Diplomarbeit von Daniel Tameling Algorithmen für nichtlokale Materialgesetze in der Gradienten-Einkristall-Plastizität Inhalt Einleitung Mathematische Grundlagen Vorstellung der Algorithmen Vergleich der Zusammen-fassung Diplomarbeit von Daniel Tameling Betreuer: Dipl.-Ing. Stephan Wulfinghoff Prof. Dr.-Ing. Thomas Böhlke Bereich Kontinuumsmechanik Institut für Technische Mechanik D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie 16. September 2011 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAAAAAAAAAA

Inhalt Inhalt Einleitung Mathematische Grundlagen Vorstellung der Algorithmen Vergleich der Zusammen-fassung Einleitung Mathematische Grundlagen Vorstellung verschiedener Algorithmen Vergleich der Algorithmen anhand der Rechnung Zusammenfassung D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie 16. September 2011

Einleitung Inhalt Bei Abmessungen kleiner als ca. 10 µm Mathematische Grundlagen Vorstellung der Algorithmen Vergleich der Zusammen-fassung Fleck et al. (1994) Bei Abmessungen kleiner als ca. 10 µm zeigt sich eine Größenabhängigkeit besonders bei inhomogener Belastung wie Torsion d2 <d1 d1 Widerspruch zu klassischer Theorie Gewählte Lösung: Finite Elemente Methode mit Newton-Verfahren Active-set-search Methode Gradiententheorie mit Verbindung zu Versetzungen Nichtlineare Variations- formulierung D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie 16. September 2011

Kinematik eines Einkristalls Inhalt Einleitung Mathematische Grundlagen Vorstellung der Algorithmen Vergleich der Zusammen-fassung Gurtin, Needleman (2005) Zerlegung des Deformationsgradienten Kleine Deformationen beim Einkristall ein Gleitsystem: Gleitebenen- normale Slip-Parameter Gleitrichtung Schmid-Tensor Elastischer Anteil des Verschiebungsgradienten Rotation + Streckung Scherung D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie 16. September 2011

Motivation Versetzungsdichtetensor Inhalt Einleitung Mathematische Grundlagen Vorstellung der Algorithmen Vergleich der Zusammen-fassung Nye (1953) Nach plastischer Verformung Anfangs- platzierung Gitter Kontinuum Burgers-Vektor: Versetzungsdichte Satz von Stokes D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie 16. September 2011

Freie Helmholtzenergie Inhalt Einleitung Mathematische Grundlagen Vorstellung der Algorithmen Vergleich der Zusammen-fassung Steifigkeitstensor Elastischer Anteil Verfestigungsmodul Isotroper Verfestigungsanteil Konstante Vesetzungsanteil mit Versetzungsdichtetensor Insgesamt: D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie 16. September 2011

Umsetzung Inhalt Leistungsbilanz Nichtlineare Variationsformulierung Einleitung Mathematische Grundlagen Vorstellung der Algorithmen Vergleich der Zusammen-fassung Leistungsbilanz Nichtlineare Variationsformulierung Wie lösen? Nichtlineare Finite Elemente Methode Newton-Verfahren Was sind die plastisch aktiven Knoten? Linearisieren Diskretisieren Für inaktive Knoten Gleichungen mit Slip-Parameter im linearen Gleichungssystem entfernen Lineares Gleichungssystem Bestimmung der aktiven Knoten mit Active-set-search Methode D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie 16. September 2011

Lineares Gleichungssystem Active Set Search Inhalt Einleitung Mathematische Grundlagen Vorstellung Algorithmen Simulation Vergleich Zusammen-fassung Miehe, Schröder (2001) Lineares Gleichungssystem: symmetrisch + positiv definit Active-set-search: Diskrete Nebenbedingungen Passiver Knoten Aktiver Knoten Wird aktiv bei Wird passiv bei Active Set: Menge der aktiven Knoten Ziel der Diplomarbeit: Verschiedene Möglichkeiten der Kombination von Active-set-search und Newton-Verfahren D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie 16. September 2011

Ablauf der Algorithmen, die miteinander verglichen wurden Inhalt Einleitung Mathematische Grundlagen Vorstellung der Algorithmen Vergleich der Zusammen-fassung Methode 1 Methode 2 Methode 3 D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie 16. September 2011

Rechengebiet Inhalt Randbedingungen Untere Fläche fest Obere Fläche Einleitung Mathematische Grundlagen Vorstellung der Algorithmen Vergleich der Zusammen-fassung Randbedingungen Untere Fläche fest Obere Fläche wird verschoben Rest spannungsfrei Slip-Parameter verschwindet auf dem Rand Netze Hexaeder Elemente 11x11x6 =726 Knoten 26x26x14 =9464 Knoten D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie 16. September 2011

Simulation Inhalt Anforderungen: Robuster und stabiler Algorithmus Einleitung Mathematische Grundlagen Vorstellung der Algorithmen Vergleich der Zusammen-fassung Anforderungen: Robuster und stabiler Algorithmus hohe Geschwindigkeit Durchgeführte Simulationen umax=0,03µm mit 10 Zeitschritten und feinem Netz umax=0,3µm mit 4 und 10 Zeitschritten und grobem und feinem Netz Ausgangskonfiguration d.h. unverformt 10 Zeitschritte: letzter Zeitschritt D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie 16. September 2011 11

10 Zeitschritte, xz-Ebene Simulation 10 Zeitschritte, xz-Ebene Inhalt Einleitung Mathematische Grundlagen Vorstellung der Algorithmen Vergleich der Zusammen-fassung Verschiebung 100 fach überzeichnet Verschiebung 20 fach überzeichnet D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie 16. September 2011

Vergleich der Algorithmen Inhalt Einleitung Mathematische Grundlagen Vorstellung der Algorithmen Vergleich der Zusammen-fassung Zahl der Newton-Schritte bestimmt den Zeitaufwand einer Methode Summe der Zahl der Newton- Schritte aus allen Simulationen Methode 1 Methode 2 Methode 3 Methode 1 ist am langsamsten D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie 16. September 2011

Vergleich der Algorithmen Inhalt Einleitung Mathematische Grundlagen Vorstellung der Algorithmen Vergleich der Zusammen-fassung Aufstellen des linearen Gleichungssystems ist teuer Bei Methode 2 nur erforderlich wenn keine Änderung am Active Set Warum bestimmt Zahl der Newton-Schritte den Zeitaufwand? Summe der Zahl der Änderungen am Active Set aus allen Simulationen Methode 1 Methode 2 Methode 3 Bei Methode 2 nur 51 mal LGS aufstellen statt 101 wie bei Methode 3 Methode 2 ist die schnellste D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie 16. September 2011

Zahl der Active Set Searches Zusammenfassung Inhalt Einleitung Mathematische Grundlagen Vorstellung der Algorithmen Vergleich der Zusammen-fassung Methode 1 Methode 2 Methode 3 Stabilität o Zahl der Active Set Searches Zahl der Newton Schritte - + Geschwindigkeit Fazit D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie 16. September 2011

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit Inhalt Einleitung Mathematische Grundlagen Vorstellung der Algorithmen Vergleich der Zusammen-fassung Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie 16. September 2011