Black Box Algorithmen Hartmut Klauck Universität Frankfurt SS

Randomisierte Entscheidungsbäume Definition: Ein randomisierter Entscheidungsbaum hat zusätzliche Knoten, an denen eine Münze geworfen wird Ein randomisierter Entscheidungsbaum berechnet eine Funktion korrekt, wenn auf jeder Eingabe mit Wahrscheinlichkeit 2/3 das richtige Ergebnis produziert wird Tiefe ist wie zuvor definiert, wobei Zufallsknoten nicht mitgerechnet werden Komplexitätsmass R(f) ist Minimum der Tiefe, über alle korrekten randomisierten Entscheidungsbäume für f

Randomisierte Entscheidungsbäume Beispiel: f(x,y,z)=xÇyÇ z Randomisierter Algorithmus: ziehe Zufallsvariable r aus {1,2,3} x,y, x,z oder y,z x,z, oder y=1: Akz. Sonst verwerfe Tiefe 2 Fehler: 1/3 für alle Eingaben

Randomisierte Entscheidungsbäume f(x,y,z)=xÇyÇ z Randomisierter Algorithmus: ziehe Zufallsvariable r aus {1,2,3} x,z, oder y=1: Akz. Sonst verwerfe

Randomisierung Gibt es ein Beispiel mit einem besseren Unterschied zwischen D(f) und R(f) ? Versuchen, iterativ die obige Idee zu nutzen

Maximale Beschleunigung Vorher jedoch: Wieviel kann R(f) kleiner sein als D(f)? Wir zeigen: R(f)¸ bs(f)/3 Dann gilt mit D(f)· bs 4 (f): Theorem 11. R(f)= (D 1/4 (f)) für allen totalen Booleschen Funktionen Sogar R(f)= (D 1/3 (f))

Beweis: Betrachte eine Eingabe x, mit maximaler Blocksensitivität k und Blöcken B 1,…,B k Für jeden Block B i muß mit Wahrscheinlichkeit 1/3 mind. eine Variable gelesen werden, sonst ist der Fehler zu gross: Fehler >2/3 ¢ ½ ist sonst unvermeidlich Damit müssen insgesamt k/3 Fraagen gestellt werden: Erwartet für jeden Block 1/3 Frage, Erwartungswert der Fragen insgesamt alsoi k/3

Eine effizient randomisiert berechenbare Funktion f(x 1,…,x n ) sei durch eine alternierende UND-ODER Formel mit Ingrad 2 gegeben Tiefe log n Wir wissen schon: D(f)=n

Auswertungsalgorithmus Durchlaufe Formel von der Spitze: UND Gatter: Wähle ein Kind zufällig Werte den Teilbaum rekursiv aus Wenn 0 berechnet, setze die Ausgabe Sonst Werte anderen Teilbaum re. aus ODER Gatter: analog, aber 1 statt 0 Idee: Für viele Gatter muss mit Wahrsch. ½ nur 1 Kind ausgewertet werden Wir zeigen : n mit ¼ Zeit reicht erwartet aus

Vereinfachung der Analyse Machen Analyse symmetrischer Betrachten Baum von NANDs Ersetze (xÆ y)Ç(aÆ b) durch (x NAND y) NAND (a NAND b)

Vereinfachung Ersetze so alle Gatter ausser evtl. der Wurzel durch NAND Gatter Wurzel OR: Dann Anzahl der Level gerade, Wurzel auch NAND Wurzel AND: Negiere Funktion, keine Auswirkung auf Komplexität

Algorithmus Durchlaufe Formel von der Wurzel her Wähle ein zufälliges Kind Werte rekursiv das Kind aus 0 Gefunden: Akzeptiere 1 Gefunden: Werte auch anderes Kind aus

Analyse Klar: Algorithmus macht keinen Fehler Worst Case Anzahl Fragen ist n Untersuchen erwartete Anzahl Fragen Wenn t<< n: Breche nach 100 n ab und rate Ausgabe zufällig, wenn noch kein Ergebnis vorlag Damit ist Fehlerwahrscheinlichkeit 1/100¢ 1/2

