Die Collatz-Folge a0 selbst wählen ( N) ak+1 = ak/2 falls ak gerade ak+1 = 3ak+1 falls ak ungerade

Beispiele 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Collatz-Zahlen Def.: Eine Zahl n  N heißt Collatz-Zahl, wenn die Collatz-Folge mit a0 = n bei 1 endet (4–2–1) Wir kennen derzeit für die Menge der Collatz-Zahlen keine Turingmaschine, die bei Eingabe einer Zahl sicher anhält und die Ausgabe ja oder nein liefert. Es ist nicht bekannt, ob die Menge entscheidbar ist. Sollten alle natürlichen Zahlen Collatz-Zahlen sein, so ist die Menge entscheidbar. Leicht ist es hingegen, eine Turingmaschine zu entwickeln, die mit ja anhält, falls es sich bei der Eingabe um eine Collatz-Zahl handelt, und andernfalls nicht anhält.

Das Halteproblem Kann man eine Turingmaschine bauen, die von einer anderen Turingmaschine feststellt, ob diese hält oder nicht?

Stellt fest, ob TM t hält oder nicht TM Hält Stellt fest, ob TM t hält oder nicht ? j / n Hält TM t hält vielleicht manchmal und manchmal nicht, je nach Eingabe

Stellt fest, ob TM t auf Eingabe w hält oder nicht TM Hält Stellt fest, ob TM t auf Eingabe w hält oder nicht ? j / n Hält Was sollte auf dem Band stehen?

Stellt fest, ob TM t auf Eingabe w hält oder nicht TM Hält Stellt fest, ob TM t auf Eingabe w hält oder nicht t # w j / n Hält Wenn TM t bei Eingabe w hält, stoppt Hält mit j, andernfalls mit n

Kann man so eine Turingmaschine Frage: Kann man so eine Turingmaschine Hält basteln?

Es gibt so eine Turingmaschine Annahme 1: Es gibt so eine Turingmaschine Hält

Fragen: Angenommen, wir können die Turingmaschine Hält programmieren. Welche Auswirkung hätte das auf die Goldbachsche Vermutung? Welche Auswirkung hätte das auf das Collatz-Problem? Welche Auswirkung hätte das auf die Software-Industrie? Hausaufgabe!

Stellt fest, ob TM t auf Eingabe w hält 1. TM: Hält Stellt fest, ob TM t auf Eingabe w hält t # w j / n Hält Wenn TM t bei Eingabe w hält, stoppt Hält mit j, andernfalls mit n

Kopiert den Bandinhalt 2. TM: Kopierer Kopiert den Bandinhalt h a l o # Kopierer Verdoppeln

Eingabe TM t, Ausgabe stopp mit j oder Endlosschleife 3. TM: Seltsam ? t j /  Seltsam Eingabe TM t, Ausgabe stopp mit j oder Endlosschleife

Seltsam ruft zuerst TM Kopierer auf, danach TM Hält TM Seltsam t j /  1. Kopierer Seltsam Hält 2. Seltsam ruft zuerst TM Kopierer auf, danach TM Hält

Seltsam ruft nun noch TM Hält auf TM Seltsam t # Seltsam Hält 2. Seltsam ruft nun noch TM Hält auf

TM Seltsam t # j / n j: Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife. Was hat Hält auf das Band geschrieben? j: Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife. n: Dann ersetzt Seltsam das n durch ein j und stoppt. Seltsam

j: Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife. TM Seltsam t #  j: Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife. Seltsam

n: Dann ersetzt Seltsam das n durch ein j und stoppt. TM Seltsam t # j n: Dann ersetzt Seltsam das n durch ein j und stoppt. Seltsam

spezielle Eingabe Seltsam TM Seltsam spezielle Eingabe Seltsam Seltsam Seltsam bekommt sich selbst als Eingabe! Seltsam

Frage: Hält Seltsam bei Eingabe Seltsam? Akzeptiert Seltsam sich selbst?

Seltsam hält bei Eingabe Seltsam Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam

Seltsam hält bei Eingabe Seltsam Widerspruch! Annahme 2 a) Seltsam hält bei Eingabe Seltsam ist unmöglich!

Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht

Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht Widerspruch! Annahme 2 b) Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht ist unmöglich!

Es gibt so eine Turingmaschine Annahme 1: Es gibt so eine Turingmaschine Hält Schlussfolgerung: Diese Annahme ist unmöglich!

Frage: Hält Seltsam bei Eingabe Seltsam? Akzeptiert Seltsam sich selbst?

Seltsam hält bei Eingabe Seltsam Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam

Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam TM Seltsam Seltsam 1. Kopierer Seltsam Hält 2. Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam

Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam TM Seltsam Seltsam # Seltsam Hält 2. Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam

Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam TM Seltsam Seltsam # j Was hat Hält auf das Band geschrieben? j: Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife. n: Dann ersetzt Seltsam das n durch ein j und stoppt. Seltsam Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam

j: Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife. TM Seltsam Seltsam  j: Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife. Seltsam Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam

Seltsam hält bei Eingabe Seltsam Widerspruch! Annahme 2 a) Seltsam hält bei Eingabe Seltsam ist unmöglich!

Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht

Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht TM Seltsam Seltsam 1. Kopierer Seltsam Hält 2. Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht

Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht TM Seltsam Seltsam # Seltsam Hält 2. Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht

Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht TM Seltsam Seltsam # n Was hat Hält auf das Band geschrieben? j: Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife. n: Dann ersetzt Seltsam das n durch ein j und stoppt. Seltsam Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht

n: Dann ersetzt Seltsam das n durch ein j und stoppt. TM Seltsam Seltsam j n: Dann ersetzt Seltsam das n durch ein j und stoppt. Seltsam Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht

Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht Widerspruch! Annahme 2 b) Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht ist unmöglich!

Es gibt so eine Turingmaschine Annahme 1: Es gibt so eine Turingmaschine Hält Schlussfolgerung: Diese Annahme ist unmöglich!

Halteproblem Resümee: Es gibt keine Turingmaschine, die bei Eingabe einer Turingmaschine t und eines Wortes w entscheidet, ob t bei Eingabe von w hält oder nicht. Die Menge aller Paare (t,w) [t, w, wie oben] derart, dass t auf w hält, ist nicht entscheidbar. Satz von Turing (1936)