Chromatische Zahl

Graphfärben Gegeben: Graph G=(V,E) Aufgabe: Färbe die Knoten mit möglichst wenigen Farben so, dass benachbarte Knoten jeweils unterschiedliche Farben erhalten. Notation: Chromatische Zahl c(G) … minimale Anzahl Farben Beispiele:

Graphfärben (2) Komplexitätsaussagen: Planare Graphen: Problem ist NP-schwer  k ≥ 3: entscheiden ob ein gegebener Graph k-färbbar ist, ist NP-vollständig [ Beachte: 2-Färbbarkeit ist einfach! ] Planare Graphen: k = 3: entscheiden ob ein gegebener planarer Graph 3-färbbar ist, ist NP-vollständig Aber: 4-Farben-Satz impliziert, dass jeder planare Graph in Zeit O(n2) mit vier Farben gefärbt werden kann.

Approximationsalgorithmen Planare Graphen: Es gibt einen 4/3-Approximationalgorithmus – und dies ist bestmöglich, ausser P=NP. Allgemeine Graphen: ……….. 3-färbbare Graphen:

Allgemeine Graphen Algorithmus von Johnson (1973) Eingabe: Graph G=(V,E) k := 1; repeat Finde `geschickt´ eine stabile Menge S in G. Färbe alle Knoten in S mit Farbe k. k := k+1; G := G[V \ S]; until (G is empty)

Finden von stabilen Mengen Algorithmus StableSet Eingabe: Graph G=(V,E) Ausgabe: stabile Menge S in G S := ? ; repeat Wähle (beliebigen) Knoten v mit minimalem Grad. S := S U {v}; G := G[V \ ( {v} U Γ(v) )]; until (G is empty)

Analyse Lemma: G k-färbbar Þ |S| ³ log(n) / log(k) Satz: Algorithmus von Johnson ist ein (n/log(n)) – Approximationsalgorithmus für die chromatische Zahl.

State of the Art Halldórsson (1993) Es gibt einen (n · (loglog(n))2 / (log(n))3 ) – Approximationsalgorithmus. Feige, Kilian (1998) Nicht approximierbar bis auf n1-ε für jedes ε > 0, ausser ZPP=NP.

3-färbbare Graphen Algorithmus von Wigderson (1983) Eingabe: Graph G=(V,E) k := 1; while ( maxdegree(G) ³ Ön ) do Wähle (beliebigen) Knoten v mit maximalem Grad. Färbe v mit Farbe k und Γ(v) mit Farben k+1 und k+2. k := k+3; G := G[V \ ( {v} U Γ(v) ]; end do Färbe G mit Farben k,…,k+ Ön-1; [ → Satz von Brooks]

Satz: Algorithmus von Wigderson ist ein Analyse Satz: Algorithmus von Wigderson ist ein O(Ön) – Approximationsalgorithmus für 3-färbbare Graphen. Beweis: while-Schleife wird höchstens n/Ön = Ön oft durchlaufen Þ für die while-Schleife werden höchstens 3Ön Farben benötigt. Färben des Restgraphens benötigt höchstens Ön zusätzliche Farben.

State of the Art: 3-färbbare Graphen Arora, Chlamtac, Charitar (2006) Es gibt einen n0.2111 – Approximationsalg. Khanna, Linial, Safra (1993) Nicht approximierbar bis auf 5/3-ε für jedes ε > 0, ausser P=NP. [D.h., es gibt keinen Algorithmus der mit 4 Farben auskommt.]

PTAS for TSP in weighted planar graphs

Kurze Wiederholung TSP: nicht in APX, ausser P=NP Δ-TSP: Christofides: 3/2-Approximationsalg. Papadimitriou, Yannakakis: APX-vollständig Hamiltonkreis in planaren Graphen: NP-vollständig, sogar in 3-regulären planaren Gr.

TSP in planaren Graphen Gegeben: planarer Graph G=(V,E) Gewichtsfunktion w : E → N Gesucht: „Walk“ (v1,…,vk) mit v1=vk der alle Knoten enthält und minimale Länge hat Alternativ: Bestimme minimalen Hamiltonkreis in vollständigem Graphen in dem das Gewicht der Kante {u,v} genau der Länge eines kürzesten u-v-Pfades in G entspricht

minimaler Walk Länge: 14 minimaler H.K. Länge: 14 2 1 3 1 h 4 3 Vollständiger Graph: 2 4 1 3 1 3 h 3 minimaler H.K. Länge: 14 2 6 6

Heute Arora, Grigni, Karger, Klein, Woloszyn (1998): PTAS für TSP in gewichteten planaren Graphen. Erweiterung: Klein (2006): PTAS für TSP in gewichteten planaren Graphen für vorgegebene Teilmenge S der Knotenmenge.

PTAS für TSP in planaren Graphen Grundlegende Konzepte für den Beweis: Spanner Separator Dynamische Programmierung

Ein r-Spanner von G ist ein Subgraph G` mit Gegeben: G=(V,E), w: E → N Bemerkungen: G ist ein 1-Spanner gesucht werden Spanner G‘ mit w(G‘) « w(G) Ein r-Spanner von G ist ein Subgraph G` mit

Spanner Althöfer, Das, Dopkin, Joseph, Soares (1993): Einfacher Algorithmus der einen r-Spanner G´ berechnet, so dass w(G‘) £ mst(G) · (1 + n/(r-1)) bzw. w(G‘) £ mst(G) · (1 + 2/(r-1)), falls G planar. Beachte: Für einen Spanner G´ gilt immer w(G‘) ³ mst(G).

Algorithmus Eingabe: G=(V,E), w:E→N, Parameter r ε R+ Sortiere Kanten so, dass w(e1) £ … £ w(em); E` := ? ; for i = 1 to m do seien u und v die Knoten von ei; if dG`(u,v) > r · w(ei) then E` := E` + ei

Eigenschaften Lemma 1: G` ist ein r-Spanner. Lemma 2: girth(G`) > r+1. [G` enthält keinen Kreis auf £ r+1 Knoten.] Lemma 3: Sei C ein Kreis in G`. Dann gilt: w(C - e) > r · w(e) für alle Kanten e in C. Lemma 4: G` enthält einen minimalen Spannbaum von G.

Beweis des Satzes (für planare Graphen) MST w(P0) = 2 · w(MST) w(T0) = 0 P0 := Polygonzug um MST T0 := ? Für übrige Kanten: wähle sukzessive eine beliebige Kante ei, die mit Pi ein Gebiet einschliesst; Pi := Pi-1 – Pfadstück + ei; Ti := Ti-1 + ei;