„Beweisen in der Grundschule? “ Nele Weingärtner, Julia Rambow 04.05.2009

Gliederung Wann kann man von einem Beweis sprechen? Wann fängt das Beweisen an? Entwicklung eines Beweisbedürfnisses Nötige Kenntnisse und Fertigkeiten Curriculum  von 15

Wann fängt das Beweisen an? auch jüngere Kinder sind zu Argumentationen fähig, die nach strengeren Kriterien Beweis-Charakter haben argumentieren steht immer in Verbindung mit der mündlichen und schriftlichen Ausdrucksfähigkeit  beides muss geübt und gefördert werden für Kinder, die sich entwicklungsbedingt auf der enaktiv oder symbolischen Ebene befinden, müssen alternative Darstellungsmöglichkeiten gefunden werden diese sind bei den Schülern meist sogar akzeptierter und damit von Vorteil  der Grundschule kommt eine wichtige (bisher eher wenig beachtete) Rolle im Beweislernen zu von 15

Beweisbedürfnis Was bewegt dich dazu, eine mathematische Aussage zu beweisen? Ich beweise eine mathematische Aussage, weil ... ich Freude am Knobeln und Nachdenken habe und wissen möchte, was dahinter steckt. eine mathematische Aussage natürlich noch zu beweisen ist! ich eine gute Note bekommen/eine schlechte Note vermeiden möchte. es die Uni von mir verlangt. ... von 15

Beweisbedürfnis Objektives Beweisbedürfnis – Subjektives Beweisbedürfnis „ ... Beweisbedürfnis heißt hier [in der Grundschule]: Ich möchte dem Lehrer oder den Mitschülern zeigen, dass mein Lösungsweg richtig ist“ (Kothe 1979, 276). „Ziel des Mathematikunterrichts sollte es sein, dass die Lernenden einen impliziten Begründungsansporn verinnerlichen und aus der Sache heraus eine Selbstverständlichkeit empfinden, gewonnene Einsichten sich selbst oder anderen gegenüber zu begründen – und nicht erst nach Aufforderung durch Lehrende in einer künstlich geschaffenen Begründungssituation“ (Krauthausen 2001, 103). von 15

Beweisbedürfnis Motivierung des Beweisens Kenntnis und Geläufigkeit von „Beweis-Werkzeugen“ fördert Motivation Orientierung an „strenger“ mathematischer Systematik kann das „natürliche“ Fragebedürfnis bei Schulanfängern drosseln  vorsichtige Präzisierung des Verstehenwollens Zu beweisende Aussage muss so beschaffen sein, dass sie dem Schüler nicht sofort als völlig sicher erscheint Schüler müssen darüber im Klaren sein, dass das Überprüfen einzelner Beispiele nicht ausreicht, um eine allgemeine Aussage zu beweisen ... von 15

Gliederung Nötige Kenntnisse und Fertigkeiten - Verstehen von Beweisen Wann kann man von einem Beweis sprechen? Wann fängt das Beweisen an? Entwicklung eines Beweisbedürfnisses Nötige Kenntnisse und Fertigkeiten - Verstehen von Beweisen -Verständnis mitteilen Curriculum Feedback von 15

Kenntnisse und Fertigkeiten „Beweisen im Elementarbereich erfolgt in zwei Schritten: Verstehen und Verständnis mitteilen. Die Schritte werden in gegenseitiger Wechselwirkung aufgebaut“ (Meissner 1979, 307). von 15

Kenntnisse und Fertigkeiten (Verstehen) Beweisstufen nach Winter und Müller Experimentelle Beweise Inhaltlich-anschauliche Beweise („Siehe-Beweise“) Formal-wissenschaftliche Beweise Blum/Kirsch prägten den Begriff „präformale“ Beweise: Inhaltlich-anschauliche Beweise (ikonisch) Handlungsbezogene Beweise (enaktiv) von 15

Kenntnisse und Fertigkeiten (Verstehen) Könnt ihr Euch vorstellen, solche Beweise im Unterricht einzusetzen? (Warum?) Sollten Lehrer (und nur solche für die Primarstufe?) präformale Beweise bereits während des Studiums kennenlernen? (Warum?) von 15

Kenntnisse und Fertigkeiten (Mitteilen) Nach Besuden (1979) lernen die SchülerInnen induktiv, d.h. sie sammeln Erfahrungen, sie begegnen Einzelfällen, vergleichen diese, stellen Vermutungen an, erhärten diese oder verwerfen sie und ziehen Schlussfolgerungen, um so zu immer allgemeineren Einsichten zu kommen. von 15

Kenntnisse und Fertigkeiten (Mitteilen) Aufgabenbeispiele: Eine Schnur wird durch n Knoten in n+1 Teile zerlegt. Yusuf sagt zu Maria: „Denk dir eine Zahl. Notiere von ihr den Nachfolger und davon wieder den Nachfolger. Addiere ich diese drei Zahlen und dividiere danach durch 3. Wenn du mir die erhaltene Zahl sagst, kann ich dir deine gedachte Zahl angeben.“ Maria hat bedenken und fragt: „Was mache ich wenn die Summe nicht durch 3 teilbar ist?“ Wer weiß hier Rat? von 15

Kenntnisse und Fertigkeiten (Mitteilen) Vorteile anschaulicher Beweise: die gesuchte mathematische Beziehung entsteht im Prozess und wird nicht vorgegeben fördern und schaffen Verständnis sie ermöglichen algebraisches Denken ohne dass die formale Sprache der Algebra benutzt werden muss sind auf unterschiedlichem Niveau möglich Nachteile: setzen geometrische Kenntnisse und Entwicklung der visuellen Wahrnehmung voraus eignen sich nicht immer, genau zu überprüfen von 15

Literatur Besuden(1979): Vollständige Induktion in der Grundschule? In: Dörfler, W., Fischer, R. (Hrsg.): Beweisen im Mathematikunterricht, S. 83-91. Wien Kothe, S. (1979): Gibt es Entwicklungsmöglichkeiten für ein Beweisbedürfnis in den ersten vier Schuljahren? In: Dörfler, W., Fischer, R. (Hrsg.): Beweisen im Mathematikunterricht. Wien Krauthausen, G. (2001): Wann fängt das Beweisen an? In: Weiser, W., Wollring, B. (Hrsg.): Beiträge zur Didaktik der Mathematik für die Primarstufe. Festschrift für S. Schmidt, S.99-113. Hamburg Meissner H. (1979): Beweisen im Elementarbereich. In: Beweisen im Mathematikunterricht. Schriftenreihe der Mathematik, S.307-313. Austria von 15

Weiter Literaturempfehlungen Müller, G.N., Steinbring, H., Wittmann, E.Ch. (2004):Arithmetik als Prozess. Hannover Dörfler, W., Fischer, R. (Hrsg.): Beweisen im Mathematikunterricht, S. 83-91. Wien Neubrand, M. (1999): Einführung in die Arithmetik.Hildesheim von 15

Danke für eure Mitarbeit! von 15