Geometrie Marius Brunk Matthias Deege 14.01.2008

Gliederung Euklidische Geometrie Nicht-Euklidische Geometrie Biographie: David Hilbert Hilberts Axiomensystem der ebenen Geometrie Nicht-Euklidische Geometrie Nicolai Lobatschewski Janos Bolyai 14.01.2008

1.1 Biographie: David Hilbert Euklidische Geometrie 1.1 Biographie: David Hilbert 14.01.2008

geb. : 23. Januar 1862 in Königsberg als 1.1 David Hilbert geb. : 23. Januar 1862 in Königsberg als Sohn einer preußischen Beamtenfamilie Hilbert über seine schulischen Leistungen: „Ich habe mich auf der Schule nicht besonders mit Mathematik beschäftigt, denn ich wußte ja, daß ich das später tun würde.“ Abitur im Jahr 1880 14.01.2008 4

1892 Extra Ordinarius in Königsberg, Hochzeit mit Käthe Jerosch 1.1 Mathematikstudium fast ausschließlich in Königsberg (zusammen mit H. Minkowski) 1885/86 Promotion und Habilitation in Königs-berg, Bekanntschaft mit Felix Klein in Leipzig 1892 Extra Ordinarius in Königsberg, Hochzeit mit Käthe Jerosch 1895 Berufung nach Göttingen (Felix Klein) 1899 Grundlagen der Geometrie 14.01.2008 5

Hilberts vielschichtige, mathemat. Interessen: Invariantentheorie 1.1 1900 Hauptreferat auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris: 23 mathematische Probleme Hilberts vielschichtige, mathemat. Interessen: Invariantentheorie Geometrie Algebraische Zahlenkörper Integralrechnung  mathematische Physik Logische Grundlagen der Mathematik 14.01.2008 6

„Wir müssen wissen, wir werden wissen.“ 1.1 1918: „Eine Fakultät ist doch keine Badeanstalt!“ 14. Februar 1943: Tod in Göttingen „Wir müssen wissen, wir werden wissen.“ 14.01.2008 7

1.2 Hilberts Axiomensystem der (ebenen) Geometrie Euklidische Geometrie 1.2 Hilberts Axiomensystem der (ebenen) Geometrie 14.01.2008 8

Axiome der Geometrie (1899): 1.2 Axiome der Geometrie (1899): I   1-8. Axiome der Verknüpfung,  II  1-4.  Axiome der Anordnung, III 1-5.  Axiome der Kongruenz,  IV        Axiom der Parallelen,  V 1-2.  Axiome der Stetigkeit. 14.01.2008 9

I. Inzidenz-Axiome (1-4) (I1) Zu zwei Punkten A,B gibt es stets eine Gerade a, die mit jedem der beiden Punkte A,B zusammengehört. (I2) Zu zwei Punkten A,B gibt es nicht mehr als eine Gerade, die mit jedem der beiden Punkte zusammengehört. (I3) Auf einer Geraden gibt es stets wenigstens zwei Punkte. Es gibt wenigstens drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen. (I4) Zu irgend drei nicht auf ein und derselben Geraden liegenden Punkte A,B,C gibt es stets eine Ebene , die mit jedem der drei Punkte zusammen-gehört. Zu jeder Ebene gibt es stets einen mit ihr zusammengehörenden Punkt. 1.2 14.01.2008 10

1.2 I. Inzidenz-Axiome (5-8) (I5) Zu irgend drei nicht auf ein und derselben Geraden liegenden Punkten A,B,C gibt es nicht mehr als eine Ebene, die mit jedem der drei Punkte zusammengehört. (I6) Wenn zwei Punkte A,B einer Geraden a in einer Ebene , so liegt jeder Punkt von a in der Ebene. (I7) Wenn zwei Ebenen , einen Punkt A gemein haben, so haben sie wenigstens noch einen weiteren Punkt B gemein. (I8) Es gibt wenigstens vier nicht in einer Ebene gelegene Punkte. 14.01.2008 11

II. Anordnungs-Axiome (1-3) 1.2 II. Anordnungs-Axiome (1-3) (A1) Wenn ein Punkt B zwischen einem Punkt A und einem Punkt C liegt, so sind A,B,C drei verschiedene Punkte einer Geraden, und B liegt dann auch zwischen C und A. (A2) Zu zwei Punkten A und C gibt es stets wenigstens einen Punkt B auf der Geraden AC, so daß C zwischen A und B liegt. (A3) Unter irgend drei Punkten einer Geraden gibt es nicht mehr als einen, der zwischen den beiden anderen liegt. 14.01.2008 12

Ein Beispiel für Euklids teilweise lückenhaftes Vorgehen: 1.2 Ein Beispiel für Euklids teilweise lückenhaftes Vorgehen: Proposition 1: Über einer gegebenen Strecke kann ein gleichseitiges Dreieck errichtet werden. 14.01.2008 13