Erwartete Zeit: a k : Erwartete Zeit für Eingaben mit f(x)=0 bei Formeltiefe k b k : Erwartete Zeit für Eingaben mit f(x)=1 bei Formeltiefe k a k : Beide Kinder werden ausgewertet und sind 1, also a k =2b k-1

Erwartete Zeit: b k : f(x)=1, also folgende Fälle Beide Kinder sind 0: eines wird ausgewertet Ein Kind ist 0: Mit Wahrscheinlichkeit ½ wird eines, mit ½ werden beide ausgewertet b k · max[ a k-1, ½ b k-1 + ½ (a k-1 + b k-1 )] =b k-1 + ½ a k-1 Ausserdem:a 0,b 0 =1

Lösung der Rekursion Schreiben als Matrix:

Lösung der Rekursion Betrachte Matrix M Norm von M: || M || = max v: ||M v||/||v|| Maximale Streckung von Vektoren ||M k ||· ||M|| k ||M||: Wurzel maximaler Eigenwert von M M t Oder betragsgrösster EW von M, wenn alle EW reell

Lösung der Rekursion Behauptung : Ew sind Damit :

Ergebnis Theorem 12. : Es gibt eine Funktion, die mit O(n ) Fragen randomisiert, aber nur mit mind. n Fragen det. berechenbar ist

Untere Schranken Haben bereits: R(f)¸ bs(f)/3 Systematisch? Adversary Methoden?

Das Yao Prinzip Betrachte Verteilung auf Eingaben in {0,1} n Es gelte: Betrachte randomisierten Algo Worst Case Komplexität sei c, Fehler sei 1/3 Betrachte randomisierten Entscheidungsbaum als Verteilung auf deterministischen Bäumen Ziehe jeweils nach einem globalen Zufallsstring

Das Yao Prinzip r sei der Zufallsstring Dann gilt: 8 x E r [Fehler auf x mit r]· 1/3 Aber auch E x E r [Fehler auf x mit r]· 1/3 Und: E r E x [Fehler auf x mit r]· 1/3 Es gibt ein r mit E x [Fehler auf x mit r]· 1/3

Das Yao Prinzip Distributionale Komplexität: Für eine Verteilung auf den Eingaben sei D ( ) (f) die minimale Tiefe eines det. E-Baumes für f mit Fehler 1/3 unter Theorem: R(f)¸ max D 1/3 ( ) (f)

Das Yao Prinzip Beweis: Obige Beobachtungen gelten für alle und Frage: sind solche unteren Schranken immer gut?

Das Yao Prinzip Theorem: R(f) = max D 1/3 ( ) (f) Beweis: Gegeben sei für alle ein E-Baum mit Tiefe k und Fehler 1/3 Zu konstruieren ist ein randomisierter E-Baum mit Tiefe k Betrachte als Spiel: Spieler A wählt eine Eingabe, Spieler B einen Baum der Tiefe k Spieler A gewinnt 1 Euro, wenn Baum falsch auf der Eingabe, sonst gewinnt Spieler B 1 Euro

Das Yao Prinzip Angenommen A zieht Eingabe nach ist eine Strategie von A Dann kann B mit einem festem Baum einen erwarteten Gewinn von 2/3 machen Wie haben: Für alle (bekannten) Strategien von A gibt es eine Strategie von B, die 2/3 gewinnt Wir wollen: Strategie von B (Verteilung auf E-Bäumen Tiefe k), die gut ist für alle Strategien von A Haben: min über Strat. von A von max über Strat. von B von [Payoff für Bob]¸ 2/3 Wollen: max über Strat. von Bob von min über Strat. von A von [Payoff für Bob] ¸ 2/3

Das Yao Prinzip Jetzt wende an: Theorem [von Neumann]: In Nullsummenspielen ist minmax=maxmin

Beispiel OR: Finde eine schwierige Verteilung (0 n )=1/2 ( )=1/2n Dann ist D( )(OR)¸ n/3 Und R(OR)= (n)