Faktorisieren von „Trinomen“ Wir kennen die folgende Termumformung: (x + 5)*(x + 1) = x2 + x + 5x + 5 = x2 + 6x + 5 Dabei wird ein Term in der Produkteform in die Summenform umge-wandelt. Wir wenden das Distibutivgesetz („Pöstlergesetz“) an. Die Umkehrung ist uns nicht bekannt. x2 + 6x + 5 = ? Ziel: Wir haben einen Term in der Summenform und möchten ihn in die Produkteform umformen. In der Algebra nennt man dies Faktorisieren. Lösung: x2 + 6x + 5 = (x + 5)(x + 1) Summenform……Produkteform Kontrolle: (x + 5)(x + 1) = x2 + x + 5x + 5 = x2 + 6x + 5 Wie geht dies nun?
Das Schema: … dem konstanten Glied des Trinoms = Zahl (ohne x,x2) Typ 1: x2 + 13x + 12 Typ 2: x2 + x – 6 Typ 3: x2 – 5x – 50 Typ 4: x2 – 8x + 12 … dem konstanten Glied des Trinoms = Zahl (ohne x,x2) z.B. Typ 1: Die Zahl 12 ergibt die Zahlenpaare: 1*12; 2*6; 3*4 … dem Koeffizienten des linearen Trinom-gliedes! = Zahl bei x! z.B. 13x, also 13… 1 + 12 = 13
Die Lösung in Schritten: Schreibe zuerst den ursprünglichen Term und dann die Ausgangslage für das gesuchte Produkt! x2 + 10x + 21 = (x ) (x ) Bilde alle Zahlenpaare, deren Produkt gleich dem konstanten Glied des Trinoms ist: Also: 21 zerlegen, d.h. 1*21 ; 3*7 …mehr gibt‘s nicht! Um welchen Trinom-Typ handelt es sich? Notiere die korrekten Vorzeichen! Es ist der Typ 1, also: (x + )(x + ) Fortsetzung im Schema: Ist die Summe eines der Zahlenpaare gleich dem Koeffizienten des linearen Trinomgliedes? Ja oder Nein? Falls Ja: Notiere die Zahlen in der Lösung! (x + 3)(x + 7) Somit gilt also: x2 + 10x + 21 = (x + 3) (x + 7) Kontrolle im Kopf!!!
Ein paar Aufgaben dazu… x2 + 10x + 25 = a2 + 16a + 48 = m2 – 13m + 42 = x2 – 4x – 32 = a2 – 14a + 49 = b2 – 3b – 28 = x2 – 7x – 18 = a2 + a – 30 = y2 + 2y – 63 = Zeit: 6 Minuten Ziel: 8 richtige Lösungen …toi, toi, toi!!!
… und hier ihre Lösungen! x2 + 10x + 25 = (x + 5) (x + 5) a2 + 16a + 48 = (a + 12) (a + 4) m2 – 13m + 42 = (m – 7) (m – 6) x2 – 4x – 32 = (x – 8) (x + 4) a2 – 14a + 49 = (a – 7) (a – 7) b2 – 3b – 28 = (b – 7) (b + 4) x2 – 7x – 18 = (x – 9) (x + 2) a2 + a – 30 = (a – 5) (a + 6) y2 + 2y – 63 = (y – 7) (y + 9) b2 – 3b – 28 = (b + 4) (b – 7)