II. Anordnungs-Axiom 4 (Pasch) 1.2 II. Anordnungs-Axiom 4 (Pasch) (A4) Es seien A,B,C drei nicht in gerader Linie gelegene Punkte und a eine Gerade in der Ebene ABC, die keinen der Punkte A,B,C trifft: wenn dann die Gerade a durch einen Punkt der Strecke AB geht, so geht sie gewiß auch durch einen Punkt der Strecke AC oder durch einen Punkt der Strecke BC. 14.01.2008 14

III. Kongruenz-Axiome (1-3) (K1 - Streckenabtragung) Seien A,B Punkte und h eine Halbgerade mit Anfangspunkt C. Dann existiert ein Punkt D auf h mit (K2 – Transitivität der Streckenkongruenz) (K3 – Addierbarkeit von Strecken) Seien disjunkte Strecken auf einer Geraden g, sowie disjunkte Strecken einer Geraden g‘ 1.2 14.01.2008 15

III. Kongruenz-Axiome (4-5) 1.2 III. Kongruenz-Axiome (4-5) (K4 – Antragen von Winkeln) Sei ein Winkel, g‘ eine Gerade, h‘ eine Halbgerade von g‘ mit Anfangspunkt A, H eine der durch g‘ bestimmten Halbebenen. Dann existiert in H genau eine Halbgerade k‘ mit Anfangspunkt A, so dass = . (K5) Es gilt der Kongruenzsatz SWS 14.01.2008 16

IV. Euklidisches Axiom (der Parallelen) 1.2 IV. Euklidisches Axiom (der Parallelen) (P) Es sei a eine beliebige Gerade und A ein Punkt außerhalb a; dann gibt es in der durch a und A bestimmten Ebene höchstens eine Gerade, die durch A läuft und a nicht schneidet. Äquivalente Formulierung: Wenn zwei Geraden a,b in einer Ebene eine dritte Gerade c derselben Ebene nicht treffen, so treffen sie auch einander nicht. Das Parallelenaxiom ist ein ebenes Axiom! 14.01.2008 17

V. Stetigkeits-Axiome (1-2) 1.2 V. Stetigkeits-Axiome (1-2) (S1 – Axiom des Messens) Gegeben seien zwei Strecken . Dann wird man durch endlich-faches Antragen von hinauslaufen. (S2 – lineare Vollständigkeit) Eine Gerade in einer gegeben Geometrie kann nicht in der Weise vergrößert werden (durch Hinzunahme von Punkten), dass die bisherigen Axiome erfüllt bleiben. 14.01.2008 18

Das Parallelenproblem: 1.2 Das Parallelenproblem: Die Herleitung von Eukids Parallelen-Postulat blieb über 2000 Jahre ein ungelöstes Problem. Erfolglose Versuche gab es einige… Gauß erkannte als erster, dass das Paralleln-Problem nicht lösbar ist, veröffentlichte seine Gedanken aber nie. Dies tat 1826 N. Lobatschewski und erschuf die hyperbolische Geometrie 14.01.2008 19

2. Nicht-Euklidische Geometrie 2.1 Nikolai Lobatschewski 14.01.2008 20

Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski 2.1 Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski geb. : 20. November 1792 in Nishni- Nowgorod (Gorki) Ab 1800: Kasan, in sehr einfachen Verhältnissen 1802: Eintritt ins Gymnasium von Kasan mathematisches Interesse guter Unterricht 14.01.2008 21

1807: Immatrikulation Universität Kasan  Chemie und Pharmakologie 2.1 1807: Immatrikulation Universität Kasan  Chemie und Pharmakologie 1808: Johann Christian Martin Bartels  Arbeitsschwerpunkt Mathematik  „Stolz der Universität“ 1811: Abschluss des Studiums, Magister 14.01.2008 22

1812: Assistent von Bartels 1814: Adjunkttitel, Vorlesung über 2.1 1812: Assistent von Bartels 1814: Adjunkttitel, Vorlesung über Trigonometrie 1816: außerordentlicher Professor 14.01.2008 23

1820: Nachfolger von Bartels, Vorlesung Reine Mathematik 2.1 1820: Nachfolger von Bartels, Vorlesung Reine Mathematik 1821: Dekan der physikalisch -mathematischen Fakultät 1822: Ordentlicher Professor 1827: Rektor der Kasaner Universität 14.01.2008 24

1823: Lehrbuch zur Geometrie 2.1 1823: Lehrbuch zur Geometrie 1826-1830: neue Ergebnisse im „Kasaner Boten“ 1835: „Imaginäre Geometrie“ 1835-1838: „Neuen Anfangsgründe der Geometrie“ 14.01.2008 25

Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien 2.1 1840: Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien 14.01.2008 26

1846: Offizielles Ende seiner Amtszeit Schwere Krankheiten folgten 2.1 1846: Offizielles Ende seiner Amtszeit Schwere Krankheiten folgten 12.Februar 1856 : Tod in Kasan 14.01.2008 27

Werke von Lobatschewski (Auszug) 2.1 Werke von Lobatschewski (Auszug) 1830; dt. 1898: Über die Anfangsgründe der Geometrie 1934: Algebra oder die Rechnung mit endlichen Größen 1834: Über die Konvergenz der trigonometrischen Reihen 1836: Anwendung der vorgestellten Geometrie auf einige Integrale 1842: Die totale Sonnenfinsternis in Pensa am 26. Juni 1842 1852: Der Wert einiger bestimmter Integrale 1855, fr. 1856, dt. 1858, ital. 1867: Pangeometrie. 14.01.2008 28

2. Nicht-Euklidische Geometrie 2.2 Janos Bolyai 14.01.2008 29

Janos Bolyai (dtsch. Johann) geb. :15. Dezember 1802 in Kolozsvar 2.2 Janos Bolyai (dtsch. Johann) geb. :15. Dezember 1802 in Kolozsvar (Klausenburg) in Ungarn Vater: Farkas (Wolfgang) Bolyai geistige Frühreife Mit 9 Jahren: Interesse für Algebra und die „Elemente des Euklid“ 14.01.2008 30

„ Ich wollte ihn 3 Jahre bei dir halten und, wenn 2.2 Vater Bolyai an Gauß 10.4.1816: „ Ich wollte ihn 3 Jahre bei dir halten und, wenn es möglich wäre in deinem Hause, […]. Deiner Frau Gemahlin Unkosten würde ich, versteht sichs, schon entschädigen.“ Keine Antwort 1818: Wiener Ingenieur Akademie 1823: Militärdienst 14.01.2008 31

„Die Parallelen auf jenem Wege sollst du nicht 2.2 Anfang 1820: „Die Parallelen auf jenem Wege sollst du nicht probieren; ich kenne auch jenen Weg bis zu Ende, auch ich habe diese bodenlose Nacht durchmessen: jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden. Ich beschwöre dich bei Gott! Laß die Parallelen in Frieden. […] diese haben mir all die Blumen meines Lebens und meiner Zeit weggenommen.“ 14.01.2008 32

Um 1823 Brief von Johann an seinen Vater: 2.2 Um 1823 Brief von Johann an seinen Vater: „Mein Vorsatz steht schon fest, daß ich, sobald ich es geordnet, abgeschloßen habe und eine Gelegenheit kommt, ein Werk über die Parallelen herausgeben werde […] ich habe so erhabene Dinge herausgebracht, daß ich selbst erstaunt war […] jetzt kann ich nichts weiter sagen, nur so viel: daß ich aus Nichts eine neue, andere Welt geschaffen habe.“ 14.01.2008 33

1825: „Absolut wahre Raumlehre“ 1832: Im Anhang zu „Tentamen“: 2.2 1825: „Absolut wahre Raumlehre“ 1832: Im Anhang zu „Tentamen“: „Absolut wahre Raumlehre, unabhängig von der ( a priori nie entschieden werdenden) Wahr- oder Falschheit des XI. Euklidischen Axioms, mit geometrischer Quadratur des Kreises im Falle der Falschheit.“ 14.01.2008 34

„[…] sie [die Schrift] loben hieße mich selbst zu loben: 2.2 Gauß 6. März 1832: „[…] sie [die Schrift] loben hieße mich selbst zu loben: denn der ganze Inhalt der Schrift, der Weg, den Dein Sohn eingeschlagen hat, und die Resultate, zu denen er geführt ist, kommen fast durchgehends mit meinen, zum Teile schon sei 30-35 Jahren angestellten Meditationen überein.“ 14.01.2008 35

Folge dieser Nichtanerkennung waren schwere Depressionen. 2.2 Folge dieser Nichtanerkennung waren schwere Depressionen. Er starb am 27. Januar 1860 an Lungen- und Gehirnhautentzündung. Sein Grab blieb namenlos. 14.01.2008 36

2.2 14.01.2008 37 37

2.2 14.01.2008 38

Wenn eine Gerade und ein Punkt in der Ebene 2.2 Wenn eine Gerade und ein Punkt in der Ebene gegeben ist, nenne ich Parallele zur gegebenen Geraden, gezogen durch den gegebenen Punkt, die Grenzgerade zwischen denjenigen unter den Geraden (die in derselben Ebene durch denselben Punkt gezogen sind und auf der einen Seite des von diesem Punkt auf die gegebene Gerade gefällten Lotes verlängert sind) welche sie schneiden, und denen, welche sie nicht schneiden. (Lobatschewski 1902, 6f) 14.01.2008 39 39

2.2 l m g 14.01.2008 40 40

Parallelenpostulat in der Geometrie von 2.2 Parallelenpostulat in der Geometrie von Lobatschewski und Bolyai (Negation vom Euklidischen)/ Hyperbolisches Parallelenaxiom: Es gibt eine Gerade l und einen Punkt P außerhalb l, so daß durch P mindestens zwei Parallelen zu l laufen. 14.01.2008 41 41

2.2 14.01.2008 42 42

2.2 14.01.2008 43 43

2.2 14.01.2008 44 44