Ausgleichung ohne Linearisierung Problematik Lösen linearer, nicht überbestimmter Gleichungssysteme Lösen nicht linearer, nicht überbestimmter Gleichungssysteme Lösen nicht linearer, überbestimmter Gleichungssysteme Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Beispiel: Tachymeter Zeiss Elta 2 Modell für Fehler- korrektur: Sinusschwingung Vergleich mit Laser-Interferometer Messstelle d [m] Differenz c [mm] 2,035 2,8 4,042 -1,6 5,998 -7,5 7,973 -7,1 10,002 -0,7 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Beispiel: Fortsetzung Näherungswerte: Gesucht: Wahrscheinlichste Werte der Parameter a0 bis a3 und ausgeglichene Beobachtungen di bzw. ci Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Beispiel: Lösung (1) Fehlender Näherungswert: Erstes Wertepaar: Fehlermeldung, da Ausdruck bei arcsin >1  2. Wertpaar verwendet: a3=3,6 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Beispiel: Lösung (2) Ableitungen der Bedingungsgleichungen: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Beispiel: Lösung (3) B-Matrix: Ableitungen nach c und d A-Matrix: Ableitungen nach a0 bis a3 Widerspruchsvektor w Gewichtsmatrix Einheitsmatrix Gleichungssystem Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Beispiel: Lösung (4) Auflösung liefert Unbekanntenzuschläge x und Verbesserungen v Hauptprobe: Geht nicht auf! Iteration notwendig Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Einfach lösbar weil … Einfache, geschlossen Berechnung der Näherungswerte Wie geht man vor, wenn keiner der vier Näherungswerte gegeben ist? Konvergierende Iteration Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Lösen nicht überbestimmter Gleichungssysteme Gegeben: Gesucht: Lösung des Systems (gemein-same Nullstellen der Polynome) Lösung: Diagonalfom: Lösung direkt ablesbar! Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Lösen nicht überbestimmter, nicht linearer Gleichungssysteme Gegeben: 2 Festpunkte, 2 Strecken zu Neupunkt Gesucht: Koordinaten des Neupunktes y x P1 5 P2 15 von nach s P1 N 8 P2 6 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Lösung (1) Funktionaler Zusammenhang: Ausmultipliziert: mit den Unbekannten xN und yN Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Lösung (2) Einsetzen der bekannten Werte Keine ‚nette‘ Form der Darstellung (Lösung nicht direkt ablesbar) Lösung direkt ablesbar aus (ohne Beweis): Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Lösung (3) Gesuchte Lösung des Systems ist: Lösung der Aufgabe: Frage: Wie sind wir auf das ‚nette‘ Gleichungssystem gekommen? Gröbner-Basis y x Lsg 1 11,4 0,2 Lsg 2 9,8 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Gröbner-Basis Entwickelt von Buchberger in den 60er-Jahren des 20. Jahrhunderts Gegeben: System F von Polynomen Gesucht: Nullstellen von F F in System G transformiert, das ‚nettere‘ Eigenschaften hat F und G sind äquivalent  Lösung von G ist auch Lösung on F Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Begriffe Multivariate Polynome: Polynom in mehreren Variablen – Kombinationen von Variablen sind erlaubt (z.B. xy) Bivariate Polynome: 2 Variable Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Beispiel Gegeben sind: bivariate Polynome System von Polynomen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Monomen Summanden: Monome Wichtigste Arten der Sortierung: Nach dem Lexikon (lexikographisch) Erst nach der Potenz, dann lexikographisch Im Beispiel: lexikographisch (erst nach y, dann nach x, dann absteigende Potenz) Erstes Monom: Führendes Monom Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Division/Reduktion (1) Einzelne Monome von g werden mit Hilfe von f1 und f2 eliminiert Mögliche Division: Reduziert g modulo f1 Das führende Monom von (3y)f1 muss eines der Monome von g eliminieren Mathematisch: („g reduziert sich zu h modulo f1“) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Division/Reduktion (2) Im Allgemeinen viele verschiedene Reduktionen möglich In unserem Beispiel: Somit: und . Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Division/Reduktion (3) bedeutet, dass sich g über die Funktionen aus F zu h reduzieren lässt Reduktion über eine endliche Anzahl von Schritten: Wenn nicht mehr weiter reduzierbar: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Eigenschaften der Reduktion Terminierung – es gibt keine unendliche Kette von Reduktionsschritten Reduktion ist algorithmisch – für alle g und F gibt es einen Algorithmus, der eine reduzierte Form erzeugt Nicht-Eindeutigkeit – aus g und F können unterschiedliche Ergebnisse h und k erzeugt werden: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Gröbner-Basis Set von Polynomen mit eindeutiger Reduktion Definition: F ist eine Göbner-Basis  F ist eindeutig, also Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I S-Polynom Gegeben 2 Polynome Mit einem solchen Monom multipliziert, sodass die führenden Monome gleich sind S-Polynom ist die Differenz der beiden Polynome Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Beispiel: S-Polynom Gegeben: Gesucht: S-Polynom Ergebnis: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Bestimmung Gröbner-Basis Gegeben: Beliebige Menge F von Polynomen Gesucht: Menge G von Polynomen, die eine Gröbner-Basis bilden Berechnung: Buchberger-Algorithmus Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Buchberger-Algorithmus (1) Setze G=F Für jedes Paar von Polynomen f1 und f2  G: S[f1,f2] berechnen und zur reduzierten Form h vereinfachen Wenn h = 0 dann nächstes Paar Wenn h ≠ 0 dann zu G hinzufügen und iterieren Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Buchberger-Algorithmus (2) Lineare Polynome: Ergebnis entspricht der Gauß‘schen Elminiation  Verallgemeinerung der Gauß‘schen Elimination Nähere Beschreibung: Dissertation Bruno Buchberger: http://www.risc.uni-linz.ac.at/people/buchberg/ Berechnung: Software-Pakete Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Was können wir jetzt? Lösen von linearen Gleichungssystemen: z.B. Gauß‘sche Elimination Lösen von nicht linearen Gleichungs-systemen: Gröbner-Basis Lösen von überbestimmten, linearen Gleichungssystemen: Methode der kleinsten Quadrate Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Lösen überbestimmter, nicht linearer Gleichungssysteme Direkte Anwendung der Gröbner-Basis nicht möglich Lösung von Awange und Grafarend: Bestimmung der eindeutigen Lösungen über Gröbner-Basis Lösungen als Beobachtungen betrachten und Genauigkeit über Fehlerfortpflanzung Lösung nach Ausgleichung direkter Beobachtungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Vorteile dieser Lösung Keine Linearisierung Somit keine Näherungswerte notwendig Keine Iteration nötig Für Detektion grober Fehler verwendbar (A 2) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Beispiel: Überbestimmter Bogenschnitt Bogenschnitt von 3 Punkten  3 eindeutige Lösungen N12, N13, N23 Zufällige Fehler bewirken Abweichungen Vorschlag von Gauß: Eindeutige Lösung über gewichtetes arithmetisches Mittel, Gewichte aus Distanzen Jacobi: Gewichte aus Determinanten der Lösungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Kombinationsansatz (1) Lineares Problem: Aus je 2 Gleichungen eine Lösung: Lösungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Kombinationsansatz (2) Gewichtetes arithmetisches Mittel Gewichte p aus Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Kombinationsansatz (3) Nicht lineares Problem: Gewichte über Fehlerfortpflanzung abzuleiten Liefert Varianz-Kovarianzmatrix Ausgleichung direkter Beobachtungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Zusammenfassung Notwendige Linearisierung bei Ausgleichs-problemen kann zu Schwierigkeiten führen Gröbner-Basis ermöglicht Lösung ohne Linearisierung (also auch ohne Näherungswerte) Vorteile: Rechenaufwand abschätzbar, Wiederholung einfach Nachteil: Mathematisch aufwändiger Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil