Probestudium Graphentheorie Die Mathematik von FACEBOOK Konstantinos Panagiotou

Organisatorisches

Das Team Falls es Fragen gibt, bitte unterbrechen Sie mich…! Benedikt Stufler Robert Graf Iosif Petrakis Tobias Ried Manuel Wickmann Ronja Kuhne Alexisz Gaal Michael Wolff Falls es Fragen gibt, bitte unterbrechen Sie mich…!

Die Geburtsstunde der Graphentheorie

Vor vielen Jahren …

Populäres Puzzle (~1700): ist es möglich durch die Stadt zu laufen, so dass man jede Brücke genau einmal überquert?

Ist es wichtig, wie breit der Fluss ist? Ist es wichtig, wie groß die Insel ist? Ist es wichtig, dass die Brücke aus Stein gebaut ist? Ist es wichtig, ob es regnet? Was ist wichtig?

Andere Beispiele Kann man eine gegebene Figur zeichnen, ohne den Stift abzusetzen und ohne eine Linie doppelt zu ziehen?

Euler Euler‘s Kommentar: „Was dieses Problem angeht, so kann es gelöst werden, indem alle möglichen Wege ausprobiert werden, um herauszufinden ob es einen gibt der den Anforderungen genügt. Weil die Anzahl Wege groß ist, ist diese Vorgehensweise schwer und umfangreich, und in anderen Fällen, mit mehr Brücken, wäre sie unmöglich.“

Nur eine Spielerei? Problem in der Logistik: Post Müllabfuhr … Viele weitere Anwendungen: Gentechnologie: Sequenzierung  Euler‘s Problem

Ein ähnliches Problem Ein Reisender möchte bestimmte Städte besuchen Er kennt die Verbindungen zwischen den Städten Am Schluss möchte er wieder an seinem Ausgangsort ankommen Er will keine Stadt mehrmals besuchen

Was ist (nicht) wichtig?

Beispiele

Ursprung

Wie macht man das? „[…] so kann es gelöst werden, indem alle möglichen Wege ausprobiert werden, um herauszufinden […]“ (Euler) Es gibt insgesamt n Städte Die Städte sind komplett miteinander verbunden Jede Verbindung hat ein unterschiedliches Gewicht Möglicher Lösungsansatz: vollständige Aufzählung aller möglichen Wege! Wieviel Zeit braucht ein heutiger Computer? …

Zeit? Zeit = Anzahl Wege * t, wobei t = Zeit, um die Länge des Weges zu berechnen Nehmen wir mal an, dass t sehr klein ist: 1/1.000.000 Sekunden Was ist die Anzahl Wege?

Anzahl Wege Anzahl Wege = Anzahl Mögl. den ersten Schritt zu machen * Anzahl Mögl. den zweiten Schritt zu machen … * Anzahl Mögl. den i-ten Schritt zu machen * Anzahl Mögl. den letzten Schritt zu machen = (n-1) * (n-2) *… * (n-i) * … * 1 = (n-1)!

Beispiele n = 11: Die benötigte Zeit ist n = 13: n = 16: n = 21: „Weil die Anzahl Wege groß ist, ist diese Vorgehensweise schwer und umfangreich, und in anderen Fällen, mit mehr Brücken, wäre sie unmöglich.“ n = 11: Die benötigte Zeit ist 10 * 9* 8* … *2*1 * t = 3628800*1/1000000 ~ 3 Sek. n = 13: 12*11*…*2*1 * t ~ 360 Sek. (6 Minuten!) n = 16: 15*14*…*2*1 * t ~ 1.000.000 Sek (ca. 300 Stunden!!) n = 21: 20*19*….*2*1 * t ~ 2* Sek. (ca. 700 Jahre!!!) n = 41 40*39*…*2*1 * t ~ … (> Alter des Universums!!!!)

Ein Zuordnungsproblem Nikolaus hat viele verschiedene Geschenke, die er verteilen möchte. Jedes Kind freut sich nur über bestimmte Geschenke. z.B. Peter freut sich über Modelleisenbahn, Nintendo WII, aber nicht über Lego. Problem: Wie soll der Nikolaus die Geschenke verteilen (eins pro Kind), so dass möglichst viele Kinder sich freuen?

Was ist (nicht) wichtig?

Eine abstrakte Sichtweise Die Aufgabe vom Nikolaus: “Mache möglichst viele Kinder glücklich und jedes Kind bekommt höchstens ein Geschenk” = “Finde eine maximale Menge von Verbindungen, so dass jeder rote und blaue Punkt zu höchstens einer gehört!” WII Eisenbahn Lego … Peter Kinder Geschenke

Nur eine Spielerei? Welche Züge sollen welche Routen fahren? Welche Professoren sollen welche Vorlesungen halten? Welche Zulieferer sollen welche Waren wo liefern? …

Ein letztes Beispiel Experiment in den 60er Jahren, durchgeführt von Stanley Milgram Eine Person s erhielt einen Brief, der an eine andere Person t adressiert war Wichtige Informationen über t wurden s mitgeteilt s konnte den Brief nur an jemanden schicken, der/die ihm/ihr persönlich bekannt war 1) Viele Briefe gingen verloren 2) Mittlere Länge einer erfolgreichen Kette: 5.6

Es gibt auch deutlich längere Ketten. Fragen Warum existieren kurze Ketten? Wie können Individuen solche Ketten finden (ohne alle Bekanntschaften zu kennen?) Heute: Durchschnittliche Länge in Facebook: 4.7 (!) Yahoo! Labs Small World Experiment Ähnliche Eigenschaften in anderen Netzwerken: Twitter, Youtube, … Es gibt auch deutlich längere Ketten.

Eine abstrakte Sichtweise Mitglieder von FACEBOOK: Punkte Freundschaft in FACEBOOK: Verbindung Wie sieht FACEBOOK aus?

FACEBOOK

Zusammenfassung Euler’s Problem Reisender Zuordnungsproblem FACEBOOK

Was haben diese Probleme gemeinsam? Sie lassen sich durch sehr ähnliche (abstrakte) Objekte beschreiben: Punkte Verbindungen Genau das sind Graphen…!