start Wähle Index aus A, entferne und ersetze durch Index aus T-A, k Iterationen Jeder Index: Noch in A mit Prob (n 2/3 -1)/n 2/3 ) k, konstant wenn k=n 2/3, Also erwartet Hälfte der Indizes neu, Ws dass diese die Kollision enthalten (n -2/3 ) Also Hitting time O(n 4/3 )